陕西省商洛市2020-2021学年高三上学期期末理科数学试题【含答案解析】

商洛市2020~2021学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则A．B．CD．2．复数的虚部为A．B．C．D．3．双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．4．若，，则A．B．C．D．5．记为等差数列的前n项和，已知，则数列的公差为A．4B．2C．1D．6．函数在上的图象大致为A．B．C．D．7．设向量，，，，则y的最小值为A．B．0C．D．18．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011~2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是A．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C．2018年上半年的票房收入增速最大D．2020年上半年的票房收入增速最小9．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为A．B．C．D．10．已知等比数列的前n项和为，若，，则A．9B．10C．12D．1711．设直四棱柱的每个顶点都在球O的球面上，底面ABCD为平行四边形，，侧面的面积为6，则球O表面积的最小值为A．B．C．D．12．已知奇函数的定义域为R，且对任意，恒成立，则不等式组的解集是A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．若x，y满足约束条件则的最大值为________．14．的展开式中的常数项为________．15．已知椭圆C的离心率为，短半轴长为，则椭圆C的焦距为________．16．关于函数有如下四个命题：①在上的值域为；②的图象不可能经过坐标原点；③若的最小正周期为2，则；④若，则的最小值为．其中所有真命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知，．（1）求；（2）若的周长为，求的面积（结果用小数表示，取）．18．（12分）我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风投公司准备投资芯片领域．若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为的概率为p，收益率为的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为的概率为，收益率为的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5．（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你为该风投公司选择一个合理的项目，并说明理由；（2）若该风投公司准备对以上你认为比较合理的的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：年份x20162017201820191234累计投资金额y（单位：亿元）2356请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元．附：收益收入的资金获利期望；线性回归方程中，，．19．（12分）如图，已知三棱柱是底面边长为2，高为4的正三棱柱，点E在棱上，且．（1）当为何值时，平面平面？说明你的理由．（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对恒成立，求a的取值范围．21．（12分）抛物线C：的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线交抛物线C于M，N两点，O为原点，的面积为2．（1）求抛物线C的方程．（2）P为直线l：上一个动点，过点P作抛物线的切线，切点分别为A，B，过点P作AB的垂线，垂足为H，是否存在实数，使点P在直线l上移动时，垂足H恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点H的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线l与曲线C交于不同的两点M，N．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设，求的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值是m，且，求的最小值．商洛市2020~2021学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷参考答案（理科）1．C因为，，所以．2．B，则z的虚部为．3．A因为，所以，故双曲线的渐近线方程为．4．D因为，，所以，则．5．A设d为数列的公差，因为，所以，则．6．B因为，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C与D．因为，所以排除A，故选B．7．C因为，所以，则．8．D由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有3年，故A，B错误；2017年上半年的票房收入增速最大，故C错误；2020年上半年的票房收入增速最小，故D正确．9．D正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥，由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解．由边长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，则其体积为，其表面积为所以此正八面体的体积与表面积之比为．10．B设等比数列的公比为q，因为，所以，则．11．A因为底面ABCD为平行四边形，且球O是直四棱柱的外接球，所以底面ABCD必为矩形，从而四棱为长方体．设，，则，，所以球O的表面积，当且仅当，即时，等号成立，故球O表面积的最小值为．12．C设，则，则在R上单调递增．因为是定义域为R的奇函数，所以，则．不等式组等价于即，则，解得．13．15作出可行域（图略），由图可知，当直线经过点时，z取得最大值，且最大值为15．14．展开式的通项为，令，得，所以展开式中的常数项为．15．4设椭圆C的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则解得，所以椭圆C的焦距为4．16．①②③④若，则，，所以①为真命题．因为所以的图象不可能经过坐标原点，所以②为真命题．若的最小正周期为2，则，则，所以③是真命题．若，则的图象关于直线对称，则，所以，因为，所以的最小值为，所以④为真命题．17．解：（1）因为，所以．（2）因为，所以．由余弦定理得，则．因为的周长为，所以，解得．所以的面积为．因为，所以的面积为3.8．18．解：（1）若投资光刻机项目，设收益率为，则的分布列为0.3Pp所以．若投资光刻胶项目，设收益率为，则的分布列为0.30P0.40．10.5所以．因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，所以，所以．因为，，所以，，这说明虽然光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥．综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目．（2），，，，则，，故线性回归方程为．设该公司在芯片领域的投资收益为Y，则，解得，故在2020年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过0.75亿元．19．解：（1）当时，平面平面．证明如下：如图，当时，点E为棱的中点，记与相交于点D，记线段AC的中点为O，易证DO与EB平行且相等，则四边形EDOB为平行四边形，则．因为为正三角形，则，易知，，则平面，则平面，因为平面，所以平面平面．（2）以O为坐标原点，以的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，则，，．设平面AEC的法向量为，则即令，得．设平面的法向量为，则即令，得．，由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为．20．解：（1）函数的定义域为，且．若，则当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．若，，函数在上单调递减．（2）不等式在上恒成立，即恒成立，设，，令，则．①当时，恒成立，所以单调递增，所以，即符合题意；②当时，恒成立，所以单调递增，又因为，，所以存在，使得，且当时，，即在上单调递减，所以，即不符合题意．综上，a的取值范围为．21．解：（1）由题意得，点M，N的纵坐标均为，由，解得，则．由，解得，故抛物线C的方程为．（2）设，，，直线AP的方程为．将抛物线方程变形为，则，所以，所以AP的方程为．因为，所以直线AP的方程为，把代入AP的方程得．同理可得．构造直线方程为，易知A，B两点均在该直线上，所以直线AB的方程为，故AB恒过点．因为，所以可设PH方程为，化简得，所以PH恒过点．当，即时，AB与PH均恒过，故存在这样的，当时，H的坐标为．22．解：（1）由题意可得直线l的普通方程为．曲线C的直角坐标方程为，即．（2）直线l的参数方程可化为（为参数）．将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理得，则，，故．23．解：（1）当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得．综上，不等式的解集为．（2）由（1）可知当时，，即，则．因为所以，即（当且仅当时等号成立）．故的最小值为．