数学分析教案 (华东师大版)第九章 定积分

PAGE/NUMPAGES第九章定积分教学要求：1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1716372888639_0的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；4.理解并熟练地应用定积分的性质；5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；2.掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；3.理解并熟练地应用定积分的性质；4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学时数：14学时§1定积分概念（2学时）教学要求：知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景：1.曲边梯形的面积:2.变力所作的功:二、不积分的定义:三、举例:例1 已知函数在区间上可积.用定义求积分.解取等分区间作为分法,.取.=.由函数在区间上可积,每个特殊积分和之极限均为该积分值.例2 已知函数在区间上可积,用定义求积分.解分法与介点集选法如例1,有.上式最后的极限求不出来,但却 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明该极限值就是积分.例3 讨论Dirichlet函数在区间上的可积性.四、小结：指出本讲要点§2Newton—Leibniz公式（2学时）教学要求：深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.Th9.1（N—L公式）(证)例1求ⅰ>;ⅱ>;例2求.§3可积条件（4学时）教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题.教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；一、必要条件:Th9.2，在区间上有界.二、充要条件:1.思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法及介点无关的条件.方案:定义上和和下和.研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件.2.Darboux和:以下总设函数在区间上有界.并设,其中和分别是函数在区间上的下确界和上确界.定义Darboux和,指出Darboux和未必是积分和.但Darboux和由分法唯一确定.分别用、和记相应于分法的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和是数集(多值).但总有,因此有.和的几何意义.3.Darboux和的性质:本段研究Darboux和的性质,目的是建立Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法:表示是的加细.性质1若,则,.即:分法加细,大和不增,小和不减.(证)性质2对任何,有,.即:大和有下界,小和有上界.(证)性质3对任何和,总有.即:小和不会超过大和.证.性质4设是添加个新分点的加细.则有+,.证设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分法,分别设,,.显然有和.于是.添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次.即证得第二式. 可类证第一式.系设分法有个分点，则对任何分法，有，.证..4.上积分和下积分:设函数在区间上有界.由以上性质2，有上界，有下界.因此它们分别有上确界和下确界.定义记,.分别称和为函数在区间上的上积分和下积分.对区间上的有界函数,和存在且有限,.并且对任何分法,有.上、下积分的几何意义.例1求和.其中是Dirichlet函数.5.Darboux定理:Th1设函数在区间上有界,是区间的分法.则有=,=.证(只证第一式.要证:对使当时有.是显然的.因此只证.),对,使<设有个分点,对任何分法,由性质4的系,有,由*式,得<即<亦即<.于是取,(可设,否则为常值函数,=对任何分法成立.)对任何分法,只要,就有.此即=.6.可积的充要条件:Th2（充要条件1）设函数在区间上有界.=.证设=,则有=.即对使当时有||<对成立.在每个上取,使,于是,||=<.因此,时有||||+||<+=.此即=.由Darboux定理,=.同理可证=.=.对任何分法,有,而 ===. 令和的共值为,由双逼原理=. Th9.3有界.对.证()=0.即对时,.,由,–,=. 定义称为函数在区间上的振幅或幅度.易见有0.可证=Th9.3’(充要条件2)有界.对.Th3’的几何意义及应用Th3’的一般方法:为应用Th3’,通常用下法构造分法: 当函数在区间上含某些点的小区间上作不到任意小时,可试用在区间上的振幅作的估计,有.此时,倘能用总长小于,否则为常值函数)的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法的一部分分点，在区间的其余部分作分割，使在每个小区间上有<,对如此构造的分法,有<.Th4((R)可积函数的特征)设在区间上有界.对和,使对任何分法,只要,对应于的那些小区间的长度之和.证在区间上可积,对和,使对任何分法,只要,就有.对的区间总长小于此时有== 三．可积函数类： 1．闭区间上的连续函数必可积： Th5（证） 2．闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积. Th6（证） 推论1闭区间上按段连续函数必可积. 推论2设函数在区间上有界且其间断点仅有有限个聚点,则函数在区间上可积.例2判断题:闭区间上仅有一个间断点的函数必可积.() 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积.() 3.闭区间上的 单 名单名单延期单出门单老板名单 调函数必可积： Th7（证）例3证明在上可积.§4定积分的性质（2学时） 教学要求：理解并熟练地应用定积分的性质；教学重点：理解并熟练地应用定积分的性质；一.  定积分的性质: 1.  线性性质:Th1—Const,且.（证）Th2,,且.（证）综上,定积分是线性运算. 2.乘积可积性:Th3,.证和有界.设,且可设.(否则或恒为零).插项估计,有.……但一般. 3.关于区间可加性: Th4有界函数在区间和上可积，,并有.(证明并解释几何意义)规定,.系设函数在区间上可积.则对,有.（证） 4.积分关于函数的单调性:Th5设函数,且,.（证）(反之确否?)积分的基本估计:.其中和分别为函数在区间上的下确界与上确界.5.绝对可积性:Th6设函数,,且(注意.)证以证明;以证明不等式.该定理之逆不真.以例做说明.6.积分第一中值定理:Th7(积分第一中值定理),使=.（证）Th8(推广的积分第一中值定理)且不变号.则,使=.（证） .二.举例:例1设.试证明:.其中和是内的任二点,{},.例2比较积分与的大小.设但.证明>0.证明不等式.证明 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 所证不等式为只要证明在上成立不等式,且等号不恒成立,则由性质4和上例得所证不等式.例5证明.§5微积分基本定理.定积分计算（续）（2学时）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.一.变限积分与原函数的存在性 引入：由定积分计算引出.1.变限积分:定义上限函数，（以及函数）其中函数.指出这是一种新的函数,也叫做面积函数.Th9(面积函数的连续性)思路：表达面积函数.2.微积分学基本定理：Th10微积分学基本定理（原函数存在定理）若函数则面积函数在上可导，且=.即当时,面积函数可导且在点的导数恰为被积函数在上限的值.亦即是的一个原函数. 证 系连续函数必有原函数.3.积分第二中值定理Th11（积分第二中值定理）设函数在上可积，（i）若函数在上减，且，则存在，使得（ii）若函数在上增，且，则存在，使得推论函数在上可积，若为单调函数，则存在，使得二．换元积分法与分部积分法： 1.换元积分法Th12设函数满足条件：ⅰ>,且;ⅱ>在上有连续的导函数.则.（证）例1.(P225)例2.(P225)例3计算.(P225—226)该例为技巧积分.例4.该例亦为技巧积分.例5已知,求例6设函数连续且有求积分例7设是区间上连续的奇（或偶函数）函数，则，（.）例8..2.分部积分法 Th13(分部积分公式)例9例10计算.解=；解得直接求得，.于是,当为偶数时,有;当为奇数时,有. 三.Taylor公式的积分型余项:P227—229. 习题课（2学时） 一．积分不等式： 1．利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式：例1证明不等式.证注意在区间[0,1]上有,……例2证明不等式.证考虑函数,.易见对任何,在区间上和均单调,因此可积,且有,注意到,就有.而,.因此有.取,.在区间仿以上讨论,有.而，.综上,有不等式. 2. 某些不等式的积分推广: 原理:设函数和在区间上可积.为区间的等分分法,.若对任何和,均有,即得.令,注意到函数和在区间上可积,即得积分不等式.倘若函数和连续,还可由.例3证明Schwarz不等式(亦称为Cauchy–Буняковский不等式):设函数和在区间上连续(其实只要可积就可).则有不等式.证法一(由Cauchy不等式Schwarz不等式.Cauchy不等式参阅上册:设和为两组实数,则有.)设为区间的等分分法.由Cauchy不等式,有,两端同乘以,有,令,注意到函数、和在区间上的可积性以及函数的连续性，就有积分不等式.证法二（用判别式法）对任何实数，有， ,即 对任何实数成立.即上述关于的二次不等式的解集为全体实数,于是就有 ,即.例4且.证明不等式.证取.对函数和应用Schwarz不等式,即得所证. 例5设函数在区间[0,1]上可积.试证明有不等式.证先用Jensen不等式法证明不等式:对,有不等式.设为区间的等分分法.由上述不等式,有.令,注意到函数和在区间[0,1]上的可积性以及函数和的连续性，就有积分不等式.仿该例,可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式. 二.面积函数的导数: 例6求和例7求和例8求.例9设时函数连续且.求.(=)例10设函数连续且.求和.解令.两端求导,=.例11设.=.试证明:=.证=,=.例12设函数在区间上连续且>0..试证明:函数在区间内严格递增.证=,而.>0,在内，又连续，，在区间内>0.因此在区间内严格递增. 三.含有变限积分的未定型极限:例13求极限.(2)四.定积分的计算:例14计算积分.例15计算积分=.解时,=;时,=;时,=.因此,例16利用积分的值,计算积分.解.,而,.因此，例17,求(2)例18设是区间上连续的偶函数.试证明:是上的奇函数.证法一.证法二注意到,有==. 五.利用定积分求和式极限: 原理:用定积分定义，在函数可积时，能用特殊的分割及介点取法，计算定积分.例19求极限.[3]P163E13.与§1例2连系.例20求极限.解==.由函数在区间[0,1]上可积,有=..例21求极限.解==.,.因此,.例22试证明:对任何,有不等式<.证=是函数=在区间[0,1]上相应于等分分法的小和.由函数=在区间[0,1]上可积,有时,↗.又易见↗↗.对任何,有<,即<. 友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。