(完整版)高考数学函数专题习题及详细答案

函数专题练习x11.函数ye(xR)的反函数是()A．y1lnx(x0)B．y1lnx(x0)C．y1lnx(x0)D．y1lnx(x0)(3a1)x4a,x12.已知f(x)是(,)上的减函数，那么a的取值范围是logax,x11111(A)(0,1)(B)(0,)(C)[,)(D)[,1)37373.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1x2)，|f(x1)f(x2)||x2x1|恒成立”的只有1x2(A)f(x)(B)fx|x|(C)f(x)2(D)f(x)xx4.已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx.设635af(),bf(),cf(),则522(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab3x25.函数f(x)lg(3x1)的定义域是1x11111A.(,)B.(,1)C.(,)D.(,)333336、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是31xA.yx,xRB.ysinx,xRC.yx,xRD.y(),xRy217、函数yf(x)的反函数yf(x)的图像与y轴交于点14yf(x)P(0,2)(如右图所示)，则方程f(x)0在[1,4]上的根是x2A.4B.3C.2D.11O3x8、设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(A)f(x)f(x)是奇函数(B)f(x)f(x)是奇函数(C)f(x)f(x)是偶函数(D)f(x)f(x)是偶函数x9、已知函数ye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，则2xA．f2xe(xR)B．f2xln2glnx(x0)xC．f2x2e(xR)D．f2xlnxln2(x0)x12e,x＜2，10、设则的值为f(x)2f(f(2))log3(x1)，x2.(A)0(B)1(C)2(D)3a,ab11、对a，bR，记max{a，b}＝，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值b,a＜b是13(A)0(B)(C)(D)32222212、关于x的方程(x1)x1k0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是A．0B．1C．2D．3（一）填空题(4个)11.函数fx对于任意实数x满足条件fx2，若f15,则fxff5_______________。xe,x0.12设g(x)则g(g())__________lnx,x0.21，若为奇函数，则a________。3.已知函数fxax,fx2124.设a0,a1，函数f(x)loga(x2x3)有最小值，则不等式loga(x1)0的解集为。（二）解答题(6个)21.设函数f(x)x4x5.(1)在区间[2,6]上画出函数f(x)的图像；(2)设集合Axf(x)5,B(,2][0,4][6,).试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；(3)当k2时，求证：在区间[1,5]上，ykx3k的图像位于函数f(x)图像的上方.b2、设f(x)＝3ax2bxc.若abc0，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：a(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；b(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根.2xb3.已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数。2a(Ⅰ)求a,b的值；22(Ⅱ)若对任意的tR，不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立，求k的取值范围；c24.设函数f(x)＝,其中a为实数.x2axa(Ⅰ)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围;(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.1225.已知定义在正实数集上的函数f(x)x2ax，g(x)3alnxb，其中a0．设2两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(I)用a表示b，并求b的最大值；(II)求证：f(x)≥g(x)(x0)．26.已知函数f(x)xx1，,是方程f(x)＝0的两个根()，f'(x)是f(x)的导数；设f(an)a11，an1an(n＝1，2，⋯⋯)f'(an)(1)求,的值；(2)证明：对任意的正整数n，都有an＞a；an(3)记bnln(n＝1，2，⋯⋯)，求数列{bn}的前n项和Sn。ana解答：一、选择题x11解：由ye得：x1lny,即x=-1+lny，所以y1lnx(x0)为所求，故选D。1２解：依题意，有0a1且3a－10，解得0a，又当x1时，(3a－1)x＋4a7a－1，31当x1时，logax0，所以7a－10解得x故选C711x2－x111３解：|－|＝||＝|x1－x2|Qx1，x2（1，2）x1x211x1x2x1x2|x1x2|x1x211|－||x1－x2|故选Ax1x2４解：已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx.设64431151af()f()f()，bf()f()f()，cf()f()＜0，∴55522222cab，选D.1x01５解：由x1，故选B.3x103６解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数，是减函数;故选A.７解：f(x)0的根是x2，故选C８解：A中F(x)f(x)f(x)则F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数F(x)f(x)f(x)为偶函数，B中F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)此时F(x)与F(x)的关系不能确定，即函数F(x)f(x)f(x)的奇偶性不确定，C中F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数F(x)f(x)f(x)为奇函数，D中F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数F(x)f(x)f(x)为偶函数，故选择答案D。xx９解：函数ye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，所以f(x)是ye的反函数，即f(x)＝lnx，∴f2xln2xlnxln2(x0)，选D.１０解：f(f(2))＝f(1)＝2，选C１１解：当x－1时，|x＋1|＝－x－1，|x－2|＝2－x，因为(－x－1)－(2－x)＝－30，所以12－x－x－1；当－1x时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为(x＋1)－(2－x)＝2x－10，21x＋12－x；当x2时，x＋12－x；当x2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝x－2，显然x＋1x2－2；2x(x(,1)12x(x[1,))23故f(x)据此求得最小值为。选C12x1(x[,2))2x1(x[2,))222222１２解：关于x的方程x1x1k0可化为x1（x－）1k（0x1或x－）1⋯(1)222或x1＋（x－）1k0(－1x1)⋯⋯⋯⋯(2)①当k＝－2时，方程(1)的解为3，方程(2)无解，原方程恰有2个不同的实根162②当k＝时，方程(1)有两个不同的实根，方程(2)有两个不同的实根，即原方422程恰有4个不同的实根③当k＝0时，方程(1)的解为－1，＋1，2，方程(2)的解为x＝0，原方程恰有5个不同的实根2152336④当k＝时，方程(1)的解为，，方程(2)的解为，，即原方程恰93333有8个不同的实根选A二、填空题。11１解：由fx2得fx4f(x)，所以f(5)f(1)5，则fxfx211ff5f(5)f(1)。f(12)5111ln1２解：g(g())g(ln)e2.222111３解：函数若为奇函数，则，即，a＝f(x)ax.f(x)f(0)0a00.212122４解：由a0,a1，函数f(x)loga(x2x3)有最小值可知a1，所以不等式loga(x1)0可化为x－11，即x2.三、解答题１解：(1)(2)方程f(x)5的解分别是214,0,4和214，由于f(x)在(,1]和[2,5]上单调递减，在[1,2]和[5,)上单调递增，因此A,214[0,4]214,.由于2146,2142,BA.2(3)[解法一]当x[1,5]时，f(x)x4x5.g(x)k(x3)(x24x5)x2(k4)x(3k5)24kk220k36x，244kk2,1.又1x5，24k4k①当11，即2k6时，取x，222k20k3612g(x)mink1064.442216(k10)64,(k10)640，则g(x)min0.4k②当1，即k6时，取x1，g(x)min＝2k0.2由①、②可知，当k2时，g(x)0，x[1,5].因此，在区间[1,5]上，yk(x3)的图像位于函数f(x)图像的上方.2[解法二]当x[1,5]时，f(x)x4x5.yk(x3),2由2得x(k4)x(3k5)0，yx4x5,2令(k4)4(3k5)0，解得k2或k18，在区间[1,5]上，当k2时，y2(x3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8)；当k18时，y18(x3)的图像与函数f(x)的图像没有交点.如图可知，由于直线yk(x3)过点(3,0)，当k2时，直线yk(x3)是由直线y2(x3)绕点(3,0)逆时针方向旋转得到.因此，在区间[1,5]上，yk(x3)的图像位于函数f(x)图像的上方.2(I)证明：因为f(0)0,f(1)0，所以c0,3a2bc0.由条件abc0，消去b，得ac0；由条件abc0，消去c，得ab0，2ab0.b故21.a22b3acb(II)抛物线f(x)3ax2bxc的顶点坐标为(,)，3a3ab11b2在21的两边乘以，得.a333a322bacac又因为f(0)0,f(1)0,而f()0,3a3abb所以方程f(x)0在区间(0,)与(,1)内分别有一实根。3a3a故方程f(x)0在(0,1)内有两个实根.xb1123解：(Ⅰ)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即0b1f(x)x1a2a211122又由f(1)＝－f(－1)知a2.a4a1x1211(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知f(x)x1x，易知f(x)在(,)上2222122为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2t)f(2tk)0222等价于f(t2t)f(2tk)f(k2t)，因f(x)为减函数，由上式推得：222t2tk2t．即对一切tR有：3t2tk0，1从而判别式412k0k.312x解法二：由(Ⅰ)知f(x)．又由题设条件得：22x1t22t2t2k1212220，22t2t1222tk12t2k1t22tt22t12t2k即：(22)(12)(22)(12)0，3t22tk2整理得21,因底数2>1,故:3t2tk01上式对一切tR均成立，从而判别式412k0k.3224解：(Ⅰ)f(x)的定义域为R，xaxa0恒成立，a4a0，0a4，即当0a4时f(x)的定义域为R．xx(xa2)e(Ⅱ)f(x)22，令f(x)≤0，得x(xa2)≤0．(xaxa)由f(x)0，得x0或x2a，又Q0a4，0a2时，由f(x)0得0x2a；当a2时，f(x)≥0；当2a4时，由f(x)0得2ax0，即当0a2时，f(x)的单调减区间为(0，2a)；当2a4时，f(x)的单调减区间为(2a，0)．5解：(Ⅰ)设yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同．3a2∵f(x)x2a，g(x)，由题意f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)．x122x02ax03alnx0b，23a2即2由x02a得：x0a，或x03a(舍去)．3ax0x02a，x01222522即有ba2a3alnaa3alna．22522令h(t)t3tlnt(t0)，则h(t)2t(13lnt)．于是21当t(13lnt)0，即0te3时，h(t)0；1当t(13lnt)0，即te3时，h(t)0．11故h(t)在0，e3为增函数，在e3，∞为减函数，123于是h(t)在(0，∞)的最大值为he3e3．2122(Ⅱ)设F(x)f(x)g(x)x2ax3alnxb(x0)，23a2(xa)(x3a)则F(x)x2a(x0)．xx故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，∞)为增函数，于是函数F(x)在(0，∞)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0．故当x0时，有f(x)g(x)≥0，即当x0时，f(x)≥g(x)．26解析：(1)∵f(x)xx1，,是方程f(x)＝0的两个根()，1515∴,；221152an(2an1)(2an1)anan1244(2)f'(x)2x1，an1anan2an12an151415151＝(2an1)，∵a11，∴有基本不等式可知a20(当且仅当a142an1222515151时取等号)，∴a20同，样a3，⋯⋯，an(n＝1，2，⋯⋯)，222(an)(an)an(3)an1an(an1)，而1，即1，2an12an122(an)(an)13535an1，同理an1，bn12bn，又b1lnln2ln2an12an11352n35Sn2(21)ln2四、创新试题１解：依题意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，x1x3，同理，x2＝30＋x1－20＝x1＋10x1x2，同理，x3＝30＋x2－35＝x2－5x3x2故选C12解：令c＝π，则对任意的x∈R，都有f(x)＋f(x-c)＝2，于是取ab，c＝π，则对任2bcosc意的x∈R，af(x)＋bf(x-c)＝1，由此得1。选Ｃ。a