5.3按贝塞尔函数展开为级数应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题时，最终都要把已知函数按贝塞尔函数系展开为级数。本节我们将讨论这个问题。本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题中，导出了贝塞尔方程的固有值问题：方程(32)的通解为(32)(33)无穷大，方程(32)的通解为(32)(33)由于由边界条件(33)中的有界性条件可知从而另外，再利用(33)中的条件得(34)5.3.1贝塞尔函数的零点(32)(33)(34)方程(34)表明，为了求出固有值问题(32)(33)的固有值我们需要判明的零点是否存在？所谓贝塞尔函数的零点，指的是使的那些的值。关于贝塞尔函数的零点有下面一系列的定理。5.3.1贝塞尔函数的零点1有无穷多个单重实零点，这些零点在轴上关于原点对称分布，因而有无穷多个正零点；2的零点与的零点是彼此相间分布的，且的绝对值最小的零点比的绝对值最小的零点更接近于0；自然有，与没有公共零点。3当值充分大时，的两个相邻零点之间的的距离接近于整数阶贝塞尔函数应用更多，特别是与(34)应用上述关于贝塞尔函数零点的结论，设为的正零点，则由方程(34)得与这些固有值相对应的固有函数为(35)(36)(32)(36)5.3.2贝塞尔函数系的正交性阶贝塞尔函数序列(36)在区间上带权正交，即(37)证将贝塞尔方程(32)改写如下(37)为书写方便，记其中为任意参变量。则有将上面两式分别乘以和(37)为书写方便，记其中为任意参变量。则有上两式相减得(37)为书写方便，记其中为任意参变量。则有上式两边对从到积分得(38)(37)(38)在(38)式中取并且由于便立即可得(37)式成立。阶贝塞尔函数序列(36)在区间上带权正交.5.3.3贝塞尔函数的模(38)定积分(39)的平方根，称为贝塞尔函数的模。当时，由(38)式得在上式中，令仍为任意参数，由于故上式化为形式的不定型，当时，上式右端为应用洛必达法则，得应用洛必达法则，得(40)由递推公式(40)由递推公式以及得从而(40)式变为(41)由于贝塞尔函数与没有公共零点，由(41)式知贝塞尔函数的模不为0.5.3.4傅里叶-贝塞尔级数(41)在应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题时，往往需要把已知函数按贝塞尔函数系展成级数。内分段连续的囿变函数，且积分的值有限，则它必能展开成如下形式的级数：(42)并且，在的连续点级数(42)收敛于可以证明，如果为定义于区间(41)(42)在的间断点处，级数收敛于点左右极限的平均值，即收敛于其中系数由下式确定(43)由公式(43)确定的称为傅里叶-贝塞尔系数，级数(42)称为傅里叶-贝塞尔级数。(41)(42)(43)(37)事实上，并对从到积分得(42)式两边同乘(41)(42)(43)(37)事实上，并对从到积分得(42)式两边同乘(41)(42)(43)(37)事实上，并对从到积分得(42)式两边同乘例(43)设是函数的正零点，试将函数在上展成的傅里叶-贝塞尔级数。解由(42)(43)式有先计算分子，(42)例设是函数的正零点，试将函数在上展成的傅里叶-贝塞尔级数。解由(42)(43)式有先计算分子，令则代入得例设是函数的正零点，试将函数在上展成的傅里叶-贝塞尔级数。解由(42)(43)式有代入得于是
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