《矢量分析与场论》知识点归纳

矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。物理量数值的无穷集合称为场。如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 。1.1矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar）和矢量(vector)。一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A可以写成Aa=A=aAA（1-1-1）其中A是矢量A的大小，a的大小等于1，代表矢量A的方向。一个大小为零的矢量称为空矢（nullvector）或零矢（zerovector），一个大小为1的矢aa量称为单位矢量（unitvector）。在直角坐标系中，用单位矢量x、y和az表征矢量分别沿x、y和z轴分量的方向。空间的一点PXYZ(,,)能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(positionvector)，它在直角坐标系中表示为raXYZaa=x+y+z（1-1-2）式中，XY,和Z是r在x、y和z轴上的标投影。任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例A如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是Ax、、，yAzaa利用三个单位矢量x、y、az可以将矢量A表示成：A=aAAA+a+axxyyzz（1-1-3）矢量A的大小A：1AAAA=2+2+22()xyz（1-1-4）二、矢量的代数运算1矢量的加法和减法任意两个矢量A与B的相加等于两个矢量相应分量相加，它们的和仍然矢量，即C=A+B=a(A+B)+a(A+B)+a(A+B)xxxyyyzzz(1-1-5)任意两个矢量A与B的相减，把其中的一个矢量变号后再相减就得到它们的差，即D=A−B=A+(−B)=a(A−B)+a(A−B)+a(A−B)xxxyyyzzz(1-1-6)2矢量的乘积矢量的乘积包括标量积和矢量积。（1）标量积(scalarproduct)任意两个矢量A与B的标量积是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们的夹角的余弦之乘积，如图1-2，记为AB⋅=ABcosθ(1-1-7)标量积也称为点积（dotproduct），如果两个不为零的矢量的标量积等于零，则这两个矢量必然相互垂直，或者说两个互相垂直的矢量的点乘一定为零。例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：ax⋅ay=ay⋅az=ax⋅az=0⎪⎫⎬a⋅a=a⋅a=a⋅a=1xxyyzz⎭⎪(1-1-8)若用矢量的三个分量来表示标量积：AB⋅=ABABAB++xxyyzz(1-1-9)标量积服从交换律和分配律，即A⋅B=B⋅A(1-1-10)ABCABAC⋅()+=⋅+⋅(1-1-11)（2）矢积（vectorproduct）任意两个矢量A与B的矢积是一个矢量，它的大小等于两个矢量的大小与它们的夹角的正弦之乘积，它的方向垂直于矢量A与B组成的平面，如图1-3，记为C=A×B=anABsinθ(1-1-12)an=aA×aB（右手螺旋）矢积又称为叉积(crossproduct)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行。矢量叉积不服从交换律，但服从分配律，即A×B=−B×A(1-1-13)ABCABAC×()+=×+×(1-1-14)直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：ax×ay=a,azy×az=a,axz×ax=ay⎪⎫⎬a×a=a×a=a×a=0xxyyzz⎭⎪(1-1-15)矢量叉积还可以用行列式来表示：axayazAB×=AAAxyzBBBxyz=aABABABABABAB−+a−+a−xyz()zyyzx()xzzxy()yx(1-1-16)矢量的其它运算公式：（1）AiiBBA=（2）A×=−×BBA（3）A×=×=×()BCiiC()ABB()CiA（4）()A××=BC()()CABCBAii−1.2柱坐标系和球坐标系在实际应用中，有时采用圆柱坐标系或球坐标系能使分析问题更简洁、明了。下面我们来介绍柱坐标系和球坐标系及三种坐标系之间的转换。图1-4圆柱坐标系一点的投影图1-5圆柱坐标系三个互相垂直的坐标面一、圆柱坐标系空间任一点P的位置也可以圆柱坐标系中的三个变量(ρ,,ϕz)来表示，如图1-4所示，其中，ρ是位置矢量oP在xy面上的投影，ϕ是从正x轴到位置矢量oP在xy面上的投影之间的夹角，z是oP在z轴上的投影。由图1-4可以看出，圆柱坐标与直角坐标之间的关系为⎧x=ρcosϕ⎪⎨y=ρsinϕ⎪z=z⎩（1-2-1）坐标面22ρ=x+y=常数（1-2-2）是一个以z轴作轴线的半径为ρ的圆柱面，ρ的变化范围为0≤ρ≤∞。坐标面⎛y⎞ϕ=arctan⎜⎟⎝x⎠=常数（1-2-3）是一个以z轴为界的半平面，ϕ的变化范围为0≤ϕ≤2π。坐标面z=常数（1-2-4）是一个平行于xy平面的平面。z的变化范围为−∞≤z≤+∞。由于三个面相交成直角，便能够建立互相垂直的坐标轴：ρ、ϕ和z。相应的单位矢aa量为ρ、ϕ和az，分别指向ρ、ϕ和z增加的方向。值得注意的是与直角坐标系的不同aaaa点，即除az外，ρ和ϕ都不是常矢量，它们的方向随P点的位置不同而变化，但ρ、ϕ和az三者总保持正交关系，并遵循右手螺旋法则，即aρ×aϕ=a,azϕ×az=a,aaρz×ρ=aϕ⎪⎫⎬a×a=a×a=a×a=0ρρϕϕzz⎭⎪（1-2-5）aρ⋅aϕ=aϕ⋅az=aρ⋅az=0⎪⎫⎬a⋅a=a⋅a=a⋅a=1ρρϕϕzz⎭⎪（1-2-6）圆柱坐标系的位置矢量可以表示为r=aρ+azρz（1-2-7）aaa单位矢量ρ和ϕ在单位矢量ax和y上的投影示于图1-6，显然a=acos+asina=a−sin+acosρxϕyϕ和ϕx(ϕ)yϕ（1-2-8）所以，从直角坐标到圆柱坐标系单位矢量的变换写成矩阵形式⎡aρ⎤⎡cosϕsinϕ0⎤⎡ax⎤⎢a⎥=⎢−sinϕcosϕ0⎥⎢a⎥⎢ϕ⎥⎢⎥⎢y⎥⎢a⎥⎢⎥⎢a⎥⎣z⎦⎣001⎦⎣z⎦（1-2-9）将上式求逆即可得到从圆柱坐标系到直角坐标的转换关系为⎡ax⎤⎡cosϕ−sinϕ0⎤⎡aρ⎤⎢a⎥=⎢sinϕcosϕ0⎥⎢a⎥图1-6圆柱坐标系⎢y⎥⎢⎥⎢ϕ⎥⎢a⎥⎢001⎥⎢a⎥单位矢量的变换⎣z⎦⎣⎦⎣z⎦（1-2-10）如果矢量A是在圆柱坐标系给定的，根据式（1-2-10）可以变换成直角坐标系的表达式，反之，若矢量A是在直角坐标系给定的，则根据式（1-2-9）可以变换成圆柱坐标系的表达式。P沿ρ、ϕ和z方向的长度增量分别为dl=dρdl=ρdϕρ，ϕ，dlz=dz（1-2-11）它们各自坐标增量之比分别为dlρdlϕdlh==1h==ρz12h3==1dρ，dϕ，dz（1-2-12）沿圆柱面、ϕ=常数平面和z=常数圆盘平面的三个的面元矢量分别为dS=aρdϕdzρρ（1-2-13）dS=adρdzϕϕ（）1-2-14dSz=azρdϕdρ（1-2-15）柱坐标的体积元为dV=ρdϕdρdz（1-2-16）二、球坐标系在球坐标系中，空间一点P的唯一地用三个坐标变量为(r,,θϕ)来表示，如图1-7所示。此处，r即是位置矢量r的大小，又称为矢径(radiusvector)，θ是位置矢量r与z轴的夹角，ϕ是从正x轴到位置矢量r在xy面上的投影oM之间的夹角。θ=常数r=常数由图1-7可以看出，球坐标与直角坐标之间的关系为⎧x=rsinθcosϕ⎪⎨y=rsinθsinϕ⎪z=rcosθ⎩（1-2-17）图1-7球坐标系一点的投影图1-8球坐标系三个互相垂直的坐标面坐标面222r=x+y+z（1-2-18）是一个半径为r球面，r的变化范围为0≤r≤∞。坐标面θ=常数是一个以原点为顶点、以z轴为轴线的圆锥面，θ的变化范围为0≤θ≤π。坐标面⎛y⎞ϕ=arctan⎜⎟⎝x⎠=常数（1-2-19）是一个以z轴为界的半平面，ϕ的变化范围为0≤ϕ≤2π。球坐标系的位置矢量可以表示为r=arr（1-2-20）a过球坐标系中任意点P()r,,θϕ的三个单位矢量为ar、aθ和ϕ，它们互相正交且遵循右手螺旋法则。ar×aθ=aϕ,aθ×aϕ=ar,aϕ×ar=aθ⎪⎫⎬a×a=a×a=a×a=0rrθθϕϕ⎭⎪（1-2-21）ar⋅aθ=aθ⋅aϕ=ar⋅aϕ=0⎪⎫⎬a⋅a=a⋅a=a⋅a=1rrθθϕϕ⎭⎪（1-2-22）aaaaa单位矢量r、θ和ϕ在单位矢量x、y和az上的投影分别示于图1-9(a)(b)(c)。由图1-9可以得到由直角坐标变换到球坐标的关系式(a)(b)(c)aa图1-9球坐标的三个单位矢量在x、y和az上的投影⎡ar⎤⎡sinθcosϕsinθsinϕcosθ⎤⎡ax⎤⎢⎥a=⎢cosθcosϕcosθsinϕ−sinθ⎥⎢a⎥⎢θ⎥⎢⎥⎢y⎥⎢a⎥⎢−sinϕcosϕ0⎥⎢a⎥⎣ϕ⎦⎣⎦⎣z⎦（1-2-23）同样，将上式求逆即可得到由球坐标变换到直角坐标的关系式⎡ax⎤⎡sinθcosϕcosθcosϕ−sinϕ⎤⎡ar⎤⎢⎥⎢a⎥=⎢sinθsinϕcosθsinϕcosϕ⎥a⎢y⎥⎢⎥⎢θ⎥⎢a⎥⎢cosθ−sinθ0⎥⎢a⎥⎣z⎦⎣⎦⎣ϕ⎦（1-2-24）如果矢量A是在球坐标系给定的，根据式（1-2-24）可以变换成直角坐标系的表达式，反之，若矢量A是在直角坐标系给定的，则根据式（1-2-23）可以变换成球坐标系的表达式。P沿r、θ和ϕ方向的长度增量分别为dlrddl=rsinθdϕdlr=dr，θ=θ，ϕ（1-2-25）它们各自坐标增量之比分别为dldldlϕrθh==rsinθh1==1h2==r3dr，dθ，dϕ（1-2-26）沿球面、θ=常数平面和ϕ=常数平面的三个的面元矢量分别为2dSr=arrsinθdθdϕ（1-2-27）dSθ=aθrsinθdrdϕ（1-2-28）dS=ardrdϕϕθ（1-2-29）球坐标的体积元为2dV=rsinθdrdθdϕ（1-2-30）kA=aρ2+az5sin2ϕ[例1-1]将矢量ρ转换为直角坐标系的表达式。解：由题可知矢量在柱坐标系中的三个分量为kA=ρ2A=0ρ，ϕ，Az=5sin2ϕ将其代入式（1-2-10）⎡Ax⎤⎡cosϕ−sinϕ0⎤⎡Aρ⎤⎢A⎥=⎢sinϕcosϕ0⎥⎢A⎥⎢y⎥⎢⎥⎢ϕ⎥⎢A⎥⎢001⎥⎢A⎥⎣z⎦⎣⎦⎣z⎦再根据xy22cosϕ=sinϕ=ρ=x+y，ρ和ρ因此，矢量在直角坐标系中的表达式为kxky10xyA=ax3+ay3+az3222222()x+y2()x+y2()x+y21.3矢量场赋予物理意义的矢量在空间的分布和变化规律则称为矢量场（vectorfield）。为了考察矢量场在空间的分布状况及变化规律，我们引入矢量线、矢量的通量和散度及矢量的环量和旋度的概念。一、矢量场的矢量线矢量场中分布在各点处的矢量可以用一个矢性函数AA=(P)来表示。当选定了直角坐标系后，它就可以写成如下形式：AA=(x,,yz)（1-3-1）设AAAx,,yz为矢性函数A在直角坐标系中的三个坐标分量，且假定它们都具有一阶连续偏导数，则A又可以表示为：AaAxyz,,aAxyz,,aAxyz,,=xx()+yy()+zz()（1-3-2）所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上（如图1-10），象静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等，都是矢量线的例子。现在我们来讨论矢量线方程的表达式。设P为矢量线上任一点，其矢径为r，则根据矢量线的定义，必有A×dr=0（1-3-3）在直角坐标系中raxayaz=x+y+z（1-3-4）矢量场的矢量线满足微分方程图力线图1-10dxdydz==AxAyAz（1-3-5）解（1-3-5）即可得到矢量线的表达式。[例1-2]设点电荷q位于坐标原点，它在空间任一点P(x,,yz)处所产生的电场强度矢量为qE=3r4πε0r和r=ax+ay+az式中，qε0均为常数，xyz为P点的位置矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。qqE=3r=3()axx+ayy+azz=axEx+ayEy+azEz解：4πε0r4πε0r由式（1-3-5）简化得矢量线方程为dxdydz==xyz此方程的解为⎧y=C1x⎨图点电荷的1-11⎩z=C2y电场矢量线式中，CC1,2为任意常数。电场的矢量线图如图1-11所示。由图1-11可见，电力线是一族从点电荷出发向空间发散的径向辐射线，这一组矢量线形象地描绘出点电荷的电场分布。可见，矢量场的矢量线可以使我们直观形象地了解矢量场在空间的分布状况。二、矢量的通量及散度1矢量的通量在矢量场A中取一个面元Sd及一个与面元垂直的单位矢量n（外法向矢量，如图1-12所示），则面元矢量为图1-12面元矢量dS=ndS（1-3-6）由于场中所取的面元dS很小，因此可认为在面元上的各点A值相同，A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量(flux)，记作AS⋅d=AcosθdS（1-3-7）则A穿过某个曲面S的通量为Φ=AS⋅d=AcosθdS∫S∫S（1-3-8）如果S是一个闭曲面，则通过闭曲面的总通量可表示为Φ=A⋅dS=A⋅nSd∫S∫S（1-3-9）假定矢量场A为流体的速度，则式（1-3-9）的物理意义为：表示在单位时间内流体从内穿出曲面S的正流量与从外穿入曲面S的负流量的代数和。当Φ>0，表示流出多于流入，此时在S内必有产生流体的源；当Φ<0则表示流入多于流出，此时在S内必有吸收流体的负源，我们称之为沟；当Φ=0则表示流入等于流出，此时在S内正源与负源的代数和为零，或者说S内没有源。我们把该类源称为发散源。矢量场在闭合面S上的通量是由S内的源决定的，它是一个积分量，因而它描绘的是闭合面内较大范围的源的分布情况，而我们往往需要知道场中每一点上发散源的性质，为此，引入矢量场散度的概念。2矢量场的散度（1）散度的定义设有矢量场A，在场中任一点P处作一个包含P点在内的任一闭合曲面S，S所限定的体积为ΔV，当体积ΔV以任意方式缩向P点时，取下列极限A⋅ndSlim∫SΔV→0ΔV（1-3-10）如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场A在点P处的散度（divergence），记作A⋅ndSdivA=lim∫SΔV→0ΔV（1-3-11）在直角坐标系中，散度的表达式∂A∂A∂AdivA=x+y+z∂x∂y∂z（1-3-12）（2）哈米尔顿（Hamilton）算子为了方便，我们引入一个矢性微分算子，在直角坐标系中有：∂∂∂∇=ax+ay+az∂x∂y∂z（1-3-13）称作哈米尔顿算子，记号∇是一个微分符号，同时又要当作矢量看待。算子∇与矢性函数A点积为一标量函数。在直角坐标系中：⎛∂∂∂⎞∇⋅A=⎜ax+ay+az⎟⋅()axAAAx+ayy+azz=divA⎝∂x∂y∂z⎠（1-3-14）矢量函数A在柱坐标系和球坐标系中的散度表达式分别为1∂1⎛∂A⎞∂A⎜ϕ⎟z∇⋅A=()ρAρ+⎜⎟+ρ∂ρρ⎝∂ϕ⎠∂z（1-3-15）1∂1∂1⎛∂A⎞∇⋅A=r2A+sinθA+⎜ϕ⎟2()r()θ⎜⎟r∂rrsinθ∂θrsinθ⎝∂ϕ⎠（1-3-16）可见，divA为一数量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度，它描述的是场分量沿着与各自方向上的变化规律。当divA的值不为零时，其符号为正或为负。当divA的值为正时，表示矢量场A在该点处有散发通量之正源，称为源点(sourcepoint)；当divA的值为负时，表示矢量场A在该点处有吸收通量之负源，称之为汇点(sinkpoint)；当divA的值等于零时，则表示矢量场A在该点处无源。我们称divA≡0的场是连续的(continuous)或无散的（螺线管式）矢量场(solenoidalvectorfield)，在第三章讲的磁场就是连续的或无散的矢量场。（3）高斯散度定理（divergencetheorem）在矢量分析中，一个重要的定理是∇⋅AASdV=⋅d∫VS∫（1-3-17）上式称为散度定理，它说明了矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分。散度定理广泛地用于将一个封闭面积分变成等价的体积分，或者将一个体积分变成等价的封闭面积分。有关它的证明这里略去。A=ax2+axy+ayz[例1-3]在xyz的矢量场中，有一个边长为1的立方体，它的一个顶点在坐标原点上，如图1-13所示。试求（1）矢量场A的散度，（2）从六面体内穿出的通量，并验证高斯散度定理。解：（1）根据公式（1-3-12），矢量场A的散度：∂(x2)∂(xy)∂()yz∇⋅A=++=3x+y∂x∂y∂z图1-13单位立方体（2）从单位立方体内穿出的通量为：Φ=AS⋅d∫S=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ASASASASASASdddddd∫前∫后∫左∫右∫上∫下A⋅dS+A⋅dS=A⋅axdydz+A⋅(−ax)dydz=1+0=1∫前∫后∫前x=1∫后x=011A⋅dS+A⋅dS=A⋅()−aydxdz+A⋅aydxdz=0+=∫左∫右∫左y=0∫右y=12211A⋅dS+A⋅dS=A⋅azdxdy+A⋅()−azdxdy=+0=∫上∫下∫上z=1∫下z=022111∇⋅AdV=()3x+ydxdydz=2∫V∫∫∫000可见，从单位立方体内穿出的通量为2，且有∇⋅AASdV=⋅d∫∫VS成立。二、矢量的环量及旋度1环量的定义设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线，定义矢量场A环绕闭合路径l的线积分为该矢量的环量（circulation），记作（如图1-14）Γ=A⋅dl=Acosθdl∫l∫l（1-3-18）可见，矢量的环量也是一数量，如果矢量的环量不等于零，则在l内必然有产生这种场的旋涡源；如果矢量的环量等于零，则我们说在l内没有旋涡源。图1-14矢量场的环量矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样都是描绘矢量场A性质的重要物理量，它同样是一个积分量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，我们引入矢量场的旋度的概念。2旋度（1）旋度的定义设P为矢量场中的任一点，作一个包含P点的微小面元ΔS，其周界为l，它的正向与面元ΔS的法向矢量n成图1-15闭合曲线方向与右手螺旋关系如图1-15，则矢量场A沿l之正向的环量与面面元的方向示意图积ΔS之比，当曲面ΔS在P点处保持以n为法矢的条件下，以任意方式缩向P点，若其极限A⋅dllim∫lΔSP→ΔS（1-3-19）存在，则称它为矢量场在点P处沿n方向的环量面密度（亦即环量对面积的变化率）。不难看出，环量面密度与l所围成的面元ΔS的方向有关。例如，在流体情形中，某点附近的流体沿着一个面上呈漩涡状流动时，如果l围成的面元与漩涡面的方向重合，则环量面密度最大；如果所取面元与漩涡面之间有一夹角，得到的环量面密度总是小于最大值；若面元与漩涡面相垂直，则环量面密度等于零。可见，必存在某一固定矢量R，这个固定矢量R在任意面元方向上的投影就给出该方向上的环量面密度，R的方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值，我们称固定矢量R为矢量A的旋度（curl或rotation），记作rotAR=（1-3-20）图1-16旋度及其投影式（1-3-19）为旋度矢量在n方向的投影，如图1-16所示。即A⋅dl∫llim=rotnAΔSP→ΔS（1-3-21）因此，矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式⎛∂A∂Ay⎞⎛∂A∂A⎞⎛∂Ay∂A⎞⎜z⎟xz⎜x⎟rotA=ax⎜−⎟+ay⎜−⎟+az⎜−⎟⎝∂y∂z⎠⎝∂z∂x⎠⎝∂x∂y⎠（1-3-22）为方便起见，也引入算子∇，则有axayaz∂∂∂rotAA=∇×=∂x∂y∂zAAAxyz（1-3-23）矢量函数A在柱坐标和球坐标系中的旋度表达式分别为aaρazρϕρ∂∂∂∇×A=∂ρ∂ϕ∂zAAAρρϕz（1-3-24）araθaϕr2sinθrsinθr∂∂∂∇×A=∂r∂θ∂ϕArrAθrsinθAϕ（1-3-25）一个矢量场的旋度表示该矢量单位面积上的环量，它描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。若矢量场的旋度不为零，则称该矢量场是有旋的（rotational）。水从槽子流出或流入是流体旋转速度场最好的例子。若矢量场的旋度等于零，则称此矢量场是无旋的(irrotational)或保守的(conservative)，静电场中的电场强度就是一个保守场。旋度的一个重要性质就是它的散度恒等于零，即∇⋅∇×A≡0（1-3-26）这就是说，如果有一个矢量场B的散度等于零，则这个矢量就可以用另一个矢量的旋度来表示，即如果∇⋅B=0则令BA=∇×（1-3-27）（2）斯托克斯定理（Stokes’theorem）矢量分析中另一个重要定理是A⋅dl=rotA⋅dS∫l∫S（1-3-28）称为斯托克斯定理，其中S是闭合路径l所围成的面积，它的方向与l的方向成右手螺旋关系，它说明矢量场A的旋度法向分图1-17四分之一圆盘量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。证明略去。F=axy−a2x[例1-3]已知一矢量场xy（1）求该矢量场的旋度（2）求该矢量沿如图所示的半径为3的四分之一圆盘的线积分，如图1-17所示，验证斯托克斯定理。axayaz∂∂∂rotFF=∇×==−a(2+x)∂x∂y∂zz解：xy-2x0（2）矢量沿四分之一圆盘的线积分BoABΓ=⋅=FdlF⋅+dlF⋅+dlF⋅=dlF⋅dl∫l∫A∫∫Bo∫A由极坐标与直角坐标的关系：x=rcosϕ,y=rsinϕ，dl=aϕrdϕ=[ax(−rsinϕ)+ay(rcosϕ)]dϕπB⎛π⎞F⋅dl=2()−r3sin2ϕcosϕ−2r2cos2ϕdϕ=−9⎜1+⎟∫A∫0⎝2⎠π32⎛π⎞()∇×F⋅dS=az(−2−rcosϕ)⋅azrdrdϕ=−()2+rcosϕrdrdϕ=−9⎜1+⎟∫S∫S∫∫00⎝2⎠F⋅dl=rotF⋅dS可见∫l∫S成立。1.4标量场正象前面所述，一个标量场（scalarfield）的每点仅用一个数来说明，为了考察标量场在空间的分布和变化规律，引入等值面、方向导数和梯度的概念。一、标量场的等值面一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标系中，可将u表示为：u=u(x,,yz)（1-4-1）令u(x,,yz)=C（任意常数）（1-4-2）式（1-4-2）在几何上一般表示一个曲面，在这个曲面上的各点，虽然点坐标(,,)xyz不同，但函数值相等，称为标量场u的等值面。随着C的取值不同，得到一系列不同的等值面，如图1-18所示。同理，对于由二维函数v=v()x,y所给定的平面标量场，可按v(x,y)=C得到一系列不同值的等值线。图1-18标量场的等值面标量场的等值面或等值线，可以直观地帮助我们了解物理量在场中的分布情况。例如，根据地形图上等高线及其所标出的高度，我们就能了解到该地区的高低情况，根据等高线分布的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度。二、方向导数1方向导数的定义设P0为标量场u=u(P)中的一点，从点P0出发引出一条射线l，如图1-19所示。在l上P0点邻近取一点P，记线段Δuu(P)(−uP)=0P0P=Δl，如果当PP→0时，ΔlΔl的极限存在，则称它为函数u(P)在点P0处沿l方向的方向导数图1-19u沿不同方向的(directionalderivative)，记为：变化率∂uu()P−u(P)=lim0∂lΔl→0ΔlP0（1-4-3）由此定义可知，方向导数是函数u(P)在一个点处沿某一方向对距离的变化率，故当∂u∂u>0<0∂l时，u沿l方向是增加的，当∂l时，u沿l方向是减少的。2方向导数的计算公式在直角坐标系中，设函数u=u(x,,yz)在P0(x0,,y0z0)处可微，则有：∂u∂u∂uΔu=u()P−u(P0)=Δx+Δy+Δz+δΔl∂x∂y∂z（1-4-4）式（1-4-4）中，当Δl→0时δ→0。将上式两边同除以Δl并取极限得：∂u∂u∂u∂u=cosα+cosβ+cosγ∂l∂x∂y∂z（1-4-5）式中，cosα,cosβ,cosγ为l方向的方向余弦。三、标量场的梯度1梯度的定义方向导数为我们解决了函数u()P在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，必定在某个方向上变化率为最大。为此，我们定义一个矢量G，其方向就是函数u在点P处变化率为最大的方向，其大小就是这个最大变化率的值，这个矢量G称为函数u在点P处的梯度（gradient），记为∂u∂u∂ugradu=G=ax+ay+az∂x∂y∂z（1-4-6）算子∇与标量函数u相乘为一矢量函数。在直角坐标系中：∂u∂u∂u∇u=ax+ay+az∂x∂y∂z（1-4-7）所以有：gradu=∇u（1-4-8）另外，还经常用到标量拉普拉斯算子，即2∇=∇⋅∇（1-4-9）在直角坐标系中的拉普拉斯表达式为2222∂u∂u∂u∇u=ax2+ay2+az2∂x∂y∂z（1-4-10）一个标量函数u在柱坐标系中梯度和拉普拉斯表达式分别为∂u1∂u∂u∇u=aρ+aϕ+az∂ρρ∂ϕ∂z（1-4-11）1∂⎛∂u⎞1⎛∂2u⎞∂2u∇2u=⎜ρ⎟+⎜⎟+⎜⎟2⎜2⎟2ρ∂ρ⎝∂ρ⎠ρ⎝∂ϕ⎠∂z（1-4-12）一个标量函数u在球坐标系中梯度和拉普拉斯表达式分别为∂u1∂u1∂u∇u=ar+aθ+aϕ∂rr∂ϕrsinθ∂ϕ（1-4-13）11⎛∂u⎞1∂⎛∂u⎞1⎛∂2u⎞∇2u=r2+sinθ+⎜⎟2⎜⎟2⎜⎟22⎜2⎟r∂r⎝∂r⎠rsinθ∂θ⎝∂θ⎠rsinθ⎝∂ϕ⎠（1-4-14）2梯度的性质梯度有以下重要性质：∂u=∇u⋅l（1）方向导数等于梯度在该方向上的投影即∂l（2）标量场u中每一点P处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u()P增大的方向。也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。（3）∇×∇u≡0这就是说如果一个矢量F满足∇×F=0，即F是一个无旋场，则矢量F可以用一个标量函数的梯度来表示，即F=∇u。如静电场中的电场强度就可以用一个标量函数的梯度来表示。3梯度的积分设标量场u，它的梯度是一个无旋场∇u=F，根据斯托克斯定理，无旋场沿闭合路径的积分必然为零，即∇u⋅dl=(∇×∇u)⋅dS=0∫l∫S∇u⋅dl=∇u⋅dl+∇u⋅dl=0而∫l∫PCP112∫PCP221，如图1-20所示。∇u⋅dl=∇u⋅dl即∫PCP112∫PCP122，这说明积分与路径无关，仅与始点P1和终点P2的位置有关。P2P2du∇u⋅dl=dl=u()P2−u()P1图1-20无旋场沿不同∫P∫P11dl路径的积分假如选定始点P1为不动的固定点（参考点），P2点为任意动点，则P2点的函数值可表示为P2P2u()P2=∇u⋅dl+u()P1=F⋅dl+C∫P1∫P1（1-4-15）因此，如果已知一个无旋场，选定一个参考点，则可根据式（1-4-15）求得其标量场u。如在静电场中，已知电场强度，就可求得电位函数（第二章中介绍）。总之，一个标量场u，求其梯度可以得到无旋场，无旋场沿闭合路径的积分一定为零。1.5亥姆霍兹定理前面我们介绍了矢量分析中的一些基本概念和运算方法，其中矢量场的散度、旋度和标量场的梯度都是场的重要量度，或者说，一个矢量场的性质，完全可以由它的散度和旋度来表明；一个标量场的性质则完全可由它的梯度来表明。如果一个场的旋度为零，则称为无旋场；如果一个场的散度为零，则称为无散场。但就矢量场的整体而言，无旋场的散度不能处处为零；同样无散场的旋度也不能处处为零，否则场就不存在。因为任何一个物理矢量场都必须有源（source），场和源一起出现在某一空间内。假如我们把源看作是场的起因，矢量场的散度便对应于一种源，称为发散源（divergencesource）；矢量场的旋度对应另一种源，称为旋涡源(rotationalsource)。设一个矢量场A既有散度，又有旋度，现将其分解为一个无旋场分量A1和无散场分量A2之和，即AAA=1+2（1-5-1）其中无旋场分量A1的散度不等于零，设为ρ，无散场分量A2的旋度不等于零，设为J，因此有∇⋅AAAA=∇⋅()1+2=∇⋅1=ρ（1-5-2）∇×AAAAJ=∇×()1+2=∇×1=（1-5-3）如上可见，A的散度代表着形成矢量场A的一种源——标量源ρ，而A的旋度代表着形成矢量场A的另一种源——矢量源J。一般来说，当一个矢量场的两类源(ρ、J)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理(Helmholtztheorem)。亥姆霍兹定理告诉我们，研究一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，称为矢量场基本方程的微分形式，或者从矢量场的闭合面的通量和闭合回路的环量两个方面去研究，也就是矢量场基本方程的积分形式。应该指出，只有在矢量函数A连续的区域内，∇⋅A和∇×A才有意义，也就是说不能利用散度和旋度来分析不连续表面邻近的场的行为1.6哈密顿算子的常见运算规则要注意哈密顿算子∇既具有微分的功能又有矢量性。因此运算时要兼顾这两种特点。以下例子中、、都是的函数，且是标量。ABCx,y,zA,,BC都是x，y，z的函数，且是矢量。即：A=+AixAyxj+Ak，其中ijk,,分别是x，y，z方向的单位矢量。例如：（1）∇=∇+∇()()ABABA(B)分量形式：注意这个式子，A和B都是标量场，AB依然是标量场，∇作用在标量上就是求梯度，因此∇A，∇B都是矢量。因此等式左右两边都是矢量，这体现了∇的矢量性。由于∇有微dAB()dAdB分性，因此既要对A微分又要对B微分，联想=+BA，就能理解（1）式dxdxdx的运算规律了。（2）∇=∇+∇ii()()ABABA(iB)（2）式中，AB是一个矢量，因此∇i作用在其上得到一个标量，要想等式成立，右边也应该是标量，很明显（2）式符合这个要求。另外，∇的微分性要求既对A微分又对B微分，因此出现右边两项。之所以不出现(∇iA)B这类项，是因为∇i只能作用在矢量上。（3）∇×()()ABABA=∇×+(∇×B)（3）式完全可以从（2）式类推得到。（4）∇×=∇×−∇×iii()()()ABBAAB矢量代数中有类似的公式：CABiii()()(×=×+×BCAABC)，自己可以用分量的形式验证一下这个式子。但是把C直接替换成∇会出现：∇iii()()()AB×=B∇×+AAB×∇，而B×∇是错误的形式，因此ABi(×∇)只能调换顺序成为−Ai(∇×B)。这样既满足了∇的矢量性，有满足了∇的微分性。（5）∇××(ABBA)()()()()=iiii∇+∇BAAB−∇−∇AB此式对应的矢量代数中的公式为：()A××=BC()()CABCBAii−。先不管∇的微分性，单从矢量性看，∇×(A×B)可以写成()()∇−∇iiBAAB，再考虑∇的微分性，∇既要对A微分又要对B微分，所以()∇iBA又应该改写成两项()∇iBA+(Bi∇)A，同理()∇iAB也应该改写成()∇iAB+()Ai∇B。（6）∇()()()AiiBA=×∇×B+ABB∇+×∇×()()A+BAi∇结合（5）式不难看出（6）式的规律。（7）∇∇iA≡∇2A