第四节全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互不相容乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0ΩA1A2A3A4A6A7A5A8B由概率的可加性及乘法公式,有这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.全概率公式利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和．例1市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,且三家工厂的次品率分别为3％、3％、1％，试求市场上该品牌产品的次品率.设A1、A2、A3分别
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示买到一件甲、乙、丙的产品；B表示买到一件次品，解加权平均显然A1、A2、A3构成一个完备事件组，由题意有由全概率公式，例2袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？解分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式,解例3袋中有a个白球b个黑球，分别以A,B记第一次、第二次摸得白球，(1)采用有放回摸球；(2)采用无放回摸球，试分别判断A,B的独立性.(1)有放回摸球,所以A,B相互独立.全概率公式(2)无放回摸球,所以A,B不相互独立.在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式.(贝叶斯公式)定理贝叶斯公式该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因Ak的概率.贝叶斯ThomasBayes，英国数学家，1702年出生于伦敦，做过神甫.1742年成为英国皇家学会会员.1763年4月7日逝世.贝叶斯在数学方面主要研究概率论.他对统计推理的主要贡献是使用了“逆概率”这个概念,在1763年提出了著名的贝叶斯公式.所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例4已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,次品率分别为3％、3％、1％.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A已经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果？故贝叶斯公式也称为“逆概公式”.在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.P(A1|B)知道B发生后P(A2|B)P(A3|B)偏小最大在实际工作中检查的指标B一般有多个，综合这些后验概率，当然会对诊断有很大帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这一
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是有实用价值的.下面举一个实际的医学例子，说明贝叶斯公式在解决实际问题中的作用.解例5因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小.当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其他检验手段.思考：诊断为无病,而确实没有患病的概率为多少？贝叶斯公式在商业决策及其他企业管理学科中也有重要应用.有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.解例610个乒乓球有7个新球3个旧球.第一次比赛时随机取出2个，用过后放回.现在第二次比赛又取出2个，问第二次取到几个新球的概率最大？具体计算得由全概率公式，所以第二次取到一个新球的概率最大.如果发现第二次取到的是两个新球，问第一次没有取到新球的概率为多大？由贝叶斯公式，解例7甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5,0.7．如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落.(1)求飞机被击落的概率；(2)若飞机被击落，求是三人同时击中的概率．由独立性由全概率公式(2)由贝叶斯公式有练习：P28习题一
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