利用导数判断函数的单调性(理)（Word）

PAGE/NUMPAGES3.2利用导数判断函数的单调性知识要点梳理1.函数的导数与函数的单调性的关系：（1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内SKIPIF1<0>0，那么函数y=f(x)在这个区间内为增函数；如果在这个区间内SKIPIF1<0<0，那么函数y=f(x)在这个区间内为减函数。（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果函数y=f(x)在这个区间内为增函数，那么在这个区间内SKIPIF1<0SKIPIF1<00；如果函数y=f(x)在这个区间内为减函数。那么在这个区间内SKIPIF1<0SKIPIF1<00。2.求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：①确定函数SKIPIF1<0的定义域；②计算导数SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根；③把函数SKIPIF1<0的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把SKIPIF1<0的定义域分成若干个小区间；④确定SKIPIF1<0在各个开区间内的符号，根据SKIPIF1<0的符号判定函数SKIPIF1<0在每个相应小区间的增减性（若SKIPIF1<0>0,则f(x)在相应区间内为增函数；若SKIPIF1<0<0,则f(x)在相应区间内为减函数。）疑难点、易错点剖析：1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f’(x)>0（或f’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是SKIPIF1<0，xSKIPIF1<0恒成立，且f’(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f’(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f’(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令SKIPIF1<0恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f’(x)不恒为0，则由SKIPIF1<0，xSKIPIF1<0恒成立解出的参数的取值范围确定。2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0，解不等式得x的范围就是递增区间；③令f′(x)＜0，解不等式得x的范围，就是递减区间。3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论。直击考点考点一求不含参数的函数的单调区间考例1.求函数y=x2(1－x)3的单调区间.思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜SKIPIF1<0.∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，SKIPIF1<0)令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞SKIPIF1<0且x≠1.∵SKIPIF1<0为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(SKIPIF1<0，+∞)其函数的大致图像如下图：锦囊妙计：本题中，有一个特殊之处，当x=1时,f’(1)=0,但在x=1邻近的左右两侧的导数值同号（均为负），因此该函数的一个单调递减区间是SKIPIF1<0，而1SKIPIF1<0。举一反三：1.函数SKIPIF1<0的单调递减区间是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：C2.(05年广东高考题)函数SKIPIF1<0是减函数的区间为()（Ａ）SKIPIF1<0（Ｂ）SKIPIF1<0（Ｃ）SKIPIF1<0（Ｄ）SKIPIF1<0答案：D解析：SKIPIF1<0考点二求含参数的函数的单调区间考例2．（06山东卷）设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中aSKIPIF1<0--1，求f(x)的单调区间。解：由已知得函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，（2）当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0随SKIPIF1<0的变化情况如下表SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0—0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0从上表可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.综上所述：当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.锦囊妙计:求含字母参数的函数的单调区间时要注意对字母参数进行分类讨论.举一反三：（06山东卷）设函数f(x)=SKIPIF1<0(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)讨论f(x)的极值.解：由已知得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（Ⅰ）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0随SKIPIF1<0的变化情况如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0从上表可知，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；在SKIPIF1<0上单调递减；在SKIPIF1<0上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0没有极值.当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，在SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0.考点三利用导数证明不等式考例3.当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.思路分析：假设构造函数f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以得到证明.证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x锦囊妙计：通过构造函数,利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将x赋值,利用单调性证明一个不等式。这也是证明不等式的一个种方法.举一反三:1.已知x>1，证明不等式x>1n(1+x)思路分析：构造函数SKIPIF1<0，利用导数知识讨论SKIPIF1<0的单调性,从而证得.SKIPIF1<0SKIPIF1<0解：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在（1，SKIPIF1<0上为增函数,∴当x>1时,f(x)>f(1),即x-1n(1+x)>1-1n2>0,∴x>1n(1+x).2.证明不等式SKIPIF1<0提示:构造函数SKIPIF1<0,利用导数证明函数SKIPIF1<0是增函数。考点四利用导数讨论（求）函数中的参数的取值范围考例4．（06全国II）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．　对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．举一反三：（06湖南卷）已知函数SKIPIF1<0.（Ｉ）讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（Ⅱ）若曲线SKIPIF1<0上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.解　（Ⅰ）由题设知SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0.当（i）a>0时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数；（ii）当a＜0时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线SKIPIF1<0上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处分别是取得极值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为线段AB与x轴有公共点，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].误区警示：例．已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d满足以下3个条件：①在SKIPIF1<0，0]上为增函数②在[0，2]上为减函数③f(2)=01）求c的值；2）求f(1)的范围。常见错误：由f(x)在[0，2]上为减函数，f(2)=0,得SKIPIF1<0，导致b的范围缩小，进而导致求f(1)的范围出错。正解：①由条件①②知，x=0为y=f(x)的极值点又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0②由于c=0则f(x)=x3+bx2+d从而f(1)=1+b+d又知：f(2)=8+4b+d=0SKIPIF1<0d=-8-4b则f(1)=-3b-7由②知，SKIPIF1<0∴f(1)≥(-3)×(-3)-7=2故f(1)≥2。紧扣考纲大演练一.单项选择题1.（原创题）函数SKIPIF1<0的单调递减区间是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0答案：B2.3.已知函数SKIPIF1<0,(SKIPIF1<0)上任一点(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)处的切线斜率为k=SKIPIF1<0，则该函数的单调递减区间为()ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0和（12）DSKIPIF1<0答案：B4．设函数SKIPIF1<0在定义域内可导，SKIPIF1<0的图像如图，则导函数SKIPIF1<0的图像可能是（C）5．已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，下面四个图象中SKIPIF1<0的图象大致是（C）6．已知函数SKIPIF1<0，其导函数SKIPIF1<0的图象如右图，则SKIPIF1<0：A．在(-SKIPIF1<0，0)上为减函数B．在x=0处取得最大值C．在（4，+SKIPIF1<0）上为减函数D．在x=2处取得最小值6．C[思路分析]：由导函数的性质知，SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0递减。从图像上知，当x>4时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在（4，+SKIPIF1<0）上递减。二.填空题7．（改编题）函数SKIPIF1<0的单调减区间是__________.答案：SKIPIF1<0解析：首先考虑定义域SKIPIF1<0及SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，8.(原创题)函数SKIPIF1<0在R内是减函数，则k的取值范围是________________答案：k<09．如图，函数SKIPIF1<0的图象在点P处的切线方程是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=。10．（改编题）设SKIPIF1<0分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0则不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0三.解答题11.（06安徽卷）设函数SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0是奇函数。（Ⅰ）求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值。（Ⅱ）求SKIPIF1<0的单调区间与极值。解析：（Ⅰ）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0。从而SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0是一个奇函数，所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由奇函数定义得SKIPIF1<0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，由此可知，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0是单调递增区间；SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0是单调递减区间；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时，取得极大值，极大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时，取得极小值，极小值为SKIPIF1<0。13．（07佛山市质检）已知函数SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若定义在区间D上的函数SKIPIF1<0对于区间D上的任意两个值SKIPIF1<0总有以下不等式SKIPIF1<0成立，则称函数SKIPIF1<0为区间D上的“凹函数”.试证当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为“凹函数”.（Ⅰ）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0。函数为SKIPIF1<0上单调函数.若函数为SKIPIF1<0上单调增函数，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.也即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.令SKIPIF1<0，上述问题等价于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为在SKIPIF1<0上的减函数，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0为所求.（Ⅱ）证明：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0①又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0②∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0③由①、②、③得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数.友情提示： 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