2.2.3 等差数列的前n项和
1．掌握等差数列的前n项和公式，并能运用公式解决一些简单问题．(重点)
2．体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系．(难点)
3．等差数列前n项和的最值的判断．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 等差数列的前n项和公式
阅读教材P42，完成下列问题．
1．等差数列的前n项和公式
已知条件
首项a1和末项an
首项a1和公差d
选用公式
Sn＝
Sn＝na1＋
2.推导等差数列的前n项和的方法是倒序相加法．
1．在等差数列{an}中，a1＝1，a30＝30，则S30＝________.
【解析】 S30＝＝＝465.
【答案】 465
2．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝________.
【解析】 ∵a1＝1，a3＋a5＝2a4＝14，∴a4＝7，∴d＝2，
∴Sn＝n＋×2＝100，∴n＝10.
【答案】 10
教材整理2 等差数列前n项和的性质
阅读教材P48第8题～第12题，完成下列问题．
等差数列前n项和常用性质
(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列．
(2)S奇
表
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示奇数项之和，S偶表示偶数项之和，公差为d.
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，
＝.
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
(3)前n项Sn是关于n的二次函数，不具有常数项．
①当a1>0，d<0时，Sn有最大值．
②当a1<0，d>0时，Sn有最小值．
1．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝________.
【解析】 设a3＋a6＋a9＝x，则45,39，x成等差数列，∴45＋x＝39×2，∴x＝33.
【答案】 33
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2－10n，则当n＝________时，Sn最小．
【解析】 Sn＝n2－10n＝(n－5)2－25，∴当n＝5时，Sn最小，为－25.
【答案】 5
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
与等差数列Sn有关的基本量的计算
在等差数列{an}中，
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
【精彩点拨】 (1)(2)利用Sn＝求解；
(3)利用Sn＝na1＋d求解．
【自主解答】 (1)由题意，得
Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，
解得a8＝39.
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5.
(3)由
得
解方程组得或
等差数列的基本计算方法与技巧
1．公式Sn＝中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式Sn＝na1＋d中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个可以求另外的两个量．简称“知三求二”．
2．在进行等差数列基本量的互求时，要注意求和公式和通项公式的恰当选取，注意方程思想及等差数列性质的应用．
[再练一题]
1．已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d；
(3)S5＝24，求a2＋a4.
【解】 (1)Sm＝m·＋·＝－15，
整理，得m2－7m－60＝0，解得m＝12或m＝－5(舍去)，
∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4.
(2)由Sn＝＝
＝－1 022，得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.
(3)法一 设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋d＝24，得5a1＋10d＝24，即a1＋2d＝，
∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×＝.
法二 由S5＝＝24，得a1＋a5＝.
∴a2＋a4＝a1＋a5＝.
等差数列前n项和的最值
在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求数列{an}的前多少项和最大？
【精彩点拨】
【自主解答】 法一 由
得解得d＝－2.
则Sn＝25n＋(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169，
∴数列{an}的前13项和最大．
法二 同法一解得d＝－2，∴an＝25＋(－2)(n－1)＝－2n＋27.
令an>0，即－2n＋27>0，解得n<13.5，
即数列{an}的前13项均为正数，第13项以后均为负数，
∴数列{an}的前13项和最大．
法三 ∵a1＝25，S9＝S17，∴公差d<0.
又Sn＝na1＋d＝n2＋n，设a＝，b＝a1－，则Sn＝an2＋bn(a<0)，其图象是二次函数f(x)＝ax2＋bx图象上一群孤立的点．
∵S9＝S17，即f(9)＝f(17)，
∴二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝＝13，且开口向下，
∴当x＝13时，f(x)取得最大值，
∴数列{an}的前13项和最大．
等差数列前n项和的最值问题的三种解法
1．利用an：当a1>0，d<0时，前n项和有最大值．可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；当a1<0，d>0，前n项和有最小值，可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值．
2．利用Sn：由Sn＝n2＋n(d≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值．
3．利用二次函数的图象的对称性．
[再练一题]
2．在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值.
【导学号：91730031】
【解】 法一 ∵an＝2n－14，
∴a1＝－12，d＝2，
∴a1
5时，bn>0；
当n＝5时，bn＝0.
由此可知，数列{bn}的前4项或前5项的和最小．
易知T4＝T5＝－20，故数列{bn}的前n项和Tn的最小值为－20.
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一、
填空题
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1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于________．
【解析】 ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∵a2＝3，
∴d＝a3－a2＝2，
∴a7＝3＋5×2＝13.
【答案】 13
2．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10＝________.
【解析】 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝
＝＝－15.
【答案】 －15
3．(2016·南京高二检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝________.
【解析】 由等差数列前n项和公式知S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a7＋a2)，又S8＝4a3，∴4(a7＋a2)＝4a3，
∴－2＋a2＝a3，∴公差d＝－2，∴a9＝a7＋2d＝－6.
【答案】 －6
4．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________.
【导学号：91730033】
【解析】 ∵S奇＝6a1＋×2d＝30，∴a1＋5d＝5，
S偶＝5a2＋×2d＝5(a1＋5d)＝25，
∴a中＝S奇－S偶＝5.
【答案】 5
5．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．
【解析】 ∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.
故当n＝5或6时，Sn最大．
【答案】 5或6
6．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
【解析】 由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.
【答案】 27
7．已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，则项数n为________．
【解析】 ∵a1＋a2＋a3＋a4＝25，an－3＋an－2＋an－1＋an＝63，
而a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
∴4(a1＋an)＝88，∴a1＋an＝22.
∴Sn＝＝11n＝286，∴n＝26.
【答案】 26
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足50，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
【解】 (1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，
∵S12>0，S13<0，
∴即
∴－0，S13<0，
∴
∴
∴a6>0.
又由(1)知d<0，
∴数列前6项为正，从第7项起为负，
∴数列前6项和最大．
[能力提升]
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________.
【解析】 由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，
由
得
解得
【答案】 5
2．(2016·如东高二检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且对任意正整数n都有＝，则Sn＝________.
【导学号：91730034】
【解析】 由等差数列的通项公式可得，a2n＝1＋(2n－1)d，an＝1＋(n－1)d.
∵＝，对任意n都成立，
∴＝对任意n都成立，
当n＝1时，有＝3，解得d＝2，
∴Sn＝n×1＋×2＝n2.
【答案】 n2
3．若数列{an}是等差数列，首项a1>0，a2 003＋a2 004>0，a2 003·a2 004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n＝________.
【解析】 由条件可知数列单调递减，
故知a2 003>0，a2 004<0，
故S4 006＝
＝2 003(a2 003＋a2 004)>0，
S4 007＝＝4 007×a2 004<0，
故使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4 006.
【答案】 4 006
4．(2016·无锡高二检测)在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22，求数列{|an|}的前n项和．
【解】 由已知得
得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.
∴当n≤17，n∈N*时，an>0；
当n≥18，n∈N*时，an<0.
∴当n≤17，n∈N*时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n；
当n≥18，n∈N*时
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)
＝n2－n＋884.
∴当n≤17，n∈N*时，{|an|}的前n项和为－n2＋n，
当n≥18，n∈N*时，{|an|}的前n项和为n2－n＋884.
浙公网安备 33021202002483