2019数学数列与不等式专题+技巧（公众号：卷洞洞）

整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。12019年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】专题四数列与不等式考向一等差数列与等比数列的计算问题【 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 改编☆回顾基础】1．【等差数列的通项公式、求和公式】【2018年新课标I卷改编】设为等差数列的前项和，若，，则.【答案】【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以.2.【等比数列的通项公式】【2017课标3，理14】设等比数列na满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________.【答案】83.【等差的通项公式及求和公式、等比中项】【2017课标3改编】等差数列na的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则na前6项的和为.【答案】24【解析】【命题预测☆看准方向】等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查;对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解答题中的某一问出现,属于中档题;等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等式、函数、方程等知识相结合.整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。2预测2019年数列问题将保持一大一小的命题形式，且小题也可能将等差数列与等比数列综合考查.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018年全国卷II理】记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【趁热打铁】【2017·全国卷Ⅱ改编】已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2，a3＋b3＝5，则{bn}的通项公式为________．【答案】bn＝2n－1【解析】设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由a2＋b2＝2得d＋q＝3，①由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②联立①②，解得d＝3，q＝0(舍去)或d＝1，q＝2.因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.【例2】【2017·江苏卷】等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________.【答案】32【趁热打铁】【2018届湖北省潜江市城南中学高三期中】若正项等比数列na满足243aa，351aa，则公比q_________，na_________．【答案】22222n【解析】设等比数列的首项为11,0aa，公比为,0qq，由题意可得326113,1aqqaq解得1222,,2naqa222n，填(1).22(2).222n【 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 总结☆全面提升】1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n项和公式构造关于a1与d、a1与q的方程(组)解决.在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识.整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。32.解决等差数列{an}前n项和问题常用的三个公式是:Sn=;Sn=na1+d；Sn=An2+Bn(A,B为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷.3.等差数列和等比数列的中项、前n项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程.4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法.5.等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形.在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相关公式,同时两种数列可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等比数列取对数函数之后即为等差数列.【规范示例☆避免陷阱】【典例】【2017北京改编】若等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=–1，a4=b4=8，求22ab.【规范解答】设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即解得故=1.【反思提高】等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.【误区警示】用数列性质解决数列问题，往往可以简化解题过程，但技巧性较强，同时还要注意性质成立的条件，如等差数列{an}中，a1＋an＝a2＋an－1，但a1＋an≠an＋1；等比数列的前n项和为Sn，则在公比不等于－1或m不为偶数时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．考向二数列的通项与求和【高考改编☆回顾基础】1.【等比数列的求和】【2018年新课标I卷理】记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。4【解析】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以，故答案是.2．【裂项相消法】【2017·全国卷Ⅲ改编】已知an＝22n－1，则数列an2n＋1的前n项和为________．【答案】2n2n＋1【解析】记an2n＋1的前n项和为Sn，∵an2n＋1＝2（2n＋1）（2n－1）＝12n－1－12n＋1，∴Sn＝11－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝2n2n＋1.3.【错位相减法】【2017山东卷改编】已知an＝2n，bn＝2n＋1，则数列bnan的前n项和Tn＝________．【答案】5－2n＋52n【解析】令cn＝bnan，则cn＝2n＋12n，因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝32＋522＋723＋…＋2n－12n－1＋2n＋12n，又12Tn＝322＋523＋724＋…＋2n－12n＋2n＋12n＋1，两式相减得12Tn＝32＋12＋122＋…＋12n－1－2n＋12n＋1，所以Tn＝5－2n＋52n.4.【数列中的数学文化】【2017·全国卷Ⅱ改编】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．【答案】3整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。5【解析】设塔的顶层共有a1盏灯，根据题意得a1（1－27）1－2＝381，解得a1＝3.【命题预测☆看准方向】数列的通项与求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列的基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后进一步研究综合问题.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，考查的重点应该是围绕：常见求数列通项的方法、倒序求和法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起,在考查基本运算、基本能力的基础上,又注意考查学生分析问题、解决问题的能力.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届衡水金卷高三大联考理】已知数列na与nb的前n项和分别为nS，nT，且0na，2*63,nnnSaanN，122121nnnanaab，若*,nnNkT恒成立，则k的最小值是()A.17B.149C.49D.8441【答案】B【解析】当1n时，211163aaa，解得13a或10a.由0na得13a.由263nnnSaa，得211163nnnSaa.两式相减得22111633nnnnnaaaaa.所以11()(3)0nnnnaaaa.因为0na，所以110,3nnnnaaaa.即数列na是以3为首项，3为公差的等差数列，所以3313nann.所以111281117818181812121nnnannnnnnaab.所以22311111111111117818181818181778149nnnnT.要使*,nnNkT恒成立，只需149k.故选B.整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。6【趁热打铁】【2018届湖南省衡阳县高三12月联考】若曲线ln*yxxnnN在x轴的交点处的切线经过点1,na，则数列1na的前n项和nS__________．【答案】1nn[来源【解析】令ln0xxn，得1xn，则切点为1,0n∵lnxyxnxn∴1|1xnyn∴曲线lnyxxn在x轴的交点处的切线方程为11ynxn∵切线经过点1,na∴1nann∴111111nannnn∴11111122311nnSnnn故答案为1nn【例2】【2018年浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由是的等差中项得，所以，解得.整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。7由得，因为，所以.（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.【趁热打铁】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列na满足1111,021nnnaaaa.（Ⅰ）求证：数列1na是等差数列；整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。8（Ⅱ）若数列nb满足1122,1nnnnbabba，求nb的前n项和nS.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）12326nnSn【解析】（Ⅰ）若10na，则0na，这与11a矛盾，∴10na，由已知得1120nnnnaaaa，∴1112nnaa，故数列na是以111a为首项，2为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1112121nna，由112nnnnbaba可知112nnnnabab.又112ab∴1222nnnnab∴212nnbn，∴123123252212nnSn，则23412123252212nnSn，∴231122222222123226nnnnSnn，∴12326nnSn【例3】【2018届江西省南昌市第二中学高三上第五次月考】已知数列na的前n项和nS满足：21nnSa.（1）数列na的通项公式；（2）设1111nnnnnaabaa，且数列nb的前n项和为nT，求证：13nT.【答案】（1）1*111·333nnnanN，；（2）见解析。整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。9（2）证明：11111111133111131311133nnnnnnnnnnnaabaa．由111111,313313nnnn，所以111111313133nnnnnb，所以12223111111111133333333nnnnnTbbb．因为1103n，所以1111333n，即13nT．故选C.【趁热打铁】【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知数列na的前n项和为nS，11a，*121,nnaSnN．等差数列nb中，25b，且公差2d．（Ⅰ）求数列,nnab的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得1122...60nnabababn＞?．若存在，求出n的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）13nna，21nbn；（2）4．【解析】（Ⅰ）121nnaS，当2n时，-12+1nnaS两式相减得，+1=32nnaan，又*21112133,3nnaaaaanN，数列na是以1为首项，3为公比的等比数列，1=3nna，又12523bbd，1121nbbndn.（Ⅱ）1213nnnabn,令221315373...213213...nnnTnn①则2313335373...213213...nnnTnn②①-②得：21231233...3213nnnTn，360nnTnn，即360n，34327,381，n的最小正整数为4.【方法总结☆全面提升】1.常见求数列通项的方法有:迭加法、迭乘法、构造等差数列、等比数列法、取倒数法,利用数列前n项和Sn与通项an之间的关系Sn-Sn-1=an(n≥2)进行递推、构造新数列等.整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。102.非等差数列、非等比数列求和的常用方法:(1)倒序相加法,如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的.(2)错位相减法,如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列;所谓“错位”,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的和,此时一定要查清其项数.(3)裂项相消法,把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+k-bn(k∈N*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件.(4)分组求和法,一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.(5)并项求和法,一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.【规范示例☆避免陷阱】【典例】【2017·天津高考】已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．【规范解答】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q＞0，解得q＝2，所以bn＝2n.---2分由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①.由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②.联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.---2分【反思提升】1．牢记等差、等比数列的an及Sn公式．求等差、等比数列的基本量，首先考虑性质的运用，如果不能用性质，才考虑使用基本量法，在使用错位相减法求和时，一定要弄清楚参与运算的项数和没有参与运算的项数．2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得an，bn.整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。11【误区警示】写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证．如本题第(1)问要充分体现等差(比)数列基本量的运算．第(2)问利用错位相减法求Tn，计算要求更高，往往很多学生计算出错导致失分．考向三不等式【高考改编☆回顾基础】1．【集合的运算、函数的定义域值域、简单不等式的解法】【2017山东改编】设函数x2y=4-的定义域A，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则AB=.【答案】[-2,1)【解析】由240x得22x，由10x得1x，故AB={|22}{|1}{|21}xxxxxx.2.【不等式的性质、基本不等式、对数函数的性质】【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】,即又即故选B.3.【基本不等式】【2017天津文理】若,abR，0ab，则4441abab的最小值为___________.整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。12【答案】4【解析】44224141114244abababababababab，（前一个等号成立条件是222ab，后一个等号成立的条件是12ab，两个等号可以同时取得，则当且仅当2222,24ab时取等号）.4.【基本不等式的应用】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是.【答案】30【解析】总费用600900464()42900240xxxx，当且仅当900xx，即30x时等号成立.5.【简单线性 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 】【2018年理新课标I卷】若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。13由，解得，此时，故答案为6.【命题预测☆看准方向】在近几年的高考试卷中对不等式的考查,主要热点是线性规划知识、基本不等式、解不等式及绝对值不等式.解不等式主要涉及一元二次不等式、简单的对数和指数不等式等,并且以一元二次不等式为主,重在考查等价转化能力和基本的解不等式的方法;基本不等式的考查重在对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验,常用来求最值或求恒成立问题中 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 的取值范围.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初来联考】已知集合2{|230}Axxx，2{|31,}ByyxxR，则AB（）A.{|31}xxB.{|12}xxC.{|11}xxD.{|13}xx【答案】C【解析】2|230|13Axxxxx，2|31,|1ByyxxRyy，则AB|11xx，故选C．【趁热打铁】函数的定义域是A.B.C.D.【答案】B【解析】由题设可得,应选答案B.【例2】【2017山东文理】若0ab，且1ab，则下列不等式成立的是（）（A）21log2abaabb（B）21log2ababab（C）21log2abaabb（D）21log2ababab【答案】B[整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。14【趁热打铁】【2018届浙江省温州市高三9月测试（一模）】已知（，），则的最大值为__________．【答案】0【解析】，，当时等号成立，所以的最大值为，故答案为.【例3】【2017课标3，理13】若x，y满足约束条件y0200xxyy，则z34xy的最小值为__________.【答案】1【解析】【趁热打铁】【2017课标1】设x，y满足约束条件21210xyxyxy，则32zxy的最小值为.【答案】5【解析】不等式组 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333ABC，整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。15由32zxy得322zyx在y轴上的截距越大，z就越小所以，当直线直线32zxy过点A时，z取得最小值所以z取得最小值为3(1)215【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.【例4】【2017天津，理8】已知函数23,1,()2,1.xxxfxxxx设aR，若关于x的不等式()||2xfxa在R上恒成立，则a的取值范围是（A）47[,2]16（B）4739[,]1616（C）[23,2]（D）39[23,]16【答案】A222222xxxx（当2x时取等号），所以232a，综上47216a．故选A．【趁热打铁】已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】满足题意时的图象恒不在函数下方，当时，函数图象如图所示，排除C,D选项；整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。16当时，函数图象如图所示，排除B选项，本题选择A选项.【方法总结☆全面提升】1.基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值14s2(简记为：和定，积有最大值)．要注意“一正、二定、三相等”三者缺一不可.2.求解不等式恒成立问题的常用思想方法:(1)分离参数法:通过分离参数,转化为不含参数的函数最值问题求解.若函数f(x)有最大值,则f(x)≤m恒成立等价于m≥f(x)max;整理自公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多资料。17若函数f(x)有最小值,则f(x)≥m恒成立等价于m≤f(x)min.(2)函数思想:转化为求含参数的最值问题求解.(3)数形结合思想:转化为熟悉的函数并利用其图象关系求解.3.线性规划问题的常见题型有：(1)求最值,常见形如截距式zaxby,斜率式xbzxa,距离式22zxayb.(2)求区域面积.(3)由最优解或可行域确定参数的值或取值范围.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋1x)(y＋1y)的最小值为________．【反思提升】1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．2．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．【误区警示】忽视考察等号成立的条件是否具备而产生如下错解．错解一：因为对a>0，恒有a＋1a≥2，从而z＝(x＋1x)(y＋1y)≥4，所以z的最小值是4.错解二：z＝2＋x2y2－2xyxy＝(2xy＋xy)－2≥22xy·xy－2＝2(2－1)，所以z的最小值是2(2－1)．