2019版高考数学总复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和课件 文

[知识重温] 一、必记5●个知识点 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示；定义的表达式为：an＋1－an＝d(n∈N*)． 2．等差数列的通项公式 设等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.等差数列的通项公式是关于n的一次函数形的函数． 3．等差中项 若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝eq \f(a＋b,2). 4．等差数列的前n项和公式 若已知首项a1和末项an，则Sn＝eq \f(na1＋an,2)，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数形的函数且无常数项． 5．等差数列与等差数列各项的和有关性质 (1)am＝an＋(m－n)d或eq \f(am－an,m－n)＝d.(m、n∈N*) (2)在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，则有ap＋aq＝2am，(p，q，m，n∈N*)． (3)d＞0⇔{an}是递增数列，Sn有最小值；d＜0⇔{an}是递减数列，Sn有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列． (4)数列{λan＋b}仍为等差数列，公差为λd. (5)若{bn}，{an}都是等差数列，则{an±bn}仍为等差数列． (6)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. (7)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (8)S2n－1＝(2n－1)an. (9)若n为偶数，则S偶－S奇＝eq \f(n,2)d. 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 二、必明2●个易误点 1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． [小题热身] 1．(2015·重庆卷)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　) A．－1　　　B．0 C．1 D．6 解析：由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B. 答案：B 2．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：由S5＝eq \f(a2＋a4·5,2)⇒25＝eq \f(3＋a4·5,2)⇒a4＝7，所以7＝3＋2d⇒d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13，故选B. 答案：B 3．若等差数列{an}的前三项为x－1，x＋1,2x＋3，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n－5 B．an＝2n－3 C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1 解析：∵等差数列{an}的前三项为x－1，x＋1,2x＋3， ∴(x－1)＋(2x＋3)＝2(x＋1)，解得x＝0. ∴a1＝－1，d＝2， ∴an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3. 答案：B 4．(2018·黄冈质检)在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　) A．95 B．100 C．135 D．80 解析：由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100. 答案：B 5．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq \f(1,2)(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________． 解析：当n≥2时，an＝an－1＋eq \f(1,2)， 所以{an}是首项为1，公差为eq \f(1,2)的等差数列， 所以S9＝9×1＋eq \f(9×8,2)×eq \f(1,2)＝9＋18＝27. 答案：27 6．在等差数列40,37,34，…中，第一个负数项是________． 解析：∵a1＝40，d＝37－40＝－3， ∴an＝40＋(n－1)×(－3)＝－3n＋43， 令an<0，即－3n＋43<0，解得n>eq \f(43,3)， 故第一个负数项是第15项，即a15＝－3×15＋43＝－2. 答案：－2 eq \x(考向一)　等差数列的基本运算 [自主练透型] 1．(2017·新课标全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1　　B．2 C．4 D．8 解析：设{an}的公差为d，则 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＋a5＝24，,S6＝48，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋3d＋a1＋4d＝24，,6a1＋\f(6×5,2)d＝48，))解得d＝4. 故选C. 答案：C 2．(2018·合肥检测二)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，S6＝3，则S10＝(　　) A.eq \f(1,10) B．0 C．－10 D．－15 解析：本题考查等差数列．设等差数列{an}的公差为d，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S3＝3a1＋3d＝6，,S6＝6a1＋15d＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝－1，))则S10＝10a1＋45d＝30－45＝－15，故选D. 答案：D 3．(2018·湖北调考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝4，a2＋a4＋a6＝30，则S6＝(　　) A．54 B．44 C．34 D．24 解析：本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式．设数列{an}的公差为d,4＋d＋4＋3d＋4＋5d＝30，解得d＝2，所以S6＝6×4＋eq \f(6×5,2)×2＝54，故选A. 答案：A 悟·技法 等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差为d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想. eq \x(考向二)　等差数列的判定与 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 [自主练透型] 　(2018·湖北华中师大附中期中)已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)． (1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列，并求其通项公式； (2)设bn＝eq \r(2an)－15，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)， ∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴eq \f(an＋1,n＋1)－eq \f(an,n)＝2， ∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列，其公差为2，首项为2， ∴eq \f(an,n)＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝eq \r(2an)－15＝2n－15， 则数列{bn}前n项和Sn＝eq \f(n－13＋2n－15,2)＝n2－14n. 悟·技法 等差数列的判定方法 (1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是定义法，an－an－1＝d(常数)(n≥2)；第二种是利用等差中项法，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前n项和公式直接判定． (3)若判定一个数列不是等差数列，则只需要说明某连续3项(如前三项)不是等差数列即可. eq \x(考向三)　等差数列的性质及其应用 [分层深化型] [例]　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝(　　) A．18　　　B．12　　　C．9　　　D．6 (2)(2018·合肥质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝1，S16＝0，当Sn取最大值时n的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 D B 解析：(1)由题意得S11＝eq \f(11a1＋a11,2)＝eq \f(112a1＋10d,2)＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6. (2)法一　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a8＝a1＋7d＝1,S16＝16a1＋\f(16×15,2)d＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝15,d＝－2))， 则Sn＝－n2＋16n＝－(n－8)2＋64，则当n＝8时，Sn取得最大值． 法二　因为{an}是等差数列，所以S16＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)＝0，则a9＝－a8＝－1，即数列{an}的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(Sn)max＝S8，选项B正确． 悟·技法 1.等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔eq \f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an. 2.求等差数列前n项和Sn最值的2种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm. [同类练]——(着眼于触类旁通) 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n>6)，则数列{an}的项数为________． 解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，② ①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36， 又Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝324，∴18n＝324，∴n＝18. 答案：18 [变式练]——(着眼于举一反三) 2．(2018·重庆适应性测试)设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________. 解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝eq \f(8,9)，因此S100＝10S10＋eq \f(10×9,2)d＝10×16＋eq \f(10×9,2)×eq \f(8,9)＝200. 答案：200 3．(2018·河北衡水中学二调)两个等差数列的前n项和之比为eq \f(5n＋10,2n－1)，则它们的第7项之比为(　　) A．2 B．3 C.eq \f(45,13) D.eq \f(70,27) 解析：设这两个数列的前n项和分别为Sn，Tn，则eq \f(S13,T13)＝eq \f(\f(13a1＋a13,2),\f(13b1＋b13,2))＝eq \f(13×2a7,13×2b7)＝eq \f(a7,b7)＝eq \f(5×13＋10,2×13－1)＝3，故选B. 答案：B [拓展练]——(着眼于迁移应用) 4．(2018·三门峡月考){an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则Sn>0成立的最大自然数为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：由S4＝S8得，a5＋a6＋a7＋a8＝0，即a6＋a7＝0，又a1>0，d<0， 所以S12＝eq \f(12a1＋a12,2)＝6(a6＋a7)＝0，则当n<12时，Sn>0；当n≥12时，Sn≤0，即Sn>0成立的最大自然数为11，故选A. 答案：A 5．(2018·湖南省湘中名校高三联考)若{an}是等差数列，首项a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是(　　) A．2 016 B．2 017 C．4 032 D．4 033 解析：因为a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032＝eq \f(4 032a1＋a4 032,2)＝eq \f(4 032a2 016＋a2 017,2)>0，S4 033＝eq \f(4 033a1＋a4 033,2)＝4 033a2 017<0，所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4 032，故选C. 答案：C