平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案

第五章 平面向量 【考纲说明】 1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。 2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。 3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 、力学问题与其他一些实际问题。 【知识梳理】 一、 向量的基本概念与线性运算 1 （1）向量：既有大小又有方向的量，记作 ；向量的大小即向量的模（长度），记作| | 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． （2）零向量：长度为0的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行 （3）单位向量：模为1个单位长度的向量 常用e表示． （4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作 ∥ 平行向量也称为共线向量 （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为 HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" 大小相等，方向相同 HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" （6）相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量 记作 ,零向量的相反向量仍是零向量 若 、 是互为相反向量，则 = , = , + = HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" 2 向量的线性运算： （1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ． （2）向量的减法 ：求向量 加上 的相反向量的运算叫做 与 的差． 向量的减法有三角形法则， 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点） （3）向量的数乘运算：求实数λ与向量 的积的运算，记作λ ． ① ； ②当 时，λ 的方向与 的方向相同；当 时，λ 的方向与 的方向相反；　当 时， ，方向是任意的 ③数乘向量满足交换律、结合律与分配律 3. 向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" 向量 与非零向量 共线 有两个均不是零的实数 、 ，使得 ． 二、平面向量的基本定理与坐标表示 1 平面向量的基本定理： 如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使： ，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2. 平面向量的坐标表示： （1）在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 可表示成 ，由于 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量 的坐标，记作 =(x,y)，其中x叫作 在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 显然 =（0,0）， ， ． （2）设 .则向量 的坐标(x,y)就是终点A的坐标，即若 =(x,y)，则A点的坐标为(x,y)，反之亦成立（O是坐标原点）． 3 平面向量的坐标运算： （1）若 ，则 ． （2）若 ，则 ， ． （3）若 =(x,y)，则 EMBED Equation.3 =( x, y)． （4）若 ，则 ． （5）若 ，则 ． 三、平面向量的数量积 1 两个向量的数量积： 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ， · 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积叫做 与 的数量积（或内积），即 · =︱ ︱·︱ ︱cos ， 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 2 向量的投影：︱ ︱cos = ∈R，称为向量 在 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 3 向量的模与平方的关系： HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" 4 乘法公式成立： ； EMBED Equation.3 ． 5 平面向量数量积的运算律： ①交换律成立： ． ②对实数的结合律成立： ． ③分配律成立： EMBED Equation.3 ； 特别注意：①结合律不成立： ． ②消去律不成立 EMBED Equation.3 不能得到 ． ③ =0 不能得到 = 或 = 6 两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量 ，则 · = HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" 7 向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则∠AOB= （ ）叫做向量 与 的夹角 cos = = HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" 当且仅当两个非零向量 与 同方向时，θ=00，当且仅当 与 反方向时θ=1800，同时 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 8 垂直：如果 与 的夹角为900则称 与 垂直，记作 ⊥ HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" ⊥ EMBED Equation.3 · ＝O EMBED Equation.3 【经典例题】 【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 ， ， ，则 = （　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （A） （B） （C） （D） 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】B． 【解析】由角平分线的性质得 ,即有 ．从而 ．故选B． 【例2】（2009北京，2）已知向量a、b不共线，c a b R),d a b,如果c d， 那么 （ ） A． 且c与d同向 B． 且c与d反向 C． 且c与d同向 D． 且c与d反向 【答案】D． 【解析】取a ，b ，若 ，则c a b ，d a b ， 显然，a与b不平行，排除A、B． 若 ，则c EMBED Equation.DSMT4 a b ，d EMBED Equation.DSMT4 a b ， 即c d且c与d反向，排除C，故选D． 【例3】（2009湖南卷文）如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ) A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】得． 或． 【例4】（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A． 【解析】向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，故选A． 【例5】（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量、、满足，则 （ ） A．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B． 【解析】由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B． 【例6】（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _________． 【答案】 ． 【解析】设、则 , , 代入条件得． 【例7】（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________． 【答案】(0,－2)． 【解析】平行四边形ABCD中, ∴＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2) 即D点坐标为(0,－2)． 【例8】（2012江苏）如图,在矩形 中, 点 为 的中点，点 在边 上,若 ,则 的值是___． 【答案】 ． 【解析】由 ,得 ,由矩形的性质,得 ． ∵ ，∴ ，∴ ∴ ． 记 之间的夹角为 ，则 ． 又∵ 点E为BC的中点，∴ ． ∴ . 本题也可建立以 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解． 【例9】(2009湖南卷理)在，已知，求角A，B，C的大小． 【答案】． 【解析】解：设 由得，所以 又因此 由得，于是 所以，，因此 ，既 由A=知，所以，，从而 或，既或故 或． 【课堂练习】 一、选择题 1.（2012辽宁理）已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是（　　） A．a∥b B．a⊥b C．{0,1,3} D．a+b=ab 2. (2009年广东卷文)已知平面向量a=，b=，则向量 ( ) A. 平行于轴 B. 平行于第一、三象限的角平分线 C. 平行于轴 D. 平行于第二、四象限的角平分线 3.（2012天津文）在中,,,AC=2,设点满足.若,则( ) （　　） A． B． C． D．2 4.（2009浙江卷理）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) A． B.4 C． D． 5.（2012重庆理）设 R,向量 ,且 ,则 （　　） A． B． C． D．10 6. （2009浙江卷文）已知向量，．若向量满足，，则 （ ） A． B． C． D． 7．（2012浙江理）设a,b是两个非零向量. （　　） A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b| 8.（2009全国卷Ⅰ理）设、、是单位向量，且·＝0，则的最 小值为 ( ) A. B. C. D. 9.（2012天津理）已知△ABC为等边三角形, ,设点P,Q满足 , , ,若 ,则 （　　） A． B． C． D． 10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量，则 ( ) A. B. C. D. 11.（2012大纲理） 中, 边上的高为 ,若 ,则 （　　） A． B． C． D． 12.（2008湖南）设D​、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与 ( ) A. 反向平行 B. 同向平行 C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直 13.（2008广东）在平行四边形中，与交于点是线段的中点， 的延长线与交于点．若，，则 （ ） A． B． C． D． 14.（2007湖北）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为 （ ） A． B． C． D． 15.（2012安徽理）在平面直角坐标系中, ,将向量 按逆时针旋转 后,得向量 则点 的坐标是 （　 　） A． B． C． D． 二、填空题 16.（2012浙江文）在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=________. 17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为. 如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动. 若其中,则 的最大值是________. 18.（2012上海文）在知形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是_________ . 19.（2012课标文）已知向量,夹角为,且||=1,||=,则||=_______. 20.（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD中 ,AP⊥BD,垂足为P,且= _____. 21.（2012湖北文）已知向量,则 (Ⅰ)与同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量与向量夹角的余弦值为____________. 22.（2012北京文）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________. 23.（2012安徽文）设向量,若⊥,则. 24.（2012江苏）如图,在矩形 中, 点 为 的中点,点 在边 上,若 ,则 的值是___. 25.（2012安徽理）若平面向量 满足: ;则 的最小值是 三、解答题 26. (2009年广东卷文)（已知向量与互相垂直，其中 （1）求和的值 （2）若，,求的值 27.（2009上海卷文）已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， 　， . （1） 若//，求证：ΔABC为等腰三角形； （2） 若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 . 28. 已知、、分别为的三边、、所对的角，向量，，且. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，，成等差数列，且，求边的长. 【课后作业】 一、选择题 1.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为，， 则( ) A. B. C. 4 D. 2 2.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 ( ) A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心 C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心 3.（2008安徽）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则 （ ） A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4） 4.（2008浙江）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 ( ) A. 1 B. 2 C. D. 5.（2007海南、宁夏）已知平面向量，则向量 （　　） A． B． C． D． 6.（2007湖南）设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有 （ ） A． B． C． D． 7. （2007天津）设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是 （　　） A．[-6，1] B． C．（-6，1] D．[-1，6] 8. 在的面积等于 （ ） A． B． C． D． 9. 已知平面向量等于 （ ） A．9 B．1 C．－1 D．－9 10. 已知、是不共线的，则、、 三点共线的充要条件是： （ ） A． B． C． D． 二、填空题 11. 设向量_________. 12. 若向量，则向量的夹角等于 . 13. 已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是 . 14.（2008江苏），的夹角为，， 则 ． 15. （2007安徽）在四面体中，为的中点，为的中点，则 （用表示）． 16.（2007北京）已知向量．若向量，则实数的值是 . 17. 已知向量，，则的值为 . 18.（2007广东）若向量、满足的夹角为120°，则＝ . 三、解答题 19.（2009湖南卷文）已知向量 （1）若，求的值； （2）若求的值。 20.已知向量，设函数. (Ⅰ)求函数的最大值； (Ⅱ)在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，， 且的面积为，,求的值. 【参考答案】 【课堂练习】 一、选择题：1、B 2、C 3、B 4、C 5、B 6、D 7、C 8、D 9、A 10、C 11、D 12、A 13、B 14、B 15、A 二、填空题： 16、-16 17、2 18、1 19、或(舍) 20、 18 21、 (Ⅰ) (Ⅱ) 22、1；1 23、 24、 25、 三、解答题： 26、 27、（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径，为等腰三角形 （2）由题意可知 由余弦定理可知， 28、（Ⅰ）.（Ⅱ）c=6 【课后作业】 一、选择题： 1、B 2、C 3、B 4、C 5、D 6、A 7、A 8、A 9、B 10、D 二、填空题： 11 、 12、 13、2 14、 7 15、 16、-3 17、1 18、 三、解答题： 19、. 20、，或 21、 13 _1197235838.unknown _1306055998.unknown _1400868447.unknown _1436252746.unknown _1436256075.unknown _1436258788.unknown _1436267435.unknown _1436272974.unknown _1436273346.unknown _1436268163.unknown _1436258975.unknown _1436258563.unknown _1436258642.unknown _1436257354.unknown _1436253133.unknown _1436253407.unknown _1436253475.unknown _1436255987.unknown _1436253237.unknown _1436253090.unknown _1436253114.unknown _1436252775.unknown _1400945397.unknown _1400945428.unknown _1400945475.unknown _1400945414.unknown _1400868749.unknown _1400869388.unknown _1400945348.unknown _1400945390.unknown _1400869443.unknown _1400868909.unknown _1400869132.unknown _1400868802.unknown _1400868597.unknown _1400868733.unknown _1400868548.unknown _1337446207.unknown _1400760385.unknown _1400760548.unknown _1400868156.unknown _1400868263.unknown _1400868329.unknown _1400760587.unknown _1400760606.unknown _1400760566.unknown _1400760465.unknown _1400760534.unknown _1400760429.unknown _1337928298.unknown _1400760280.unknown _1400760346.unknown _1400597840.unknown _1400598003.unknown _1400665535.unknown _1400665578.unknown _1400665649.unknown _1400600397.unknown _1400600446.unknown _1400601570.unknown _1400600423.unknown _1400598028.unknown _1400599601.unknown _1400597951.unknown _1400597988.unknown _1400597936.unknown _1400597436.unknown _1400597562.unknown _1400597816.unknown _1400597834.unknown _1400597802.unknown _1400597578.unknown _1400597497.unknown _1400597526.unknown _1400597457.unknown _1400597382.unknown _1400597412.unknown _1400597350.unknown _1337928260.unknown _1337928272.unknown _1337446361.unknown _1337446434.unknown _1337446260.unknown _1306056110.unknown _1306056245.unknown _1306056261.unknown _1306056265.unknown _1306056252.unknown _1306056226.unknown _1306056072.unknown _1306056014.unknown _1306056063.unknown _1199479984.unknown _1306055747.unknown _1306055800.unknown _1306055850.unknown _1306055885.unknown _1306055844.unknown _1306055739.unknown _1234567909.unknown _1306006339.unknown _1306006369.unknown _1306006357.unknown _1234567912.unknown _1306006327.unknown _1234567913.unknown _1234567911.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1199479985.unknown _1197235884.unknown _1198781548.unknown _1198781853.unknown _1198780741.unknown _1197235925.unknown _1197235869.unknown _1197140242.unknown _1197231987.unknown _1197235784.unknown _1197235796.unknown _1197232178.unknown _1197232212.unknown _1197235759.unknown _1197232227.unknown _1197232202.unknown _1197232108.unknown _1197232138.unknown _1197232152.unknown _1197232121.unknown _1197231999.unknown _1197231371.unknown _1197231651.unknown _1197231691.unknown _1197231957.unknown _1197231576.unknown _1197227508.unknown _1197230661.unknown _1197230352.unknown _1197227471.unknown _1125768107.unknown _1156853051.unknown _1197139974.unknown _1197139994.unknown _1197139964.unknown _1156429198.unknown _1156852644.unknown _1156853038.unknown _1152878749.unknown _1152879443.unknown _1152879456.unknown _1152879537.unknown _1152878750.unknown _1152878748.unknown _1121622345.unknown _1121623898.unknown _1121625757.unknown _1121626073.unknown _1121626507.unknown _1121626558.unknown _1121626157.unknown _1121626307.unknown _1121625802.unknown _1121626036.unknown _1121625774.unknown _1121625559.unknown _1121625653.unknown _1121624306.unknown _1121623771.unknown _1121623786.unknown _1121621937.unknown _1121622303.unknown _1121622053.unknown _1121619874.unknown _1113314248.unknown _1113314738.unknown _1113316856.unknown _1113314273.unknown _1078216770.unknown _1078216671.unknown