七年级数学上册 第四章 几何图形初步 新人教版

!"#$%（&）ＲＪ' ６４　　　 ◆要点 １　 常见几何体的识别要点解读：常见的几何体有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等，全 是由平面围成的密封的几何体叫作多面体，棱柱、棱锥都是 多面体．几何体的两种常见分类： 立 体 图 形 多面体：棱柱、棱锥、棱台等旋转体：圆柱、圆锥、圆台、{ 球等 　 　 立体图形 柱体 圆柱{棱柱 锥体 圆锥{棱锥     球 【例 １】将下图中的几何体进行分类，并说明理由． （例 １ 图）解：若按柱体、锥体、球来分类：（２）（３）（５）（６）是柱体，（４）是锥体，（１）是球；若按几何体是旋转体还是多面体来分类，则（１）（４）（６）是旋转体，（２）（３）（５）是多面体． 第四章 　 几何图形初步 ４． １ ! KLMN ４． １． １　 立体图形与平面图形 １　 几何图形 １．下列所述的物体中，与球的形状最类似的是（　 Ｃ　 ）． Ａ．电视机 Ｂ．铅笔 Ｃ．西瓜 Ｄ．烟囱帽 【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】根据球的形状选择． ２．下列四种物体中，最接近于圆柱的物体是（　 Ａ　 ）． 【分析】根据圆柱的特征，上、下底面是一样的圆． ３．下面几种几何图形中，属于平面图形的是（　 Ｃ　 ）． ①三角形；②长方形；③正方体；④圆锥；⑤三棱锥；⑥圆． Ａ．①②④ Ｂ．①②③ Ｃ．①②⑥ Ｄ．④⑤⑥ ４．给出下列说法：①教科书是长方形；②教科书是长方体，也是棱柱；③教科书的表面是长方形．其中正确的是（　 Ｃ　 ）． Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．①②③ 【分析】教科书有一定的厚度，故其为长方体，也是四棱柱， 所以①错误，②正确；教科书的表面即平面图形，是长方形， 所以③正确．故选 Ｃ． ５．请写出图 ４－１－１ 中的立体图形的名称． 图 ４－１－１ （１）　 圆柱　 ；（２）　 三棱柱　 ；（３）　 三棱锥　 ；（４）　 圆锥　 ． 【分析】柱体与锥体的区别可以从底面个数与大小关系进行 判断，有两个完全相同的底面的属于柱体，既有底面又有顶 点的是锥体． ６．如图 ４－１－２，把下列物体和与其相似的图形连接起来． 图 ４－１－２ 【解】如图 ４－１－１′． 图 ４－１－１′ ７．图 ４－１－３ 中的两种标志主要是由哪些简单的几何图形组 成的？ 图 ４－１－３【解】题图（１）是由 ５ 个圆形组成的，题图（２）是由 ２ 个正方 形和 １ 个长方形组成的． ８．指出图 ４－１－４ 中各物体是由哪些立体图形组成的． 图 ４－１－４【解】（１）是由正方体、圆柱、圆锥组成的． （２）是由圆柱、长方体、三棱柱组成的． （３）是由五棱柱、球组成的．附加题 ９．观察图 ４－１－５ 中图形的排列规律（其中“▲”“■”“★”分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第 １８ 个图形是　 五角星　 （填图形的名称）． ▲ ■ ★ ■ ▲ ★ ▲ ■ ★ ■ ▲ ★ …图 ４－１－５ 【分析】根据图形的排列规律，前面 ６ 个图形为一组，后面是 循环出现的． 根据这个规律即可以求出第 １８ 个图形与第 ６ 个图形相同，为★，即五角星                                   ． !3#$456789 ６５　　　 ◆要点 ２　 如何识别立体图形和它的展开图 要点解读：在立体图形与它的展开图之间建立对应关系时， 应注意两点：（１）形状，要考虑立体图形有几个面，每个面的 形状是怎样的；（２）位置，要考虑它的展开图的各部分之间 的位置关系是怎样的． 【例 ２】下面所给的图形中，正方体的展开图是（　 　 ）． 答案：Ｃ． ２　 从不同方向看立体图形与立体图形的展开图 图 ４－１－６ １．（２０１５·福建漳州中考·４ 题·４ 分）图４－１－６是一个长方体包装盒，则它的展开图是（　 Ａ　 ）． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ２．下面图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（　 Ａ　 ）． 【分析】Ｂ，Ｄ中两个底面在同一侧，故围不成棱柱；Ｃ 中少一 个侧面，故围不成棱柱，所以 Ａ正确． ３．已知如图 ４－１－７ 中的几何体，从上面可以看到的图形的形状为（　 Ｂ　 ）． 图 ４－１－７ 　 　 【分析】直立的圆柱，由上向下可以看到的图形是一个圆，由 此可以判断只有选项 Ｂ符合要求． 图 ４－１－８ ４．图 ４－１－８ 为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该 无 盖 长 方 体 的 容 积为（　 Ｃ　 ）． Ａ． ４ 　 　 　 Ｂ． ６ Ｃ． ８ 　 　 　 Ｄ． １２ 【分析】长方体的高是 １，宽是 ３－ １ ＝ ２，长是 ６－２ ＝ ４，长方体的容 积是 ４×２×１ ＝８．故选 Ｃ． ５．从正面、左面、上面看一个几何图形，看到的都是相同的形 状，则这个几何图形可能是 　 球（答案不唯一）　 （写一个 即可）． ６．一个正方体纸盒的展开图如图 ４－１－９，将其折成正方体后， 与“！”所对的字为　 考　 ． 图 ４－１－９ ７．请指出图 ４－１－１０ 中的图形是哪种立体图形的展开图． 图 ４－１－１０ 【分析】正确区分柱体与锥体是关键． 【解】（１）五棱锥．（２）三棱柱．（３）三棱柱．（４）四棱锥． 附加题 ８．已知如图 ４－１－１１ 的正四棱锥，请分别画出从上面、左面和 正面看所得到的平面图形． 图 ４－１－１１ 【解】分别画出从正面、左面和上面看所得到的平面图形，如 图 ４－１－２′． 图 ４－１－２′                                        !"#$%（&）ＲＪ' ６６　　　 ◆要点 ３　 图形的组成与形成要点解读：几何图形都是由点、线、面、体中的一种或几种组 成的，其中点是最基本的图形，而点本身也是一个最简单的 几何图形． 生活中的立体图形其实都是由最基本的几何图形 组成的，其中线是由点组成的，面是由线构成的，体是由面围 成的，这也就是我们常说的“点动成线，线动成面，面动成体”．【例 ３】在一望无际的沙漠上，一个孤独的旅行者留下的一排长长的足迹，这说明了　 　 ；车轮旋转时，看起来像一个整体的圆面，这说明了　 　 ；旋转门旋转一周，形成了一个圆柱，这说明了　 　 ．答案：点动成线　 线动成面　 面动成体． 【例 ４】将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周，得到的几何体是（　 　 ）． 分析：Ａ中圆柱是由一个长方形绕其一边旋转而成的；Ｂ 中圆锥是由一个直角三角形绕其一条直角边旋转而成的；Ｃ 中几何体是由直角梯形绕其较长底边旋转而成的；Ｄ中几何体是由直角三角形绕其斜边旋转而成的．故选 Ｄ．答案：Ｄ． ４． １． ２　 点、线、面、体 １．下列现象能说明“面动成体”的是（　 Ｂ　 ）． Ａ．天空划过一道流星 Ｂ．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 Ｃ．扔出一块小石子，石子在空中飞行的路线 Ｄ．汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹 【分析】旋转中的门给我们一个柱体的感觉． ２．下列立体图形中面数最多的是（　 Ｃ　 ）． Ａ．四棱锥 Ｂ．长方体 Ｃ．五棱柱 Ｄ．六面体 【分析】四棱锥有 ５ 个面，长方体有 ６ 个面，五棱柱有 ７ 个面， 六面体有 ６ 个面． ３．如图 ４－１－１２ 中的图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体 是（　 Ｃ　 ）． 图 ４－１－１２　 　 Ａ 　 　 Ｂ 　 　 Ｃ 　 　 Ｄ 【分析】根据面动成体的原理：上面的长方形旋转一周后形 成一个圆柱，下面的直角三角形旋转一周后形成一个圆锥， 所以应是圆柱和圆锥的组合体．故选 Ｃ． ４．图 ４－１－１３ 是一个长和宽分别为 ４ ｃｍ 和 ３ ｃｍ 的长方形，将 其按一定方式进行旋转，能得到（　 Ｃ　 ）种不同的圆柱． 图 ４－１－１３ Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ４ Ｄ．无数 ５．将硬币的直径垂直桌面快速旋转时，我们看到 的几何体是　 球　 ． ６．笔尖在纸上快速滑动，写出了一个又一个字，这说明了　 点 动成线　 ；黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，这说明了 　 线动成面　 ；直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，形 成了一个圆锥体，这说明了　 面动成体　 ． 【分析】我们可以把笔尖看成点，把黑板擦看成线，把直角三 角形看成面． ７．如图 ４－１－１４，三棱锥有　 ４　 个面，它们相交形成了　 ６　 条 棱，这些棱相交形成了　 ４　 个点． 图 ４－１－１４ 　 　 图 ４－１－１５ ８．如图 ４－１－１５，正方形 ＡＢＣＤ的边长是 ２，以直线 ＡＢ 为轴，将 正方形旋转一周，所得圆柱从正面看到的图形的周长是 多少？ 【解】所得圆柱从正面看到的图形为长方形，长为正方形边 长的２ 倍，宽为圆柱的高，即正方形的边长，所以从正面看到 的图形的周长为（２＋４）×２ ＝１２． 附加题 ９．如图 ４－１－１６，四个图形都称为平面图形，观察图（２）和表中 的对应值，探究计数的方法并作答： 图 ４－１－１６ （１）数一数另外三个图形中分别有多少个顶点，多少条边， 这些边围成多少个区域，并将结果填入下表： 图形 （１） （２） （３） （４） 顶点数（Ｖ） ４ ８ ７ １０ 边数（Ｅ） ６ １２ ９ １５ 区域数（Ｆ） ３ ５ ３ ６ （２）根据表中数值，写出平面图形的顶点数（Ｖ）、边数（Ｅ）、 区域数（Ｆ）之间的关系　 Ｅ＝Ｖ＋Ｆ－１　 ； （３）如果一个平面图形有 ２０ 个顶点和 １１ 个区域，请利用 （２）中得出的关系求出这个平面图形有多少条边． 【解】（３）将 Ｖ＝２０，Ｆ＝１１代入 Ｅ＝Ｖ＋Ｆ－１，得 Ｅ＝２０＋１１－１＝３０． 【点拨】点、线、面是构成几何图形的基本元素，本题通过提供的 图形和一组示例，引导同学们尝试探究点、线、面的计数方法，从 而找出三者之间的关系，然后将探究到的规律迁移应用                                        ． !3#$456789 ６７　　　 ４． １　 几何图形 !"#$ 一、选择题 １．如图 ４ － １ － １７ 中的几何体，从上面看该几何体看到的 是（　 Ｃ　 ）． 图 ４－１－１７ ２．将一正方形纸片按如图 ４－１－１８ 的步骤（１）（２），沿虚线对折 两次，然后沿 ４－１－１８（３）中的虚线剪去一个角，展开铺平后 的图形是（　 Ａ　 ）． 图 ４－１－１８ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３． 赵成明为将要参加中考的好友制作了一个正方体礼品盒 （如图 ４－１－１９），六个面上各有一字，连起来就是“预祝中考 成功”．其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它 的平面展开图可能是（　 Ｃ　 ）． 图 ４－１－１９ 　 【分析】本题要认真读题，充分发挥想象．首先考虑“预”的对 面是“中”，则可排除 Ａ，Ｂ；“成”的对面是“功”，则可排除 Ｄ． 故选 Ｃ． ４．从不同方向看由一些相同的小正方体搭成的几何体得到的 图形如图 ４－１－２０，则搭成该几何体的小正方体有（　 Ｃ　 ）． 图 ４－１－２０ Ａ． ３ 个 Ｂ． ４ 个 Ｃ． ５ 个 Ｄ． ６ 个 【分析】由从上面看得到的图形可以看出这个几何体是 ２ 行、２ 列，由从正面看得到的图形可以看出第一列最高是 ２ 层，由从左面看得到的图形可以看出第一行最高是 ２ 层， 所以合计有 ５ 个小正方体． ５．图 ４－１－２１ 是从上面看一个由相同小正方体搭成的几何体 得到的图形，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体 的个数，则这个几何体从左面看到的图形是（　 Ｂ　 ）． 图 ４－１－２１ 　 【分析】从左面可看到从左往右两列小正方形的个数为 ２，１． 故选 Ｂ． ６．从正面和上面看一个长方体看到的图形如图 ４－１－２２，则从 左面看该长方体看到的图形的面积为（　 Ａ　 ）． 图 ４－１－２２ Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． １２ Ｄ． １６ 【分析】由从正面看到的图形可知，这个长方体的长和高分 别是 ４ 和 １，由从上面看到的图形可知，这个长方体的长和 宽分别是 ４ 和 ３，故从左面看到的长方形的相邻两边分别是 长方体的宽和高，所以从左面看到的图形的面积是 ３×１ ＝ ３． 故选 Ａ． 二、填空题 ７．如图 ４－１－２３，桌上放着一个茶壶，从不同的方向观察，如图 ４－１－２４，则图（１）是　 从正面　 看到的，图（２）是　 从背面　 看到的，图（３）是　 从右面　 看到的，图（４）是　 从左面　 看 到的． 图 ４－１－２３　 　 　 　 　 　 　 图 ４－１－２４　 　 　 　 ８．将图 ４－１－２５ 中的三角形 ＡＢＣ 绕边 ＡＣ 旋转一周，所得到的 几何体从正面看所得到的图形是图 ４－１－２６ 中的 　 （３）　 （只填序号）． 图 ４－１－２５ 　 　 图 ４－１－２６三、解答题 图 ４－１－２７ ９．图 ４－１－２７ 是一个正方体的展开图，标注 了字母 Ａ的是正方体的正面，如果正方体 的左面与右面标注的式子的值相等，求 ｘ 的值． 【解】把展开图折成正方体，知左面标注 的式子为 ｘ，右面标注的式子为 ３ｘ－２，根 据题意，得 ｘ＝３ｘ－２，解得 ｘ＝１                                                   ． !"#$%（&）ＲＪ' ６８　　　 %&'( 四、综合应用题 １０．已知如图 ４－１－２８ 的一张硬纸片，它能否折叠成一个长方 体盒子？若能，请画出它的几何图形，并计算它的体积． 图 ４－１－２８ 　 　 图 ４－１－３′【分析】将展开图折叠后形成几何体，判断几何体的形状， 画出几何体，并根据其形状计算体积． 【解】能折叠成一个长方体盒子，如图 ４－１－３′．可知长方体 的长为５ ｍ，宽为 ３ ｍ，高为 ２ ｍ，所以它的体积是 ５×２×３ ＝ ３０（ｍ３）． 五、创新题 １１．用正方体搭一个几何体，使它从正面和上面 看到的形状如图 ４－１－２９．这样的几何体只有 一种吗？最少需要多少块正方体？最多需要 多少块正方体？ 图 ４－１－２９ 　 图 ４－１－４′【解】可以动手摆模型，这样的几何体不止一种． 由最少正 方体摆放的从上向下看的平面图如图 ４－１－４′（１），至少需 要 ７ 块正方体；由最多正方体摆放的从上向下看的平面图 如图 ４－１－４′（２），最多需要 ９ 块正方体．正方形内的数字为 该位置正方体的块数． )*+, 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０１５·江苏泰州中考·４ 题·３ 分）一个几何体的展开图 如图 ４－１－３０，则这个几何体是（　 Ａ　 ）． Ａ．四棱锥 Ｂ．四棱柱 Ｃ．三棱锥 Ｄ．三棱柱 图 ４－１－３０ 　 　 图 ４－１－３１ ２．（２０１５·辽宁葫芦岛中考·３ 题·３ 分）从正面观察如图 ４－ １－３１ 的几何体，能看到的平面图形是（　 Ａ　 ）． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 【分析】从正面看共有两层，上层有 １ 个正方形，在中间，下 层从左到右有 ３ 个正方形．故选 Ａ． 图 ４－１－３２ ３．（２０１５·山东济宁中考·４ 题·３ 分）一 个正方体的每个面上都有一个汉字，其 展开图如图 ４－１－３２，那么在该正方体 中和“值”字相对的字是（　 Ａ　 ）． Ａ．记 Ｂ．观 Ｃ．心 Ｄ．间 【分析】这是一个正方体的展开图，共有六个面，其中面“值” 与面“记”相对，面“观”与面“间”相对，面“价”与面“心”相 对．故选 Ａ． ４．（２０１４·河北中考·１０ 题·３ 分）图 ４－１－３３（１）是由边长为 １的六个小正方形组成的图形，它可以围成图 ４－１－３３（２）的 正方体，则图 ４－１－３３（１）中小正方形顶点 Ａ，Ｂ 在围成的正 方体上的距离是（　 Ｂ　 ）． 图 ４－１－３３ 　 　 图 ４－１－５′ Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ．槡２ Ｄ．槡３ 【分析】如图 ４－１－５′，将图形折叠成正方体时，上下两个正方 形是相对的面，ＢＤ和 ＣＤ一定重合，点 Ｂ 与点 Ｃ 重合，故 Ａ， Ｂ在围成的正方体上的距离为 １．故选 Ｂ． ５．（２０１５·江苏无锡中考·９ 题·３ 分）如图 ４－１－３４ 的正方体 盒子的外表面上画有 ３ 条粗黑线，将这个正方体盒子的表面 展开（外表面朝上），展开图可能是（　 Ｄ　 ）． 图 ４－１－３４ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 【分析】根据正方体的展开图可知，三条黑线不在同一列，故 Ａ错误，且两条相邻黑线成直角，故 Ｂ错误．将 Ｃ中的图形折 叠后三条黑线不是首尾相接的，故 Ｃ错误．只有 Ｄ 选项符合 条件．故选 Ｄ． ６．（２０１４·四川内江中考·１６ 题·５ 分）如图 ４－１－３５，将若干 个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第 ２０１４ 个图形是　 □　 ． △△□□□△○○□□□△○○□□□△○○□… 图 ４－１－３５ 【分析】不考虑前面 ５ 个图形，后面的三角形、圆、正方形是 每 ６ 个图形为一个循环，而 ２ ０１４ － ５ ＝ ２ ００９，２ ００９ ÷ ６ ＝ ３３４……５，第 ５ 个图形是正方形，故答案为□                                                      ． !3#$456789 ６９　　　 ◆要点 １　 确定直线上射线与线段的条数要点解读：确定射线或线段的条数时，有两种思路． （１）按顺 序数条数：①由端点的顺序依次数射线或线段；②由射线或 线段的顺序依次数射线或线段． （２）探究射线、线段的条数 与可作为端点的点的个数的关系：①若一条直线上有 ｎ 个 点，则有 ２ｎ 条射线，其中有（２ｎ－２）条是可用两个字母表示 的，另外两条不能用两个字母表示；②若在一条直线上有 ｎ 个点，则共有 １＋２＋３＋…＋（ｎ－１）＝ ｎ（ｎ－１）２ （条）线段． 直线上 线段的条数问题常应用在现实生活中． 如：两个城市之间列 车要停靠 ｎ 站． 如果任意两站之间的票价都不相同，那么有 多少种不同的票价？ 有多少种车票？ 【例 １】如图，图中共有　 　 条线段． （例 １ 图） 分析：思路一：如果按从左向右的顺序数线段，以点 Ａ开头的线段有 ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，共 ３ 条；以点 Ｂ开头的线段有 ＢＣ，ＢＤ，共 ２ 条，以点 Ｃ 开头的线段有 ＣＤ，共 １ 条． 则共有 １ ＋２ ＋３ ＝ ６（条）线段．思路二：每个点和其他三个点都能确定一条线段，则 ４ 个点共可以确定 ３×４ ＝１２（条）线段．每条线段（如线段 ＡＢ）在两个端点分别被统计了一次，因此每条线段都被统 计了两次，所以实际有３×４２ ＝６（条）线段．答案：６． ４． ２ ! OPQRPQPS １　 直线、 射线、 线段 １．下列说法中正确的是（　 Ｄ　 ）． Ａ．画直线 ＡＢ＝１０ 厘米 Ｂ．延长直线 ＡＢ Ｃ．画射线 ＯＢ＝３ 厘米 Ｄ．延长线段 ＡＢ到点 Ｃ，使 ＢＣ＝ＡＢ 【分析】直线没有端点，也没有办法测量，故 Ａ 不正确；直线 无限长，不能说延长直线 ＡＢ，所以 Ｂ 不正确；射线只有１ 个 端点，也没有办法测量，故 Ｃ 不正确；线段有两个端点，可以 延长，也可以测量长度．故选 Ｄ． ２．如图 ４－ ２ － １，四个图中的线段（或直线、射线）能相交的 是（　 Ａ　 ）． 图 ４－２－１ Ａ．（１） Ｂ．（２） Ｃ．（３） Ｄ．（４） 【分析】（１）中的两条直线能相交，（２）中的直线和射线不能 相交，（３）（４）中的两条线段均不能相交．故选 Ａ． ３．如图 ４－２－２，下列几何语句不正确的是（　 Ｃ　 ）． 图 ４－２－２ Ａ．直线 ＡＢ与直线 ＢＡ是同一条直线 Ｂ．射线 ＯＡ与射线 ＯＢ是同一条射线 Ｃ．射线 ＯＡ与射线 ＡＢ是同一条射线 Ｄ．线段 ＡＢ与线段 ＢＡ是同一条线段 【分析】Ａ中语句正确，因为直线向两个方向无限延伸；Ｂ 中 语句正确，射线的端点和方向都相同；Ｃ 中语句错误，因为射 线的端点不相同；Ｄ中语句正确．故选 Ｃ． ４．如图 ４ － ２ － ３，可以用字母表示出来的不同线段和射线 有（　 Ｃ　 ）． 图 ４－２－３ Ａ． ３ 条线段，３ 条射线 Ｂ． ６ 条线段，６ 条射线 Ｃ． ６ 条线段，３ 条射线 Ｄ． ３ 条线段，１ 条射线 【分析】可以用字母表示出来的不同线段有线段 ＣＢ，ＣＡ，ＣＯ， ＢＡ，ＢＯ，ＡＯ，共 ６ 条；可以用字母表示出来的不同射线有射线 ＯＡ，ＡＢ，ＢＣ，共 ３ 条．故选 Ｃ． ５．我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线． （１）若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是 　 １　 ； （２）若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线 的条数是　 １ 或 ３　 ． 【分析】（１）根据基本事实：两点确定一条直线，可知若平面 上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是 １．（２）当三 点在同一条直线上时，可以画 １ 条直线；当三点不在同一条 直线上时，可以画 ３ 条直线．故平面上有三个点，若过两点画 直线，则可以画出直线的条数为 １ 或 ３． ６．将镜框挂在墙上，要保持平衡至少应钉　 ２　 颗钉子，应用的 是　 两点确定一条直线　 的道理． ７．在同一平面内，三条直线两两相交，最多有 ３ 个交点，那么 ４ 条直线两两相交，最多有　 ６　 个交点，８ 条直线两两相交， 最多有　 ２８　 个交点． 【分析】ｎ条直线两两相交，交点个数最多为ｎ（ｎ－１）２ ． ８．根据下列语句画图形： （１）以 Ｐ为端点的射线 ＰＡ交直线 ａ于点 Ａ； （２）线段 ＡＣ和线段 ＢＣ相交于点 Ｃ； （３）反向延长线段 ＡＢ交直线 ｌ于点 Ｃ． 【分析】（１）（２）根据题意画图即可．在画（３）题中的图形时， 反向延长线段 ＡＢ 就是以 Ａ 为起点，向 Ｂ 的反方向延长． 由 于线段不能延伸应用虚线表示其延长线． 【解】（１）～（３）画图如图 ４－２－１′（１）～（３）． 图 ４－２－１′附加题 图 ４－２－４ ９．如图 ４－２－４，有甲、乙、丙、丁四位学生分别 站在对应的 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个位置上． （１）请写出以学生乙所站的 Ｂ 点为端点的 所有线段； （２）请写出图中能用字母表示的所有的直 线、线段、射线． 【解】（１）有线段 ＢＡ，ＢＣ，ＢＤ． （２）直线：ＢＤ． 线段：ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，ＢＣ，ＣＤ，ＢＤ． 射线：ＡＢ，ＡＤ， ＢＣ（或 ＢＤ），ＣＤ，ＣＢ，ＤＢ（或 ＤＣ）                                       ． !"#$%（&）ＲＪ' ７０　　　 ◆要点 ２　 比较线段长短的方法要点解读：比较线段长短的两种方法：测量法和叠合法． ◆要点 ３　 线段的中点及相关计算要点解读：如果点 Ｍ 是线段 ＡＢ 的中点，那么 ＡＢ＝２ＡＭ ＝２ＭＢ， ＡＭ ＝ＭＢ＝ １２ ＡＢ 反过来，如果 ＡＢ＝ ２ＡＭ ＝ ２ＭＢ，ＡＭ ＝ＢＭ ＝( 　　 １ ２ ＡＢ，那么点 Ｍ 是线段 ＡＢ )的中点 ． 利用线段的和、 差、 倍、分及中点关系可从图形上培养识图能力，也可以建立起 图形和相应数量之间的关系，并与有关符号联系起来．【例 ２】如图，已知线段 ＡＢ " ＢＣ " ＣＤ ＝ ３ " ２ " ４，Ｅ，Ｆ 分别是线段 ＡＢ，ＣＤ的中点，且 ＥＦ＝２２，求线段 ＢＣ的长． （例 ２ 图） 分析：先设每一份为 ｘ，再用含 ｘ 的式子分别表示 ＡＢ，ＢＣ， ＣＤ，然后根据 ＥＦ＝２２ 列方程求解．解：设 ＡＢ＝３ｘ，则 ＢＣ＝２ｘ，ＣＤ＝４ｘ．因为 Ｅ，Ｆ分别是线段 ＡＢ，ＣＤ的中点， 所以 ＢＥ＝ ３２ ｘ，ＣＦ＝２ｘ．又因为 ＥＦ＝２２，所以 ＥＢ＋ＢＣ＋ＣＦ＝２２， 即 ３２ ｘ＋２ｘ＋２ｘ＝２２．解得 ｘ＝４．所以 ＢＣ＝２ｘ＝８． ２　 线段的性质 １．对于线段的中点，有以下几种说法：①因为 ＡＭ ＝ＭＢ，所以 Ｍ 是线段 ＡＢ的中点；②若 ＡＭ＝ＭＢ＝ １２ ＡＢ，则 Ｍ是线段 ＡＢ的 中点；③若 ＡＭ＝ １２ ＡＢ，则 Ｍ是线段 ＡＢ的中点；④若 Ａ，Ｍ，Ｂ在同一条直线上，且 ＡＭ ＝ＭＢ，则 Ｍ 是线段 ＡＢ 的中点．其中说法正确的是（　 Ｃ　 ）． Ａ．①②③ Ｂ．①③ Ｃ．②④ Ｄ．以上说法都不对 ２．下列说法正确的是（　 Ｄ　 ）． Ａ．两点之间，直线最短 Ｂ．画出 ＡＢ两点间的距离 Ｃ．连接点 Ａ与点 Ｂ的线段，叫作 ＡＢ两点间的距离 Ｄ．两点之间的距离是一个数，不是指线段本身 图 ４－２－５３．如图 ４ －２ －５，ＡＢ ＝ ＣＤ，则 ＡＣ 与ＢＤ的大小关系是（　 Ｃ　 ）． Ａ． ＡＣ＞ＢＤ Ｂ． ＡＣ＜ＢＤ Ｃ． ＡＣ＝ＢＤ Ｄ．不能确定【分析】由题图可知 ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ，ＢＤ＝ＣＤ＋ＢＣ．因为 ＡＢ＝ＣＤ，所以 ＡＣ＝ＢＤ． ４．“把弯曲的河道改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（　 Ａ　 ）． Ａ．两点之间，线段最短 Ｂ．直线比曲线短 Ｃ．两点之间，直线最短 Ｄ．两点确定一条直线 ５．有两根木条，一根长 ８０ ｃｍ，另一根长 ６０ ｃｍ，把它们一端重合放在同一直线上，此时两根木条中点间的距离是（　 Ｂ　 ）． Ａ． １０ ｃｍ Ｂ． ７０ ｃｍ或 １０ ｃｍ Ｃ． ２０ ｃｍ Ｄ． ２０ ｃｍ或 ７０ ｃｍ ６．已知线段 ＭＮ，点 Ｐ 是 ＭＮ 的中点，点 Ｑ 是 ＰＮ 的中点，点 Ｒ 是 ＭＱ的中点，那么 ＭＲ＝ 　 ３８ 　 ＭＮ．【分析】首先根据题目画出图形，如图 ４－２－３′． 图 ４－２－３′ 设 ＭＮ＝ ｘ．因为 Ｐ是 ＭＮ的中点，所以 ＭＰ＝ＮＰ＝ １２ ｘ．因为 Ｑ 是 ＰＮ的中点，所以 ＰＱ＝ＱＮ＝ １４ ｘ．所以 ＭＱ ＝ ３４ ｘ．又因为 Ｒ 是 ＭＱ的中点，所以 ＭＲ＝ １２ ＭＱ＝ １２ × ３４ ｘ＝ ３８ ｘ． 图 ４－２－６ ７．如图 ４－２－６，点 Ｃ是线段 ＡＢ上的点，点 Ｄ 是线段 ＢＣ 的中点． 若 ＡＢ ＝ １０， ＡＣ＝６，则 ＣＤ＝ 　 ２　 ． 【分析】因为点 Ｄ是线段 ＢＣ的中点，所以 ＣＤ＝ １２ ＢＣ．又因为 ＡＢ＝ １０，ＡＣ ＝ ６，所以 ＢＣ ＝ ＡＢ － ＡＣ ＝ １０ － ６ ＝ ４． 所以 ＣＤ ＝ １ ２ ＢＣ＝２． ８．当线段 ＡＢ满足条件：　 点 Ａ 在线段 ＢＣ 上，且 ＡＢ ＝ １２ ＢＣ　时，点 Ａ是线段 ＢＣ的中点．【分析】要考虑点 Ａ 是否在线段 ＢＣ 上． 如果点 Ａ 不在线段 ＢＣ上，即使有 ＡＢ＝ＡＣ，点 Ａ 也不是线段 ＢＣ 的中点，因此所填内容必须满足两个条件：①点 Ａ 在线段 ＢＣ 上；②点 Ａ 到线段 ＢＣ两端点的距离相等． ９．有不在同一条直线上的两条线段 ＡＢ和 ＣＤ，李明很难判断出它们的长短，因此他借助于圆规，操作如图 ４－２－７． 图 ４－２－７ 由此可得出 ＡＢ 　 ＞　 ＣＤ（填“＞”“＜”或“＝”）． 图 ４－２－８ １０．如图 ４－２－８，Ａ，Ｂ 是两个村庄，若要在河边 ｌ上修建一个水泵站往两村输水，问：水泵站应修在河边的什么位置，才能使铺设的管道最短？请说明理由．【解】连接 ＡＢ，线段 ＡＢ与直线 ｌ的交点 Ｐ即为所求水泵站的位置． 理由：两点之间，线段最短．附加题 １１．如图 ４－２－９，点 Ｃ是线段 ＡＢ 上的一点，点 Ｍ 是线段 ＡＣ 的中点，点 Ｎ是线段 ＢＣ的中点． 图 ４－２－９ （１）如果 ＡＢ＝１０ ｃｍ，ＡＭ＝３ ｃｍ，求 ＣＮ的长；（２）如果 ＭＮ＝６ ｃｍ，求 ＡＢ的长．【解】（１）因为点 Ｍ是线段 ＡＣ的中点，所以 ＡＣ＝２ＡＭ．因为 ＡＭ＝３ ｃｍ，所以 ＡＣ＝２×３ ＝６（ｃｍ）．因为 ＡＢ＝１０ ｃｍ，所以 ＢＣ＝ＡＢ－ＡＣ＝１０－６ ＝４（ｃｍ）．又因为点 Ｎ是线段 ＢＣ的中点， 所以 ＣＮ＝ １２ ＢＣ＝ １２ ×４ ＝２（ｃｍ）．故 ＣＮ的长为 ２ ｃｍ． （２）因为点 Ｍ是线段 ＡＣ的中点，所以 ＭＣ＝ １２ ＡＣ． 因为点 Ｎ是线段 ＢＣ的中点，所以 ＮＣ＝ １２ ＣＢ． 所以 ＭＣ＋ＣＮ＝ １２ ＡＣ＋ １２ ＣＢ＝ １２ （ＡＣ＋ＣＢ）＝ １２ ＡＢ， 即ＭＮ＝ １２ ＡＢ．又因为 ＭＮ＝６ ｃｍ，所以 ＡＢ＝２×６ ＝１２（ｃｍ）．故 ＡＢ的长为 １２ ｃｍ                                        ． !3#$456789 ７１　　　 ４． ２　 直线、射线、线段 !"#$ 一、选择题 １．已知点 Ａ，Ｂ，Ｃ 在同一条直线上，线段 ＡＢ ＝ ５，ＢＣ ＝ ３，则线段 ＡＣ的长度为（　 Ａ　 ）． Ａ． ８ 或 ２ Ｂ． ２ Ｃ． ８ Ｄ．以上都不对 【分析】如图 ４－２－４′（１），当点 Ｃ 在线段 ＢＣ 上时，ＡＣ ＝ ＡＢ－ ＢＣ＝５－３ ＝２；如图 ４－２－４′（２），当点 Ｃ 在线段 ＡＢ 的延长线 上时，ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝５＋３ ＝８．故选 Ａ． 图 ４－２－４′ ２．如果线段 ＡＢ＝ １３ ｃｍ，且存在一点 Ｍ，使 ＭＡ＋ＭＢ ＝ １７ ｃｍ，那 么下面说法中正确的是（　 Ｄ　 ）． Ａ． Ｍ点在线段 ＡＢ上 Ｂ． Ｍ点在直线 ＡＢ上 Ｃ． Ｍ点在直线 ＡＢ外 Ｄ． Ｍ点可能在直线 ＡＢ上，也可能在直线 ＡＢ外 ３．如图 ４－２－１０，从 Ａ地到 Ｃ 地，有以下几种可供选择的路线： ①Ａ→Ｄ→Ｂ→Ｃ；②Ａ→Ｅ→Ｂ→Ｃ；③Ａ→Ｇ→Ｃ；④Ａ→Ｂ→Ｃ．则 从 Ａ地到 Ｃ地最短的路线为（　 Ｄ　 ）． 图 ４－２－１０ Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④ 【分析】根据“两点之间，线段最短”可知从 Ａ 地到 Ｃ 地的最 短路线为 Ａ→Ｂ→Ｃ．故选 Ｄ． ４．张明在生日宴会上，要把一个大蛋糕分成七块（分成的蛋糕大 小不一定相等），问他最少要切（　 Ａ　 ）． 图 ４－２－５′ Ａ． ３ 次 Ｂ． ４ 次 Ｃ． ５ 次 Ｄ． ６ 次 【分析】三条直线两两相交，最多可把平 面分成七部分，如图４－２－５′，所以要把 一个大蛋糕分成七块最少要切 ３ 次． 二、填空题 ５．如图 ４－２－１１，已知 ＡＣ ∶ ＣＢ＝ ５ ∶ ３，ＡＤ ∶ ＢＤ ＝ ３ ∶ ５．如果 ＣＤ 的长为 １０，那么 ＡＢ的长为　 ４０　 ． 图 ４－２－１１ 【分析】设 ＡＢ的长为 ｘ，则 ＡＣ＝ ５８ ｘ，ＢＣ＝ ３８ ｘ，ＡＤ＝ ３８ ｘ，ＢＤ＝ ５ ８ ｘ，ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝ １４ ｘ＝１０，所以 ｘ＝４０，即ＡＢ＝４０． ６．一条直线上有四个点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，且线段 ＡＢ ＝ １８ ｃｍ，ＢＣ ＝ ８ ｃｍ，点 Ｄ为线段 ＡＣ 的中点，则线段 ＡＤ 的长是 　 ５ ｃｍ 或 １３ ｃｍ　 ． 【分析】本题有两种情形．当点 Ｃ在线段 ＡＢ上时，如图 ４－２－ ６′（１），ＡＣ＝ＡＢ－ＢＣ ＝ １８－８ ＝ １０（ｃｍ）． 因为点 Ｄ 为 ＡＣ 的中 点，所以 ＡＤ ＝ ５ ｃｍ． 当点 Ｃ 在线段 ＡＢ 的延长线上时，如图 ４－２－６′（２），ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝１８＋８＝２６（ｃｍ）．又因为点 Ｄ为 ＡＣ的中 点，所以 ＡＤ＝１３ ｃｍ．综上所述，线段 ＡＤ的长是 ５ ｃｍ或 １３ ｃｍ． 图 ４－２－６′ 图 ４－２－１２ ７．在同一所学校上学的张明、李 伟、刘红三位同学住在 Ａ，Ｂ，Ｃ 三个住宅区，如图 ４－２－１２，且 Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，ＡＢ＝６０ 米，ＢＣ＝１００ 米．他们打算合租一辆 接送车上学，由于车位紧张，准备在直线 ＡＢ 上只设一个停 靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程和最小，你认为停 靠点应该设在　 点 Ｂ处　 ． 【分析】当停靠点设在线段 ＡＣ（或 ＣＡ）的延长线上时，Ａ，Ｃ两 点到停靠点的距离和大于 １６０ 米，且点 Ｂ到停靠点的距离也 会大于 １００（或 ６０）米；当停靠点设在线段 ＡＣ上任何一点时， Ａ，Ｃ两点到停靠点的距离之和等于 １６０ 米，且点 Ｂ到停靠点 的距离也会在 ０ ～ １００ 米之间，所以停靠点设在点 Ｂ处，三位 同学步行到停靠点的路程和最小． 三、解答题 图 ４－２－１３ ８．如图 ４－２－１３，已知线段 ＡＢ 和 ＣＤ 的公共部分 ＢＤ＝ １３ ＡＢ＝ １４ ＣＤ，线 段 ＡＢ，ＣＤ的中点 Ｅ，Ｆ之间的距离是 １０ ｃｍ，求 ＡＢ，ＣＤ的长． 【解】设 ＢＤ＝ ｘ ｃｍ，则 ＡＢ＝３ｘ ｃｍ，ＣＤ＝４ｘ ｃｍ，ＡＣ＝６ｘ ｃｍ． 因为点 Ｅ，Ｆ分别为 ＡＢ，ＣＤ的中点， 所以 ＡＥ＝ １２ ＡＢ＝１． ５ｘ（ｃｍ），ＣＦ＝ １２ ＣＤ＝２ｘ（ｃｍ）． 所以 ＥＦ＝ＡＣ－ＡＥ－ＣＦ＝２． ５ｘ（ｃｍ）． 又因为 ＥＦ＝１０ ｃｍ， 所以 ２． ５ｘ＝１０，解得 ｘ＝４． 所以 ＡＢ＝１２ ｃｍ，ＣＤ＝１６ ｃｍ． ９．已知线段 ＡＢ＝５，延长 ＡＢ到 Ｃ，使 ＡＣ ＝ ７，在 ＡＢ 的反向延长 线上取点 Ｄ，使 ＢＤ＝４ＢＣ．设线段 ＣＤ的中点为点 Ｅ．问：线段 ＡＥ的长度是线段 ＣＤ长度的几分之一？ 【解】根据题意可画图如图 ４－２－７′． 图 ４－２－７′ 因为 ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ，即 ７ ＝５＋ＢＣ，所以 ＢＣ＝２． 因为 ＢＤ＝４ＢＣ，即 ＢＡ＋ＡＤ＝４ＢＣ，即 ５＋ＡＤ＝８，所以 ＡＤ＝３． 所以 ＣＤ＝ＡＤ＋ＡＢ＋ＢＣ＝３＋５＋２ ＝１０． 因为点 Ｅ为 ＣＤ的中点，所以 ＤＥ＝５，即 ＡＤ＋ＡＥ＝５． 所以 ３＋ＡＥ＝５， 所以 ＡＥ＝２，所以 ＡＥ＝ １５ ＣＤ． 故线段 ＡＥ的长度是线段 ＣＤ长度的 １５                                                   ． !"#$%（&）ＲＪ' ７２　　　 １０．已知线段 ＭＮ＝３，在线段 ＭＮ上取一点 Ｑ，使 ＭＱ＝ＮＱ；延长 线段 ＭＮ至点 Ａ，使 ＡＮ＝ １２ ＭＮ；延长线段 ＮＭ 至点 Ｂ，使 ＢＮ＝３ＢＭ．先画图形再计算，并解决问题． （１）求线段 ＢＭ的长度． （２）求线段 ＡＮ的长度． （３）说出点 Ｑ是哪些线段的中点；说出图中共有多少条线 段，并表示出来． 【分析】正确作出线段图是解题关键． 图 ４－２－８′【解】（１）如图 ４－２－８′． 因为 ＭＮ＝３，ＭＱ＝ＮＱ，所以 ＭＱ＝ＮＱ＝１． ５． 又因为 ＢＮ＝３ＢＭ，即 ＢＭ＝ １３ ＢＮ，所以 ＢＭ＝ １２ ＭＮ，即 ＢＭ ＝ ＭＱ＝ＮＱ＝１． ５． （２）因为 ＡＮ＝ １２ ＭＮ，ＭＮ＝３，所以 ＡＮ＝１． ５． （３）由（１）（２）知 ＢＭ＝ＭＱ＝ＱＮ＝ＮＡ． 所以点 Ｑ既是线段 ＭＮ的中点，又是线段 ＡＢ的中点． 图中共有 １０ 条线段，它们分别是线段 ＢＭ，ＢＱ，ＢＮ，ＢＡ，ＭＱ， ＭＮ，ＭＡ，ＱＮ，ＱＡ，ＮＡ． %&'( 四、综合应用题 １１．如图 ４－２－１４，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为 ４ 个居民小区，为方便 ４ 个小 区的居民购物，镇政府打算打造一个购物中心． 问：把购物 中心建在何处才能使 ４ 个居民小区到购物中心的距离之和 最小？请你运用所学的数学知识确定购物中心的位置，并 说明这样做的理由． 图 ４－２－１４ 　 　 图 ４－２－９′ 【分析】要使 ４ 个小区到购物中心的距离之和最小，根据 “两点之间，线段最短”的性质 ，连接 ＡＣ，ＢＤ，其交点就是购 物中心的位置． 【解】连接 ＡＣ，ＢＤ，设交点为点 Ｏ，则点 Ｏ 即为所求的购物 中心的位置（如图 ４－２－９′）． 理由：设 Ｐ是异于点 Ｏ的另一点，连接 ＡＰ，ＢＰ，ＣＰ，ＤＰ． 由“两点之间，线段最短”可得 ＡＰ＋ＣＰ＞ＡＣ，ＢＰ＋ＤＰ＞ＢＤ， 所以 ＡＰ＋ＣＰ＋ＢＰ＋ＤＰ＞ＡＣ＋ＢＤ， 即 ＡＰ＋ＣＰ＋ＢＰ＋ＤＰ＞ＡＯ＋ＯＣ＋ＯＢ＋ＯＤ． 所以点 Ｏ就是所求的到 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的距离之和最小的点． 五、创新题 １２．如图 ４－２－１５，在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁 在顶点 Ａ处，它要爬到顶点 Ｂ处找食物，你能帮助蚂蚁设计 一条最短的爬行线路吗？要是食物在顶点 Ｃ处呢？ 图 ４－２－１５ 　 　 　 图 ４－２－１０′ 【解】图 ４－２－１０′是正方体盒子的侧面展开图． 当食物在 Ｂ 处时的最短路线为线段 ＡＢ；当食物在 Ｃ处时的最短路线是 线段 ＡＣ． １３．从 Ａ 地到 Ｂ 地的铁路线上，途经 ４ 个车站 （每两站之间的距离各不相等），列车从 Ａ 站 到 Ｂ站，需要准备多少种不同的票价？多少 种不同的车票？ 【解】可以把 Ａ，Ｂ两站及中途 ４ 站分别作为一条直线上的 ６ 个点．因为票价随路程的长短而变化，所以只要找出直线 上的 ６ 个点共确定几条线段即可．很明显，共有 ５＋４＋３＋２＋ １ ＝１５（条）线段，所以有 １５ 种不同的票价．但同一线路，起 点和终点有变化，故同一线段对应 ２ 种车票，所以应准备 １５×２ ＝３０（种）不同的车票． )*+, １．（２０１４·湖南长沙中考·６ 题·３ 分）如图 ４－２－１６，Ｃ，Ｄ是线 段 ＡＢ上的两点，且 Ｄ是线段 ＡＣ的中点．若 ＡＢ＝１０ ｃｍ，ＢＣ＝ ４ ｃｍ，则 ＡＤ的长为（　 Ｂ　 ）． 图 ４－２－１６ Ａ． ２ ｃｍ Ｂ． ３ ｃｍ Ｃ． ４ ｃｍ Ｄ． ６ ｃｍ 【分析】因为 ＡＢ ＝ １０ ｃｍ，ＢＣ ＝ ４ ｃｍ，所以 ＡＣ ＝ ＡＢ － ＢＣ ＝ ６（ｃｍ）．又因为点Ｄ是线段 ＡＣ的中点，所以 ＡＤ ＝ ＣＤ ＝ ３ ｃｍ． 故选 Ｂ． ２．（２０１４·江苏徐州中考·８ 题·３ 分）点 Ａ，Ｂ，Ｃ 在同一条数 轴上，其中点 Ａ，Ｂ 表示的数分别为－３，１． 若 ＢＣ ＝ ２，则 ＡＣ ＝ （　 Ｄ　 ）． Ａ． ３ Ｂ． ２ Ｃ． ３ 或 ５ Ｄ． ２ 或 ６ 【分析】此题画图时会出现两种情况，即点 Ｃ在线段 ＡＢ上和 点 Ｃ在线段 ＡＢ外，所以要分两种情况计算． 点 Ａ，Ｂ 表示的 数分别为－３，１，所以 ＡＢ＝ ４．第一种情况：如图 ４－２－１１′（１）， 点 Ｃ在线段 ＡＢ 外，ＡＣ ＝ ４＋２ ＝ ６． 第二种情况：如图 ４ －２ － １１′（２），点 Ｃ在线段 ＡＢ上，ＡＣ＝４－２ ＝２．故选 Ｄ． （１） （２） 图 ４－２－１１′ ３．（２０１５·新疆生产建设兵团中考·３ 题·５ 分）如图 ４－２－１７， 某同学的家在 Ａ处，书店在 Ｂ处，星期日他到书店去买书，他想 尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线为（　 Ｂ　 ）． 图 ４－２－１７ Ａ． ＡＣＤＢ Ｂ． ＡＣＦＢ Ｃ． ＡＣＥＦＢ Ｄ． ＡＣＭＢ 【分析】根据“两点之间，线段最 短”可知从点 Ｃ 到点 Ｂ 最短的路 线为线段 ＢＣ，从点 Ａ 到点 Ｃ 的路线唯一，故最短的路线为 Ａ→Ｃ→Ｆ→Ｂ．故选 Ｂ                                                      ． !3#$456789 ７３　　　 ◆要点 １　 角的表示要点解读：角的表示方法有四种． （１）用三个大写字母表示： 如图①，角的顶点为 Ｏ，角的两边为射线 ＯＡ，ＯＢ，该角可记为 ∠ＡＯＢ 或∠ＢＯＡ（表示顶点的大写字母要写在中间） ． （２）用一个大写字母表示：当某一顶点的角只有一个时，可用表示 这个点的字母表示这个角，如图①，这个角可表示为∠Ｏ． （３）用数字表示：如图②中的两个角，我们可以分别表示为 ∠１ 和∠２，同时 （要点 １ 图） 在图中，需要在顶点处加上弧线． （４）用希腊字母表示：如图 ③中的两个角，我们可以分别表示为∠α 和∠β，同时在图 中，需要在顶点处加上弧线． ◆要点 ２　 度、分、秒与度的互化要点解读：（１）用度、分、秒表示度时，要先把度的小数部分 化成分，再把分的小数部分化成秒． （２）用度表示度、分、秒 时，要先把秒化成分，再把分化成度．【例 １】（１）用度、分、秒表示 ５７． ５３°；（２）用度表示 ３６°２３′４５″．解：（１）５７． ５３° ＝５７°＋０． ５３×６０′＝ ５７°＋３１． ８′＝ ５７°＋３１′＋０． ８× ６０″＝５７°＋３１′＋４８″＝５７°３１′４８″． （２）因为 ４５″＝ ４５( )６０ ′＝ ０． ７５′，２３． ７５′ ＝ ２３． ７５( )６０ °≈０． ４０°，所以 ３６°２３′４５″≈３６． ４０°． ４． ３ ! T ４． ３． １　 角 １．下列说法正确的是（　 Ｃ　 ）． Ａ．有公共点的两条射线形成的图形叫作角 Ｂ．有公共点的两条线段形成的图形叫作角 Ｃ．从一点引出两条射线构成的图形叫作角 Ｄ．从一点引出两条线段构成的图形叫作角 【分析】根据角的定义判断． Ａ选项中未强调“有公共端点”， “公共点”与“公共端点”是不同的，所以错误． 选项 Ｂ，Ｄ 中 说的是两条线段，也不对，只有选项 Ｃ正确．故选 Ｃ． ２．下列四个图形中，能用∠ＡＢＣ，∠Ｂ，∠１ 三种方法表示同一个角的图形是（　 Ｄ　 ）． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３．下列各式中，正确的角度互化是（　 Ｄ　 ）． Ａ． ６３． ５° ＝６３°５０′ Ｂ． ２３°１２′３６″＝２５． ４８° Ｃ． １８°１８′１８″＝３． ３３° Ｄ． ２２． ２５° ＝２２°１５′ 【分析】６３． ５° ＝ ６３° ＋ ０． ５ × ６０′ ＝ ６３° ３０′，故 Ａ 选项错误； ２３°１２′３６″＝ ２３° １２′ ＋ ３６( )６０ ′ ＝ ２３° １２． ６′ ＝ ２３° ＋ １２． ６( )６０ ° ＝ ２３． ２１°，故 Ｂ选项错误；１８°１８′１８″＝１８°１８′＋ １８( )６０ ′＝ １８°１８． ３′ ＝ １８°＋ １８． ３( )６０ ° ＝１８． ３０５°，故 Ｃ选项错误；２２． ２５° ＝２２°＋０． ２５× ６０′＝２２°１５′，故 Ｄ选项正确．故选 Ｄ． 图 ４－３－１ ４．如图 ４－３－１，下列说法错误的是（　 Ｃ　 ）． Ａ．∠Ｂ也可以表示为∠ＡＢＣ Ｂ．∠ＢＡＣ也可以表示为∠Ａ Ｃ．∠１ 也可以表示为∠Ｃ Ｄ．以 Ｃ为顶点且小于 １８０°的角有 ３个 【分析】Ａ 项，因为∠ＡＢＣ 的顶点处只有一个角，所以∠ＡＢＣ 也可以表示为 ∠Ｂ，故 Ａ正确；Ｂ项，因为∠ＢＡＣ的顶点处只有一个角，所以 ∠ＢＡＣ也可以表示为∠Ａ，故 Ｂ正确；Ｃ项，点 Ｃ处有三个角，每个角只能用三个字母表示，∠１ 不可以表示为∠Ｃ，故 Ｃ错误；Ｄ 项，以 Ｃ 为顶点且小于 １８０°的角有 ３ 个，分别为 ∠ＡＣＢ，∠ＡＣＤ，∠ＢＣＤ，故 Ｄ正确．故选 Ｃ． 图 ４－３－２ ５．一块手表早上 ８ 时整时表针的位置如图 ４－ ３－２，那么分针与时针所组成的小于平角的角的度数是（　 Ｃ　 ）． Ａ． ６０° Ｂ． ８０° Ｃ． １２０° Ｄ． １５０° ６．（１）用度、分、秒表示 ５４．１２°＝　 ５４°７′１２″　 ；（２）用度表示 ６５°２５′１２″＝ 　 ６５． ４２°　 ．【分析】（１）５４． １２° ＝５４°＋０． １２×６０′＝ ５４°７′＋０． ２×６０″＝５４°７′１２″． （２）６５°２５′１２″＝６５°２５′＋ １２( )６０ ′＝６５°＋ ２５． ２( )６０ ° ＝６５． ４２°． ７．两条有公共端点的射线组成了 １ 个角，三条具有公共端点而又不重合的射线组成了 ３ 个角，四条这样的射线组成了 ６ 个 角，那么 ｎ条这样的射线组成了　 ｎ（ｎ－１）２ 　 个角． 图 ４－３－１′ 【分析】如图 ４－３－１′，２ 条有公共端点的射线组成了 １ 个角； ３ 条有公共端点的射线组成了 １＋２ ＝３（个）角；４ 条有公共端点的射线组成了 １＋２＋３ ＝６（个）角……故 ｎ条有公共端点的 射线组成了 １＋２＋３＋…＋（ｎ－１）＝ ｎ（ｎ－１）２ （个）角． 图 ４－３－３ ８．在∠ＡＯＢ内部有两条射线 ＯＣ，ＯＤ，如图 ４－３－３，试写出图中的所有角．【解】∠ＡＯＣ，∠ＡＯＤ，∠ＡＯＢ，∠ＣＯＤ， ∠ＣＯＢ，∠ＤＯＢ． ９．计算：（１）３２°１６′＋４８°５１′；（２）１０８°１８′２５″－５６°２３′３２″；（３）１５°４３′２６″×３；（４）６６°４５′÷５．【分析】角的度、分、秒是六十进制，加减运算要将度与度、分与分、秒与秒之间分别加减，分、秒相加时逢 ６０ 要进位，相减时要借 １ 当 ６０；乘法运算要用乘数分别与度、分、秒相乘，然后逢 ６０进位；除法运算用除数分别依次去除度、分、秒，度的余数乘 ６０ 化为分，依次类推．一般除到秒，仍有余数再四舍五入．【解】（１）３２°１６′＋４８°５１′＝８０°６７′＝８１°７′．（２）１０８° １８′ ２５″ － ５６° ２３′ ３２″ ＝ １０７° ７７′ ８５″ － ５６° ２３′ ３２″ ＝ ５１°５４′５３″．（３）１５°４３′２６″×３ ＝４５°１２９′７８″＝４５°１３０′１８″＝４７°１０′１８″．（４）６６°４５′÷５ ＝１３°２１′．附加题 １０． １０ 时整，时钟上的分针与时针组成　 ６０° 　 角；６ 时整，时针与分针组成　 １８０°　 角．（填度数）【分析】可以根据表盘进行分析计算                                        ． !"#$%（&）ＲＪ' ７４　　　 （要点 ３ 图） （例 ２ 图） ◆要点 ３　 比较角的大小的方法要点解读：（１）叠合法：把一个角放 在另一个角上，使两个角的顶点和 一边分别重合，并使这两个角的另 一边都在这条边的同侧． ①如果两 角的另一边重合，那么这两个角相 等．②如果两角的另一边不重合，其 中一个角的另一边落在另一个角的 内部，那么这个角比另一个角小；其 中一个角的另一边落在另一个角的 外部，那么这个角比另一个角大． 如图，将两个角叠合在一 起，便可知道∠ＢＡＣ＜∠ＤＥＦ． （２）测量法：用量角器量出角的 度数． 度数大的角大；度数小的角小；度数相等时，角相等． ◆要点 ４　 角的平分线的定义要点解读：如果 ＯＣ 是∠ＡＯＢ 的平分线，那么（１）∠ＢＯＣ ＝ ∠ＡＯＣ，（２）∠ＡＯＢ＝ ２∠ＡＯＣ，∠ＡＯＢ ＝ ２∠ＢＯＣ，（３）∠ＢＯＣ ＝ １ ２ ∠ＡＯＢ，∠ＡＯＣ＝ １ ２ ∠ＡＯＢ． 反之，如果上述各式中任一等 式成立，那么均可说明射线 ＯＣ 是∠ＡＯＢ 的平分线．【例 ２】如图，∠ＡＯＤ＝８０°，射线 ＯＢ是∠ＡＯＣ的平分线，∠ＡＯＢ＝３０°，求∠ＣＯＤ的度数．解：因为射线 ＯＢ 是∠ＡＯＣ 的平分线， ∠ＡＯＢ＝３０°，所以∠ＡＯＣ＝２∠ＡＯＢ＝６０°．因为∠ＡＯＤ＝８０°，所以 ∠ＣＯＤ ＝ ∠ＡＯＤ － ∠ＡＯＣ ＝ ８０° － ６０° ＝２０°． ４． ３． ２　 角的比较与运算 １．若∠Ａ＝２０°１８′，∠Ｂ＝２０°１５′３０″，∠Ｃ＝２０． ２５°，则（　 Ａ　 ）． Ａ．∠Ａ＞∠Ｂ＞∠Ｃ Ｂ．∠Ｂ＞∠Ａ＞∠Ｃ Ｃ．∠Ａ＞∠Ｃ＞∠Ｂ Ｄ．∠Ｃ＞∠Ａ＞∠Ｂ 【分析】因为 ２０． ２５° ＝ ２０°１５′，２０°１５′＜２０°１５′３０″＜２０°１８′，所 以∠Ａ＞∠Ｂ＞∠Ｃ．故选 Ａ． ２．借助一副三角尺你能画出下面哪个度数的角（　 Ｂ　 ）． Ａ． ６５° Ｂ． ７５° Ｃ． ８５° Ｄ． ９５° 【分析】７５° ＝４５°＋３０°，可以把 ４５°和 ３０°这两个角拼在一起， 画出的角等于 ７５°．故选 Ｂ． ３．如图 ４－３－４，射线 ＯＱ平分∠ＰＯＲ，ＯＲ平分∠ＱＯＳ，给出以下结 论：①∠ＰＯＱ ＝∠ＱＯＲ ＝∠ＲＯＳ；②∠ＰＯＲ ＝∠ＱＯＳ；③∠ＰＯＲ ＝ ２∠ＲＯＳ；④∠ＲＯＳ＝２∠ＰＯＱ．其中正确的有（　 Ａ　 ）． Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．①②③④ 【分析】由角的平分线的定义知∠ＰＯＱ ＝∠ＱＯＲ，∠ＱＯＲ ＝ ∠ＲＯＳ，所以∠ＰＯＱ ＝∠ＱＯＲ ＝∠ＲＯＳ，所以①正确，④错误； 由∠ＰＯＱ＝∠ＲＯＳ 可得∠ＰＯＱ＋∠ＱＯＲ＝∠ＲＯＳ＋∠ＱＯＲ，即 ∠ＰＯＲ ＝ ∠ＱＯＳ，所以②正确；∠ＰＯＲ ＝ ∠ＰＯＱ ＋∠ＱＯＲ ＝ ２∠ＲＯＳ，故③正确．故选 Ａ． 图 ４－３－４ 　 　 　 　 图 ４－３－５ ４．如图 ４－３－５，已知直线 ＡＢ，ＣＤ 相交于点 Ｏ，射线 ＯＥ 平分 ∠ＣＯＢ．若∠ＥＯＢ＝５５°，则∠ＢＯＤ的度数是（　 Ｃ　 ）． Ａ． ３５° Ｂ． ５５° Ｃ． ７０° Ｄ． １１０° 【分析】因为 ＯＥ平分∠ＣＯＢ，所以∠ＣＯＢ＝２∠ＥＯＢ＝１１０°．所 以∠ＢＯＤ＝１８０°－∠ＣＯＢ＝７０°．故选 Ｃ． ５．观察图 ４－３－６，用“＜”把∠ＡＯＤ，∠ＢＯＤ，∠ＣＯＤ 连接起来： ∠　 ＣＯＤ　 ＜∠　 ＢＯＤ　 ＜∠　 ＡＯＤ　 ． 图 ４－３－６ 　 　 　 　 图 ４－３－７ ６．已知∠ＡＢＣ＝３０°，ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，则∠ＡＢＤ＝　 １５°　 ． 【分析】因为 ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，所以∠ＡＢＤ＝ １２ ∠ＡＢＣ． 而∠ＡＢＣ＝３０°，所以∠ＡＢＤ＝１５°． ７．如图 ４－３－７，∠１ ＝３０°，∠ＡＯＣ＝ ９０°．若 Ｂ，Ｏ，Ｄ 三点共线，则 ∠３ ＝ 　 １２０°　 ． 【分析】由∠１ ＝ ３０°，∠ＡＯＣ ＝ ９０°，得∠２ ＝ ９０°－３０° ＝ ６０°． 又 因为 Ｂ，Ｏ，Ｄ 三点共线，所以∠ＢＯＤ ＝ １８０°，所以∠３ ＝ １８０°－ ６０° ＝１２０°． ８．如图 ４－３－８，直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，ＯＡ平分∠ＥＯＣ． （１）若∠ＥＯＣ＝７０°，求∠ＢＯＥ的度数； （２）若∠ＥＯＣ ∶ ∠ＥＯＤ＝２ ∶ ３，求∠ＢＯＥ的度数． 图 ４－３－８ 【解】（１）因为 ＯＡ平分∠ＥＯＣ， 所以∠ＡＯＥ＝ １２ ∠ＥＯＣ＝ １２ ×７０° ＝３５°． 所以∠ＢＯＥ ＝ ∠ＡＯＢ －∠ＡＯＥ ＝ １８０° － ３５° ＝１４５°． （２）设∠ＥＯＣ＝２ｘ，则∠ＥＯＤ ＝ ３ｘ．根据题 意，得 ２ｘ＋３ｘ＝１８０°．解得 ｘ＝３６°． 所以∠ＥＯＣ＝２ｘ＝７２°， 所以∠ＡＯＥ＝ １２ ∠ＥＯＣ＝ １２ ×７２° ＝３６°， 所以∠ＢＯＥ＝∠ＡＯＢ－∠ＡＯＥ＝１８０°－３６° ＝１４４°． 附加题 ９．如图 ４－３－９，点 Ｏ 为直线 ＡＢ 上一点，过点 Ｏ 作射线 ＯＣ，已 知∠ＡＯＣ≠９０°，射线 ＯＤ 平分∠ＡＯＣ，射线 ＯＥ 平分∠ＢＯＣ， 射线 ＯＦ平分∠ＤＯＥ． （１）当 ０°＜∠ＡＯＣ＜９０°时，求∠ＦＯＢ＋∠ＤＯＣ的度数； （２）在（１）的条件下，若∠ＤＯＣ＝３∠ＣＯＦ，求∠ＡＯＣ的度数． 图 ４－３－９ 【解】（１）因为射线 ＯＤ 平分∠ＡＯＣ， 所以∠ＡＯＤ＝∠ＣＯＤ．因为射线 ＯＥ平 分∠ＢＯＣ，所以∠ＣＯＥ ＝∠ＢＯＥ． 因为 ∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ ＝ １８０°，所以∠ＤＯＥ ＝ ∠ＣＯＤ ＋ ∠ＣＯＥ ＝ １２ ∠ＡＯＣ ＋ １ ２ ∠ＢＯＣ＝９０°．因为 ＯＦ平分∠ＤＯＥ，所以∠ＤＯＦ ＝∠ＥＯＦ ＝ １ ２ ∠ＤＯＥ＝４５°． 所以∠ＦＯＢ ＋∠ＤＯＣ ＝ ∠ＦＯＢ ＋∠ＡＯＤ ＝ １８０°－∠ＤＯＦ＝１８０°－４５° ＝１３５°． （２）设∠ＣＯＦ ＝ ｘ°．因为∠ＤＯＣ ＝ ３∠ＣＯＦ，所以∠ＤＯＣ ＝ ３ｘ°． 所以 ∠ＤＯＦ ＝ ４ｘ° ＝ ４５°，所 以 ｘ ＝ ４５４ ． 所 以 ∠ＡＯＣ ＝ ２∠ＤＯＣ＝６∠ＣＯＦ＝６７． ５                                        °． !3#$456789 ７５　　　 ◆要点 ５　 互为补角与互为余角要点解读：互余、互补是指两个角的数值关系，由它们的和来 决定，与它们的位置无关． 如果两个角的和等于 ９０°（直角）， 那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫作另一个 角的余角． 如果两个角的和等于 １８０°（平角），那么这两个角 互为补角，简称互补，其中一个角叫作另一个角的补角．两角 互余与互补的性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的 补角相等． ◆要点 ６　 实际问题中方位角的认识要点解读：方位角一般以正北、正南方向为基准来描述物体 实际的方向． 若测线正好是相邻两个方向所成角的平分线， 则把这两个方向排在一起，分别可称为东南、东北、西南、西 北．若测线在其他位置，则以正北、正南方向为基准，观察测 线与南北方向所成的锐角来确定方向．对方位角的认识要注 意以下问题：（１）画图要准确；（２）不要把有关角度说成“东 偏北×度”或“西偏南×度”等． ４． ３． ３　 余角和补角 １．（２０１５·湖南株洲中考·２ 题·３ 分）已知∠α＝３５°，那么∠α的余角等于 （　 Ｂ　 ）． Ａ． ３５° Ｂ． ５５° Ｃ． ６５° Ｄ． １４５°【分析】因为互为余角的两个角的和为 ９０°，所以∠α 的余角为 ９０°－∠α＝９０°－３５° ＝５５°．故选 Ｂ． ２．一个角的补角比它的余角（　 Ｃ　 ）． Ａ．大 α Ｂ．小 ９０° Ｃ．大 ９０° Ｄ．不确定大小【分析】角 α的补角为（１８０°－α），余角为（９０°－α），（１８０°－α）－（９０°－α）＝ ９０°．故选 Ｃ． ３．（２０１５·河北中考·９ 题·３ 分）已知：岛 Ｐ位于岛 Ｑ的正西方，由岛 Ｐ，Ｑ分别测得船 Ｒ位于南偏东 ３０°和南偏西 ４５°方向上．符合条件的示意图是（　 Ｄ　 ）． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ【分析】先画出 Ｐ，Ｑ两点，再分别以 Ｐ，Ｑ 为参照点画南偏东 ３０°线和南偏西 ４５°线，交点记为 Ｒ． ４．若∠α和∠β互为余角，则∠α和∠β的补角之和是（　 Ｃ　 ）． Ａ． ９０° Ｂ． １８０° Ｃ． ２７０° Ｄ．不能确定【分析】由已知条件，得∠α＋∠β ＝ ９０°，所以∠α 和∠β 的补角之和为（１８０° －∠α）＋（１８０° －∠β）＝ ３６０° －（∠α＋∠β）＝ ３６０°－９０° ＝２７０°．故选 Ｃ． ５．（２０１５·广西百色中考·７ 题·３ 分）一个角的余角是这个 角的补角的 １３ ，则这个角的度数是（　 Ｂ　 ）． Ａ． ３０° Ｂ． ４５° Ｃ． ６０° Ｄ． ７０° 【分析】设这个角的度数为 ｘ，根据题意，得 ９０°－ｘ＝ １３ （１８０°－ ｘ）．解得 ｘ＝４５°．故选 Ｂ ． ６．（２０１５·江西南昌中考·７ 题·３ 分）一个角的度数为 ２０°，则它的补角的度数为　 １６０°　 ．【分析】１８０°－２０° ＝１６０°． 图 ４－３－１０ ７．如图 ４－３－１０，写出下列方位角的度数．（１）射线 ＯＡ表示北偏　 西 ６０°　 方向；（２）射线 ＯＢ表示南偏　 西 ４５°　 方向；（３）射线 ＯＣ表示南偏　 东 ３０°　 方向；（４）射线 ＯＤ表示北偏　 东 ６０°　 方向． ８．东北方向和西北方向所成的角是　 ９０　 度． 【分析】东北方向和西北方向所成的角是 ４５°＋４５° ＝９０°． 图 ４－３－１１ ９．如图 ４－３－１１，ＡＢ 是一条直线，∠ＢＯＣ ＝ ∠ＡＯＣ＝ ９０°，ＯＤ，ＯＥ 是射线，则图中有 　 ２　 对互余的角，　 ３　 对互补的角． 【分析】∠ＡＯＥ 与∠ＣＯＥ 互余，∠ＢＯＤ 与 ∠ＣＯＤ 互 余；∠ＡＯＥ 与 ∠ＢＯＥ 互 补， ∠ＢＯＤ与∠ＡＯＤ 互补，∠ＡＯＣ 与∠ＢＯＣ互补． １０．若两个互补的角的度数之比是 １ ∶ ２，则这两个角中较小角的大小是　 ６０°　 ． 【分析】设互补的两个角中较小角为 ｘ°，则较大角为（２ｘ）°， 根据题意可得 ｘ＋２ｘ＝１８０，所以 ｘ＝６０． １１．若∠α的补角是∠α的余角的 ３ 倍，则∠α＝ 　 ４５°　 ．【分析】由于∠α的补角 ＝ １８０°－α，∠α 的余角 ＝ ９０°－α，则有 １８０°－α＝３（９０°－α），解得 α＝４５°． １２．已知一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大 ９０°，求这个角的余角． 【分析】可设这个角为 ｘ°，用含 ｘ的式子分别表示它的余角 和补角，建立方程求解． 【解】设这个角为 ｘ°，那么这个角的余角为（９０°－ｘ°），这个角的补角为（１８０°－ｘ°）．根据题意，得 ［１８０°－（９０°－ｘ°）］－ １２ （１８０°－ｘ°）＝ ９０°．解得 ｘ＝６０．所以 ９０°－ｘ° ＝９０°－６０° ＝３０°．故这个角的余角为 ３０°．附加题 １３．如图 ４－３－１２，在 Ｏ 处测得北偏东 ３０°的 Ａ 处有一暗礁区，为避开这一危险区，轮船在 Ｏ 处应改为向东北方向航行才能避开这一危险区．（１）在图 ４－３－１２ 中画出轮船的航线；（２）求出轮船的航线与 ＯＡ的夹角． 图 ４－３－１２ 　 　 图 ４－３－２′ 【解】（１）画图，如图 ４－３－２′，∠ＮＯＭ＝４５°．所以射线 ＯＭ就是轮船的航线．（２）因为∠ＮＯＡ＝３０°，∠ＮＯＭ ＝ ４５°，所以∠ＡＯＭ ＝∠ＮＯＭ－ ∠ＮＯＡ＝４５°－３０° ＝１５°．所以轮船的航线与 ＯＡ的夹角为 １５                                         °． !"#$%（&）ＲＪ' ７６　　　 （例 １ 图） ◆要点 １　 正方体的展开图要点解读：判断正方体展开图的口诀：一线不过四，田凹应弃之，相间“Ｚ”端是对面，间二拐角邻面知． “一线不过四”指的 是正方体的展开图中一条线上的正方形不能超过四个；“田 凹应弃之”指的是含有“田”“凹”形式的展开图不是正方体 的展开图；“相间‘Ｚ’端是对面”中的“相间”指的是一条线上 中间隔着一个正方形的两个正方形合成正方体时是对面， “‘Ｚ’端”指的是图形中“Ｚ”字形的两端的正方形合成正方 体时是对面；“间二拐角邻面知”中的“间二”指的是一条线 上中间隔着两个正方形的两个正方形合成正方体时是邻面， 拐角的两个正方形合成正方体时也是邻面． 【例 １】如图是每个面上都有一个汉字的正方体的展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“美”相对的面上的汉字是（　 　 ）． Ａ．我　 　 　 Ｂ．爱　 　 　 Ｃ．枣　 　 　 Ｄ．庄分析：这是一个正方体的展开图，共有六个面，其中面“我”与面“庄”相对，面“爱”与面“丽”相对，面“美”与面“枣”相对．故选 Ｃ．答案：Ｃ． ４． ４ ! UJVW! XYZ[\.]N^(_`ab １．下列各图不是正方体的展开图的是（　 Ｃ　 ）． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 图 ４－４－１ ２．如图 ４－４－１，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标 有字母“Ｍ”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形， 想一想，这个平面图形是（　 Ａ　 ）． 图 ４－４－２ ３． 把一张长方形的纸片沿长边（长边 ＞短边的 ２ 倍）中点的连线对折两次后，再沿图 ４－４－２ 中 的虚线裁剪，剩下的外面部分展开后得到的图 形可能是（　 Ｄ　 ）． ４．图 ４－４－３是一个长方体的展开图，如果将它折叠起来，其中点 Ｍ，点　 Ｈ　 和点　 Ｅ　 重合，点 Ｌ，点　 Ｆ　 和点　 Ｎ　 重合． 图 ４－４－３ 　 　 　 　 图 ４－４－４ ５．若要使图 ４－４－４ 中的展开图折叠成正方体后，相对的两面 上的两个数之和为 ６，则 ｘ＝ 　 ５　 ，ｙ＝ 　 ３　 ． 【分析】通过观察可发现面“ｘ”与面“１”相对，面“ｙ”与面“３” 相对，所以 ｘ＝５，ｙ＝３． 图 ４－４－５ ６．如图 ４－４－５，有一个面积为 ６×６ 的正方形格纸，在四个角各剪去一个面积为 １×１ 的正方形，然后折叠成一个无盖长方体纸盒，求其容积． 【解】折叠成的长方体纸盒的底面是边长为 ４的正方形，且纸盒的高为 １，所以纸盒的容积为 ４×４×１ ＝１６．附加题 ７．市场上某种型号的肥皂，它的长、宽、 图４－４－６ 高分别为１６ ｃｍ，６ ｃｍ，３ ｃｍ，肥皂厂想设计一种包装箱，使得一个包装箱能盛放这种肥皂 ３０ 块，且包装箱所用材料尽可能少．（１）如果这 ３０ 块肥皂如图 ４－ ４－６ 放置，此时包装箱的表面积是多少？（２）３０ 块肥皂堆放成一个长方体，还有其他堆法吗？如果有，试着再找出两种堆放方法，并画出从上面看堆放的长方体所得的图形．（３）计算你的两种堆放方法中，对应的长方体包装箱表面积的大小，比一比，哪种堆放方法对应的包装箱的表面积较小？（４）请画出（２）中表面积较小的长方体包装箱的一个展开图．【解】（１）Ｓ＝２×［（１６×３）×（６×５）＋（１６×３）×（３×２）＋（６×５）×（３×２）］＝３ ８１６（ｃｍ２）．答：此时包装箱的表面积是 ３ ８１６ ｃｍ２ ．（２）有其他堆法，堆法不唯一，堆放方法分别为：肥皂侧面向上，一层放 ６ 个，排 ２ 行，共放 ５ 层；肥皂侧面向上，一层放 ６ 个排成 １ 行，共放 ５ 层．从上面看如图 ４－４－１′．（３）图 ４－４－１′（１）中的堆放方法对应的包装箱的表面积Ｓ１ ＝ ２×［（６×５）×（３×３）＋（６×５）×（１６×２）＋（３×３）×（１６×２）］＝ ３ ０３６（ｃｍ２）．图 ４－４－１′（２）中的堆放方法对应的包装箱的表面积 Ｓ２ ＝ ２×［（６×５）×（３ ×６）＋（６ ×５）×（１６ ×１）＋（３ ×６）×（１６ ×１）］＝ ２ ６１６（ｃｍ２）．因为 ３ ０３６ ｃｍ２＞２ ６１６ ｃｍ２，所以按图 ４－４－１′（２）中的堆放方法对应的包装箱的表面积较小．（４）答案不唯一，示意图如图 ４ －４ －２′，ＥＦ ＝ ＨＩ ＝ ＧＣ ＝ ＤＪ ＝ ＭＮ＝ＫＬ＝１８ ｃｍ，ＡＢ ＝ ＨＥ ＝ ＩＦ ＝ ＪＧ ＝ ＤＣ ＝ ３０ ｃｍ，ＡＨ ＝ ＨＭ ＝ ＮＩ＝ ＩＪ＝ＢＥ＝ＥＫ＝ＦＬ＝ＦＧ＝１６ ｃｍ． 图 ４－４－１′ 　 　 图 ４－４－２′                                         !3#$456789 ７７　　　 ４． ３，４． ４ !"#$ 一、选择题 １．若∠α的余角是 ２３°１７′３８″，∠β 的补角是 １１３°１７′３８″，则∠α和∠β的大小关系是（　 Ｂ　 ）． Ａ．∠α＞∠β Ｂ．∠α＝∠β Ｃ．∠α＜∠β Ｄ不确定 ２．将一副三角尺按不同位置摆放，在如下摆放方式中，能使 ∠α＝∠β的是（　 Ｂ　 ）． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 【分析】Ａ项，∠α＋∠β＝１８０°－９０° ＝ ９０°，不能判定∠α 和∠β相等，故 Ａ项不符合题意；Ｂ 项，∠α 和∠β 都等于 ９０°减去重合的角，故 Ｂ项符合题意；Ｃ项，∠α＋∠β＝ １８０°，不能判定 ∠α和∠β相等，故 Ｃ项不符合题意；Ｄ项，∠α等于 ４５°减去重合的角，∠β等于 ６０°减去重合的角，所以∠α 和∠β 不相等，故 Ｄ项不符合题意．故选 Ｂ． ３．如图 ４ － ４ － ７，ＯＣ 是∠ＡＯＢ 的平分线，ＯＤ 平分∠ＡＯＣ，若 ∠ＣＯＤ＝２５°，则∠ＡＯＢ的度数为（　 Ａ　 ）． 图 ４－４－７ Ａ． １００° Ｂ． ８０° Ｃ． ７０° Ｄ． ６０° 【分析】因为 ＯＣ 是∠ＡＯＢ 的平分线，所以∠ＡＯＣ＝∠ＣＯＢ．因为 ＯＤ 是∠ＡＯＣ的平分线，所以∠ＡＯＤ＝∠ＣＯＤ＝ ２５°．所以∠ＡＯＣ＝５０°，所以∠ＡＯＢ＝１００°．故选 Ａ． ４．学校、电影院、公园在平面图上分别是点 Ａ，Ｂ，Ｃ，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西 ２５°方向，那么平面图上∠ＣＡＢ等于（　 Ａ　 ）． Ａ． １１５° Ｂ． １５５° Ｃ． ２５° Ｄ． ６５° ５．已知∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，有下列表示∠β 的余角的 式子：①９０°－∠β；②∠α－９０°；③ １２ （∠α＋∠β）；④ １２ （∠α－ ∠β）．其中正确的有（　 Ｂ　 ）． Ａ． ４ 个 Ｂ． ３ 个 Ｃ． ２ 个 Ｄ． １ 个 【分析】由余角的定义知①正确；由∠α和∠β互补知∠α＋∠β＝ １８０°，所以∠α －９０° ＝ １８０° －∠β －９０° ＝ ９０° －∠β，故②正确； １ ２ （∠α＋∠β）＝ ９０°，故③不正确；１２ （∠α－∠β）＝ １２ （１８０°－ ∠β－∠β）＝ ９０°－∠β，所以④正确，故正确的说法有 ３ 个，应选 Ｂ． 二、填空题 ６．若时钟的指针从三点五分转到三点四十分，其中分针转过了 　 ２１０°　 ． 【分析】分针每分钟转过 ６°，从三点五分到三点四十分，共过了 ３５ 分钟，因此分针转过了 ６°×３５ ＝２１０°． ７．已知∠α与∠β 互余，且∠α ∶ ∠β ＝ ３ ∶ ２，则∠α ＝ 　 ５４°　 ， ∠β＝ 　 ３６°　 ．【分析】设∠α＝３ｘ°，则∠β ＝ ２ｘ°．由余角定义可列方程 ３ｘ°＋ ２ｘ° ＝９０°，解得 ｘ＝１８．所以∠α＝５４°，∠β＝３６°． ８． 如图 ４ － ４ － ８，点 Ａ，Ｏ，Ｂ 在一条直线上，∠ＡＯＣ ＝ １ ２ ∠ＢＯＣ＋３０°，射线 ＯＥ平分∠ＢＯＣ，则∠ＢＯＥ＝ 　 ５０°　 ． 图 ４－４－８ 　 　 　 图 ４－４－９ ９．如图 ４－４－９，直线 ＡＢ与 ＣＤ相交于点 Ｏ，若∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ＝ ９０°，则∠ＢＯＣ＝ 　 １３５°　 ．【分析】因为∠ＡＯＣ 和∠ＢＯＤ 都是∠ＡＯＤ 的补角，所以 ∠ＡＯＣ和∠ＢＯＤ相等． 由∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ ＝ ９０°可得∠ＡＯＣ ＝ ∠ＢＯＤ＝４５°，所以∠ＢＯＣ＝１８０°－∠ＡＯＣ＝１３５°． １０．若∠α，∠β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算 １６ （∠α＋∠β）的结果依次为 ５０°，２６°，７２°，９０°，其中有正确的结果，那么 　 甲　 的答案正确．三、解答题 １１．已知一条射线 ＯＡ，如果从 Ｏ点再引两条射线 ＯＢ 和 ＯＣ，使 ∠ＡＯＢ ＝ ６０°，∠ＢＯＣ ＝ ２０°，ＯＤ 是∠ＡＯＢ 的平分线，求 ∠ＣＯＤ的度数．【解】当 ＯＣ在∠ＡＯＢ的外部时，如图 ４－４－３′（１）．因为 ＯＤ是∠ＡＯＢ的平分线，∠ＡＯＢ＝６０°， 所以∠ＢＯＤ＝ １２ ∠ＡＯＢ＝３０°．所以∠ＣＯＤ＝∠ＢＯＤ＋∠ＢＯＣ＝３０°＋２０° ＝５０°．当 ＯＣ在∠ＡＯＢ的内部时，如图 ４－４－３′（２）．因为 ＯＤ是∠ＡＯＢ的平分线，∠ＡＯＢ＝６０°， 所以∠ＢＯＤ＝ １２ ∠ＡＯＢ＝３０°．所以∠ＣＯＤ＝∠ＢＯＤ－∠ＢＯＣ＝３０°－２０° ＝１０°．综上所述，∠ＣＯＤ的度数为 ５０°或 １０°． 图 ４－４－３′ １２．如图 ４－４－１０，已知 ＯＣ平分∠ＡＯＤ，且∠２ ∶ ∠３ ∶ ∠４ ＝ １ ∶ ２ ∶ ５，求∠１ 的度数．【解】因为 ＯＣ平分∠ＡＯＤ ，所以∠１ ＝∠２．又因为∠２ ∶ ∠３ ∶ ∠４ ＝ １ ∶ ２ ∶ ５，所以设∠１ ＝ ｘ°，则∠２ ＝ ｘ°，∠３ ＝２ｘ°，∠４ ＝５ｘ°．因为∠１＋∠２＋∠３＋∠４ ＝ １８０°，所以 ｘ＋ｘ＋２ｘ＋５ｘ＝１８０．所以 ｘ＝２０，即∠１ ＝２０°． 图 ４－４－１０ 　 　 图 ４－４－１１ １３．如图 ４－４－１１，一副三角尺的两个直角顶点 Ｏ重叠在一起．（１）比较∠ＡＯＣ与∠ＢＯＤ的大小，并说明理由．（２）∠ＡＯＤ与∠ＢＯＣ的和是多少度？【解】（１）∠ＡＯＣ与∠ＢＯＤ相等．理由：因为∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝９０°，所以∠ＡＯＢ－∠ＣＯＢ＝∠ＣＯＤ－∠ＣＯＢ，即∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ．（２）因为∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＤ，所以∠ＡＯＤ ＋∠ＢＯＣ ＝ ∠ＡＯＢ ＋∠ＢＯＤ ＋∠ＢＯＣ ＝ ∠ＡＯＢ ＋ ∠ＣＯＤ＝９０°＋９０° ＝１８０°．即∠ＡＯＤ与∠ＢＯＣ的和为 １８０                                                   °． !"#$%（&）ＲＪ' ７８　　　 %&'( 四、综合应用题 １４．图 ４－４－１２ 是一只蜗牛在地面上爬行时留下的痕迹． 若蜗 牛从 Ｐ点出发按顺时针方向沿图中弧线爬行，最后又回到 Ｐ点，则该蜗牛共转过了多少度角？ 图 ４－４－１２ 【解】由 Ｐ 点开始转一圈回到 Ｐ 点与 由 Ａ点开始转一圈回到 Ａ点所转的角 度一样．而由 Ａ点转到 Ｃ点转了 １８０°， 由 Ｃ点转到 Ｄ点转了 １８０°，由 Ｄ点转 到 Ｅ点转了 １８０°，由 Ｅ 点转到 Ｆ 点转 了 １８０°，由 Ｆ 点转到 Ｂ 点转了 １８０°， 由 Ｂ点转到 Ａ点转了 １８０°，共 ６×１８０° ＝１ ０８０°． 即该蜗牛共转过了 １ ０８０°． 图 ４－４－１３ １５．在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实 际的南或北方向线之间的夹角的大小来表 示的，如图４－４－１３，用 ＡＮ（南北线）与飞行线 之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角．从 Ａ到 Ｂ 的飞行方向角为 ３５°，从 Ａ 到 Ｃ 的飞 行方向角为 ６０°，从 Ａ 到 Ｄ 的飞行方向角为 １４５°，求 ＡＢ与 ＡＣ之间的夹角是多少度，ＡＤ 与 ＡＣ之间的夹角为多少度，并画出从 Ａ 飞 出且飞行方向角为 １０５°的飞行线． 图 ４－４－４′ 【解】由题意，得∠ＮＡＢ ＝ ３５°，∠ＮＡＣ ＝ ６０°， ∠ＮＡＤ＝１４５°，所以∠ＢＡＣ ＝∠ＮＡＣ －∠ＮＡＢ ＝ ６０° － ３５° ＝ ２５°， ∠ＣＡＤ＝∠ＮＡＤ－∠ＮＡＣ＝１４５°－６０°＝８５°．所以 ＡＢ与 ＡＣ之间的夹角为 ２５°，ＡＤ与 ＡＣ之间 的夹角为 ８５°． 图 ４－４－４′中 ＡＥ即为从 Ａ飞出且飞行方向角为 １０５°的飞行线． 五、创新题 １６．已知∠ＡＯＢ＝９０°，过 Ｏ点任意作三条射线 ＯＣ，ＯＤ，ＯＥ，且使得 ＯＤ平分∠ＢＯＣ，ＯＥ平分∠ＡＯＣ．试探究∠ＤＯＥ的度数． 【解】（１）当射线 ＯＣ在∠ＡＯＢ的内部时，如图 ４－４－５′（１）． 因为 ＯＤ平分∠ＢＯＣ，所以∠ＤＯＣ＝ １２ ∠ＢＯＣ． 因为 ＯＥ平分∠ＡＯＣ，所以∠ＥＯＣ＝ １２ ∠ＡＯＣ． 所以∠ＤＯＥ＝∠ＤＯＣ＋∠ＥＯＣ＝ １２ （∠ＢＯＣ＋∠ＡＯＣ）＝ １２ ∠ＡＯＢ＝４５°． 图 ４－４－５′ （２）当射线 ＯＣ在∠ＡＯＢ 的外部，且∠ＡＯＣ＜９０°时，如图 ４－ ４－５′（２）． 因为 ＯＤ平分∠ＢＯＣ，所以∠ＤＯＣ＝ １２ ∠ＢＯＣ． 因为 ＯＥ平分∠ＡＯＣ，所以∠ＥＯＣ＝ １２ ∠ＡＯＣ． 所以∠ＤＯＥ ＝ ∠ＤＯＣ －∠ＥＯＣ ＝ １２ （∠ＢＯＣ －∠ＡＯＣ）＝ １ ２ ∠ＡＯＢ＝４５°． （３）当射线 ＯＣ 在∠ＡＯＢ 的外部且∠ＢＯＣ＜９０°时，如图 ４－ ４－５′（３）． 因为 ＯＤ平分∠ＢＯＣ，所以∠ＤＯＣ＝ １２ ∠ＢＯＣ． 因为 ＯＥ平分∠ＡＯＣ，所以∠ＥＯＣ＝ １２ ∠ＡＯＣ． 所以∠ＤＯＥ ＝ ∠ＥＯＣ －∠ＤＯＣ ＝ １２ （∠ＡＯＣ －∠ＢＯＣ）＝ １ ２ ∠ＡＯＢ＝４５°． （４）当射线 ＯＣ在∠ＡＯＢ的外部，且∠ＡＯＣ与∠ＢＯＣ均大于 ９０°时，如图 ４－４－５′（４）． 因为 ＯＤ平分∠ＢＯＣ，所以∠ＤＯＣ＝ １２ ∠ＢＯＣ． 因为 ＯＥ平分∠ＡＯＣ，所以∠ＥＯＣ＝ １２ ∠ＡＯＣ． 所以∠ＤＯＥ ＝ ∠ＤＯＣ ＋∠ＥＯＣ ＝ １２ （∠ＢＯＣ ＋∠ＡＯＣ）＝ １ ２ （３６０°－∠ＡＯＢ）＝ １２ （３６０°－９０°）＝ １３５°．综上所述，∠ＤＯＥ的度数为 ４５°或 １３５°． )*+, １．（２０１５·广西柳州中考·４ 题·３ 分）如图 ４－４－１４，图中∠α 图 ４－４－１４ 的度数等于（　 Ａ　 ）． Ａ． １３５° Ｂ． １２５° Ｃ． １１５° Ｄ． １０５° 【分析】∠α的度数＝１８０°－４５° ＝１３５°．故选 Ａ． ２．（２０１５·广西玉林、防城港中考·４ 题·３ 分）下面角的图形中，能与 ３０°角互补的是（　 Ｄ　 ）． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 【分析】３０°角的补角为 １８０°－３０° ＝ １５０°，是钝角，结合各图 形，只有选项 Ｄ是钝角．故选 Ｄ． 图 ４－４－１５ ３． （２０１４ · 山 东 滨 州 中 考 · ５ 题·３ 分）如图 ４－４－１５，ＯＢ是 ∠ＡＯＣ的平分线，ＯＤ 是∠ＣＯＥ的平分线． 如果∠ＡＯＢ ＝ ４０°， ∠ＣＯＥ ＝ ６０°，则∠ＢＯＤ 的度数为（　 Ｄ　 ）． Ａ． ５０° Ｂ． ６０° Ｃ． ６５° Ｄ． ７０° 【分析】因为ＯＢ是∠ＡＯＣ的平分线，所以∠ＣＯＢ＝∠ＡＯＢ＝４０°．因 为ＯＤ是∠ＣＯＥ的平分线，∠ＣＯＥ＝６０°，所以∠ＣＯＤ＝ １２ ∠ＣＯＥ＝ ３０°．所以∠ＢＯＤ＝∠ＣＯＢ ＋∠ＣＯＤ＝４０°＋３０° ＝７０°．故选 Ｄ． 图 ４－４－１６ ４．（２０１５·广西梧州中考·１６ 题·３ 分）如图 ４－４－１６，已知直线 ＡＢ 与 ＣＤ交于点 Ｏ，ＯＮ平分∠ＤＯＢ．若∠ＢＯＣ＝ １１０°，则∠ＡＯＮ的度数为　 １４５　 °．【分析】因为直线 ＡＢ 与 ＣＤ 交于点 Ｏ， ∠ＢＯＣ＝１１０°，所以∠ＢＯＤ ＝ １８０° －∠ＢＯＣ ＝ ７０°． 因为 ＯＮ 为 ∠ＢＯＤ的平分线，所以∠ＢＯＮ＝ １２ ∠ＢＯＤ ＝ ３５°．所以∠ＡＯＮ ＝ ∠ＡＯＢ－∠ＢＯＮ＝１８０°－３５° ＝１４５°． ５．（２０１５·辽宁鞍山中考·１１ 题·３ 分）一个角的余角是 ５４°３８′，则这个角的补角是　 １４４°３８′　 ． 【分析】因为一个角的余角是 ５４°３８′，所以这个角为 ９０° － ５４°３８′，所以这个角的补角为 １８０° －（９０° －５４°３８′）＝ １８０° － ９０°＋５４°３８′＝１４４°３８                                                      ′． !3#$456789 ７９　　　 专题六　 数学思想方法展风采 类型一　 分类思想 １．若平面上有四个点，过其中两个点画直线，一共可以画几条直线？ 【解】如图 Ｔ－６－１′（１），当四点在同一条直线上时，可以画 １条直线；如图 Ｔ－６－１′（２），当三点在同一条直线上时，可以画 ４条直线；如图 Ｔ－６－１′（３），当任意三点均不在同一条直线上时，可以画 ６ 条直线．综上所述，平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画 １ 条或 ４ 条或 ６ 条直线． 图 Ｔ－６－１′ ２．已知∠ＡＯＢ ＝ ５４°，作射线 ＯＣ，使∠ＡＯＣ ＝ ２８°，求∠ＢＯＣ 的度数． 图 Ｔ－６－２′ 【解】如图 Ｔ－６－２′（１），当 ＯＣ 在∠ＡＯＢ 的内部时，∠ＢＯＣ ＝ ∠ＡＯＢ－∠ＡＯＣ＝５４°－２８° ＝２６°；如图 Ｔ － ６ － ２′（２），当 ＯＣ 在∠ＡＯＢ 的外部时，∠ＢＯＣ ＝ ∠ＡＯＢ＋∠ＡＯＣ＝５４°＋２８° ＝８２°．综上所述，∠ＢＯＣ的度数为 ２６°或 ８２°． ３．已知线段 ＡＢ＝ １６ ｃｍ，直线 ＡＢ 上有一点 Ｃ，且 ＢＣ ＝ １０ ｃｍ，Ｍ 是线段 ＡＣ的中点，求线段 ＡＭ的长． 【解】当点 Ｃ在线段 ＡＢ上时，由线段的和差，得 ＡＣ＝ＡＢ－ＢＣ＝１６－１０ ＝６（ｃｍ）． 由 Ｍ是线段 ＡＣ的中点，得 ＡＭ＝ １２ ＡＣ＝ １２ ×６ ＝３（ｃｍ）． 当点 Ｃ在线段 ＡＢ的延长线上时，由线段的和差，得 ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝１６＋１０ ＝２６（ｃｍ）． 由 Ｍ是线段 ＡＣ的中点，得 ＡＭ＝ １２ ＡＣ＝ １２ ×２６ ＝１３（ｃｍ）． 综上所述，线段 ＡＭ的长为 ３ ｃｍ或 １３ ｃｍ． ４．一条直线上有 Ａ，Ｂ，Ｃ 三点，已知 ＡＢ ＝ ５ ｃｍ，ＢＣ ＝ ３ ｃｍ，若点 Ｍ，Ｎ分别是 ＡＢ，ＢＣ的中点，求线段 ＭＮ的长． 【解】分两种情况考虑：如图 Ｔ－６－３′（１），因为 ＡＢ ＝ ５ ｃｍ， ＢＣ＝３ ｃｍ，Ｍ，Ｎ分别为 ＡＢ，ＢＣ的中点， 所以 ＢＭ＝ １２ ＡＢ＝２． ５（ｃｍ），ＢＮ＝ １２ ＢＣ＝１． ５（ｃｍ）． 所以 ＭＮ＝ＭＢ＋ＢＮ＝２． ５＋１． ５ ＝４（ｃｍ）． 图 Ｔ－６－３′如图 Ｔ－６－３′（２），因为 ＡＢ＝５ ｃｍ，ＢＣ＝３ ｃｍ，Ｍ，Ｎ分别为 ＡＢ，ＢＣ 的中点，所以 ＢＭ＝ １２ ＡＢ＝２．５（ｃｍ），ＢＮ＝ １２ ＢＣ＝１．５（ｃｍ）． 所以 ＭＮ＝ＭＢ－ＢＮ＝２． ５－１． ５ ＝１（ｃｍ）．综上所述，ＭＮ的长为 ４ ｃｍ或 １ ｃｍ． ５．自点 Ｏ 顺时针作四条射线 ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，已知∠ＡＯＢ ＝ ９０°，∠ＡＯＤ和∠ＢＯＣ的平分线分别是 ＯＭ和 ＯＮ，且∠ＭＯＮ ＝ １５０°，求∠ＣＯＤ的度数．【解】因为∠ＡＯＤ和∠ＢＯＣ的平分线分别是 ＯＭ和 ＯＮ，所以∠ＡＯＭ＝∠ＭＯＤ，∠ＢＯＮ＝∠ＮＯＣ．如图 Ｔ－６－４′（１），当∠ＭＯＮ不包含∠ＣＯＤ时，因为∠ＡＯＭ＋∠ＢＯＮ＋９０° ＝∠ＭＯＮ＝１５０°，所以∠ＡＯＭ＋∠ＢＯＮ＝６０° ＝∠ＭＯＤ＋∠ＮＯＣ，所以∠ＣＯＤ ＝ ３６０° －∠ＭＯＮ－∠ＭＯＤ－∠ＮＯＣ ＝ ３６０° －１５０° －（∠ＭＯＤ＋∠ＮＯＣ）＝ ３６０°－１５０°－６０° ＝１５０°． 图 Ｔ－６－４′ （２）如图 Ｔ－６－４′（２），当∠ＭＯＮ包含∠ＣＯＤ时，因为∠ＡＯＭ＋∠ＢＯＮ＝３６０°－∠ＭＯＮ－∠ＡＯＢ＝１２０°，所以∠ＡＯＭ＋∠ＢＯＮ＝１２０° ＝∠ＭＯＤ＋∠ＣＯＮ，所以∠ＣＯＤ ＝ ∠ＭＯＮ －∠ＭＯＤ －∠ＣＯＮ ＝ １５０° －（∠ＭＯＤ ＋ ∠ＮＯＣ）＝ １５０°－１２０° ＝３０°．综上所述，∠ＣＯＤ的度数为 １５０°或 ３０°． ６．数轴上有 Ａ，Ｂ两点，它们所对应的数分别为－１０，１４，数轴上有另外一点 Ｃ，且 ＡＣ ∶ ＢＣ＝１ ∶ ５，求点 Ｃ对应的数． 【解】分两种情况：如图 Ｔ－６－５′（１），点 Ｃ在线段 ＡＢ上，设 ＡＣ＝ ｘ，则 ＢＣ＝５ｘ，因为点 Ａ，Ｂ 对应的数分别为－１０，１４，所以 ｘ＋５ｘ ＝ １０＋１４，解得 ｘ＝４．所以点 Ｃ对应的数是－６．如图 Ｔ－６－５′（２），点 Ｃ在线段 ＢＡ的延长线上，设 ＡＣ＝ ｘ，则 ＢＣ＝５ｘ，因为点 Ａ，Ｂ对应的数分别为－１０，１４，所以 ５ｘ－ｘ＝１０＋１４，解得 ｘ＝６．所以点 Ｃ对应的数是－１６．综上所述，点 Ｃ对应的数是－６ 或－１６． 图 Ｔ－６－５′ 类型二　 方程思想 ７．已知一个角的补角是它的 ３ 倍，求这个角及其补角的大小． 【解】设这个角为 ｘ°，则其补角为（１８０－ｘ）°．依题意，得 １８０－ｘ＝３ｘ．解得 ｘ＝４５．所以 １８０－ｘ＝１３５．答：这个角为 ４５°，它的补角为 １３５°． ８．如图 Ｔ － ６ － １，已知∠ＢＯＣ ＝ ２∠ＡＯＣ，ＯＤ 平分∠ＡＯＢ，且 ∠ＣＯＤ＝２０°，求∠ＡＯＣ的度数． 图 Ｔ－６－１ 【解】设∠ＡＯＣ＝ ｘ，则∠ＢＯＣ＝２ｘ．所以∠ＡＯＢ＝３ｘ．又 ＯＤ平分∠ＡＯＢ，所以∠ＡＯＤ＝１． ５ｘ．因为∠ＣＯＤ＝∠ＡＯＤ－∠ＡＯＣ＝２０°，所以 １． ５ｘ－ｘ＝２０°．解得 ｘ＝４０°．即∠ＡＯＣ＝４０                                                   °．