高中数学圆的方程典型例题

第 1 页 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例 1111 求过两点 )4,1(A 、 )2,3(B 且圆心在直线 0=y 上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P 与圆的关 系． 例 2222 求半径为 4，与圆 042422 =−−−+ yxyx 相切，且和直线 0=y 相切的圆的方程． 例 3333 求经过点 )5,0(A ，且与直线 02 =− yx 和 02 =+ yx 都相切的圆的方程． 例 4444、 设圆满足：(1)截 y轴所得弦长为 2；(2)被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为 1:3 ，在满足条件 (1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 02 =− yxl： 的距离最小的圆的方程． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例 5555 已知圆 422 =+ yxO： ，求过点 ( )42，P 与圆O相切的切线． 例 6666 两圆 0111 22 1 =++++ FyExDyxC： 与 0222 22 2 =++++ FyExDyxC： 相交于 A、 B两 点，求它们的公共弦 AB 所在直线的方程． 例 7777、过圆 122 =+ yx 外一点 )3,2(M ，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是 A、 B，求 直线 AB 的方程。 练习： 1111．求过点 (3,1)M ，且与圆 2 2( 1) 4x y− + = 相切的直线 l 的方程． 2、过坐标原点且与圆 0 2 5 2422 =++−+ yxyx 相切的直线的方程为 3、已知直线 0125 =++ ayx 与圆 02 22 =+− yxx 相切，则 a 的值为 . 类型三：弦长、弧问题 例 8、求直线 063: =−− yxl 被圆 042: 22 =−−+ yxyxC 截得的弦 AB的长. 例 9、直线 0323 =−+ yx 截圆 422 =+ yx 得的劣弧所对的圆心角为 例 10、求两圆 0222 =−+−+ yxyx 和 522 =+ yx 的公共弦长 类型四：直线与圆的位置关系 例 11、已知直线 0323 =−+ yx 和圆 422 =+ yx ，判断此直线与已知圆的位置关系. 例 12、若直线 mxy += 与曲线 24 xy −= 有且只有一个公共点，求实数m的取值范围. 例 13131313 圆 9)3()3( 22 =−+− yx 上到直线 01143 =−+ yx 的距离为 1的点有几个？ 第 2 页 练习 1：直线 1=+ yx 与圆 )0(0222 >=−+ aayyx 没有公共点，则 a 的取值范围是 2：若直线 2+= kxy 与圆 1)3()2( 22 =−+− yx 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 . 3：圆 034222 =−+++ yxyx 上到直线 01=++ yx 的距离为 2的点共有（ ）． （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 4444：过点 ( )43 −− ，P 作直线 l，当斜率为何值时，直线 l与圆 ( ) ( ) 421 22 =++− yxC： 有公共点 类型五：圆与圆的位置关系类型五：圆与圆的位置关系类型五：圆与圆的位置关系类型五：圆与圆的位置关系 例 14、判断圆 02662: 221 =−−++ yxyxC 与圆 0424: 22 2 =++−+ yxyxC 的位置关系， 例 15：圆 0222 =−+ xyx 和圆 0422 =++ yyx 的公切线共有 条。 练习 1：若圆 042 222 =−+−+ mmxyx 与圆 08442 222 =−+−++ mmyxyx 相切，则实数m的取 值集合是 . 2：求与圆 522 =+ yx 外切于点 )2,1(−P ，且半径为 52 的圆的方程. 类型六：圆中的对称问题类型六：圆中的对称问题类型六：圆中的对称问题类型六：圆中的对称问题 例 16、圆 2 2 2 6 9 0x y x y+ − − + = 关于直线2 5 0x y+ + = 对称的圆的方程是 类型七：圆中的最值问题类型七：圆中的最值问题类型七：圆中的最值问题类型七：圆中的最值问题 例 17：圆 0104422 =−−−+ yxyx 上的点到直线 014 =−+ yx 的最大距离与最小距离的差是 例 11118888 (1)已知圆 1)4()3( 221 =−+− yxO： ， ),( yxP 为圆O上的动点，求 22 yxd += 的最大、最 小值． (2)已知圆 1)2( 222 =++ yxO： ， ),( yxP 为圆上任一点．求 1 2 − − x y 的最大、最小值，求 yx 2− 的 最大、最小值． 例 19：已知 )0,2(−A ， )0,2(B ，点 P在圆 4)4()3( 22 =−+− yx 上运动，则 22 PBPA + 的最小 值是 . 练习： 1：已知点 ),( yxP 在圆 1)1( 22 =−+ yx 上运动. （1）求 2 1 − − x y 的最大值与最小值；（2）求 yx +2 的最大值与最小值. 第 3 页 解：（1）设 k x y = − − 2 1 ，则 k 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示点 ),( yxP 与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时， k取得 最大值与最小值.由 1 1 2 2 = +k k ，解得 3 3 ±=k ，∴ 2 1 − − x y 的最大值为 3 3 ，最小值为 3 3 − . （2）设 myx =+2 ，则m表示直线 myx =+2 在 y轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m取得最 大值与最小值.由 1 5 1 = −m ，解得 51±=m ，∴ yx +2 的最大值为 51+ ，最小值为 51− . 2222 设点 ),( yxP 是圆 122 =+ yx 是任一点，求 1 2 + − = x y u 的取值范围． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 一：利用圆上任一点的参数坐标代替 x 、 y ，转化为三角问题来解决． 解法一：设圆 122 =+ yx 上任一点 )sin,(cos θθP 则有 θcos=x ， θsin=y )2,0[ πθ ∈ ∴ 1cos 2sin + − = θ θ u ，∴ 2sincos −=+ θθ uu ∴ )2(sincos +−=− uu θθ ． 即 2)sin(12 +=−+ uu ϕθ （ u=ϕtan ） ∴ 1 )2( )sin( 2 + + =− u u ϕθ ． 又∵ 1)sin( ≤−ϕθ ∴ 1 1 2 2 ≤ + + u u 解之得： 4 3 −≤u ． 分析二： 1 2 + − = x y u 的几何意义是过圆 122 =+ yx 上一动点和定点 )2,1(− 的连线的斜率，利用 此直线与圆 122 =+ yx 有公共点，可确定出u的取值范围． 解法二：由 1 2 + − = x y u 得： )1(2 +=− xuy ，此直线与圆 122 =+ yx 有公共点，故点 )0,0( 到 直线的距离 1≤d ． ∴ 1 1 2 2 ≤ + + u u 解得： 4 3 −≤u ． 另外，直线 )1(2 +=− xuy 与圆 122 =+ yx 的公共点还可以这样来处理： 第 4 页 由 ⎩ ⎨ ⎧ =+ +=− 1 )1(2 22 yx xuy 消去 y 后得： 0)34()42()1( 2222 =++++++ uuxuuxu ， 此方程有实根，故 0)34)(1(4)42( 2222 ≥+++−+=∆ uuuuu ， 解之得： 4 3 −≤u ． 说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量 u 的范围问题转化成三角函数的 有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便． 3、已知点 )2,4(),6,2(),2,2( −−−− CBA ，点 P在圆 422 =+ yx 上运动，求 222 PCPBPA ++ 的 最大值和最小值. 类型八：轨迹问题 例 21、基础训练：已知点M 与两个定点 )0,0(O ， )0,3(A 的距离的比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程. 例 22、已知线段 AB的端点 B的坐标是（4，3），端点 A在圆 4)1( 22 =++ yx 上运动，求线段 AB 的中点M 的轨迹方程. 例 23232323 如图所示，已知圆 422 =+ yxO： 与 y轴的正方向交于 A点，点 B在直线 2=y 上运动，过B 做圆 O 的切线，切点为 C ，求 ABC∆ 垂心H的轨迹． 分析：按常规求轨迹的方法，设 ),( yxH ，找 yx , 的关系非常难．由于H点随 B，C点运动 而运动，可考虑H， B，C三点坐标之间的关系． 解：设 ),( yxH ， ),( '' yxC ，连结 AH， CH ， 则 BCAH ⊥ ， ABCH ⊥ ， BC是切线 BCOC ⊥ ， 所以 AHOC // ， OACH // ， OCOA = ， 所以四边形 AOCH 是菱形． 所以 2== OACH ，得 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= . ,2 ' ' xx yy 第 5 页 又 ),( '' yxC 满足 4 2'2' =+ yx ， 所以 )0(4)2( 22 ≠=−+ xyx 即是所求轨迹方程． 说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时 应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知， 可考虑代入法． 例 24242424 已知圆的方程为 222 ryx =+ ，圆内有定点 ),( baP ，圆周上有两个动点 A、 B，使 PBPA ⊥ ， 求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程． 分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解． 解法一：如图，在矩形 APBQ 中，连结 AB ， PQ 交于 M ，显然 ABOM ⊥ ， PQAB = ， 在直角三角形 AOM 中，若设 ),( yxQ ，则 ) 2 , 2 ( byax M ++ ． 由 222 OAAMOM =+ ，即 22222 ])()[( 4 1 ) 2 () 2 ( rbyax byax =−+−+ + + + ， 也即 )(2 22222 baryx +−=+ ，这便是Q的轨迹方程． 解法二：设 ),( yxQ 、 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB ，则 22 1 2 1 ryx =+ ， 22 2 2 2 ryx =+ ． 又 22 ABPQ = ，即 )(22)()()()( 2121 22 21 2 21 22 yyxxryyxxbyax +−=−+−=−+− ．① 又 AB 与 PQ 的中点重合，故 21 xxax +=+ ， 21 yyby +=+ ，即 )(22)()( 2121 222 yyxxrbyax ++=+++ ② ①＋②，有 )(2 22222 baryx +−=+ ． 这就是所求的轨迹方程． 解法三：设 )sin,cos( αα rrA 、 )sin,cos( ββ rrB 、 ),( yxQ ， 第 6 页 由于 APBQ 为矩形，故 AB 与 PQ 的中点重合，即有 βα coscos rrax +=+ ， ① βα sinsin rrby +=+ ， ② 又由 PBPA ⊥ 有 1 cos sin cos sin −= − − ⋅ − − ar br ar br β β α α ③ 联立①、②、③消去 α 、 β ，即可得 Q 点的轨迹方程为 )(2 22222 baryx +−=+ ． 说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则， 将使解题陷入困境之中． 本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法 二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了 1x 、 2x 、 1y 、 2y 四个参 数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆 222 ryx =+ 的参数方程，只涉及到两个参数α 、 β ，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结 合的思想方法求解． 练习： 1、由动点 P向圆 122 =+ yx 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B， APB∠ =600，则动点 P 的轨迹方程是 . 解：设 ),( yxP .∵ APB∠ =600，∴ OPA∠ =300.∵ APOA ⊥ ，∴ 22 == OAOP ，∴ 222 =+ yx ， 化简得 422 =+ yx ，∴动点P的轨迹方程是 422 =+ yx . 练习巩固：设 )0)(0,(),0,( >− ccBcA 为两定点，动点 P到 A点的距离与到 B点的距离的比为定值 )0( >aa ，求P点的轨迹. 解：设动点 P 的坐标为 ),( yxP .由 )0( >= aa PB PA ，得 a ycx ycx = +− ++ 22 22 )( )( ， 化简得 0)1()1(2)1()1( 2222222 =−+++−+− acxacyaxa . 当 1≠a 时，化简得 0 1 )1(2 2 2 2 22 =+ − + ++ cx a ac yx ，整理得 2 2 22 2 2 ) 1 2 () 1 1 ( − =+ − + − a ac yc a a x ； 当 1=a 时，化简得 0=x . 第 7 页 所以当 1≠a 时， P点的轨迹是以 )0, 1 1 ( 2 2 c a a − + 为圆心， 1 2 2 −a ac 为半径的圆； 当 1=a 时， P点的轨迹是 y轴. 2、已知两定点 )0,2(−A ， )0,1(B ，如果动点P满足 PBPA 2= ，则点 P的轨迹所包围的面积等于 解：设点 P 的坐标是 ),( yx .由 PBPA 2= ，得 2222 )1(2)2( yxyx +−=++ ，化简得 4)2( 22 =+− yx ，∴点 P的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为 π4 . 4、已知定点 )0,3(B ，点 A在圆 122 =+ yx 上运动，M 是线段 AB上的一点，且 MBAM 3 1 = ， 问点 M 的轨迹是什么？ 解：设 ),(),,( 11 yxAyxM .∵ MBAM 3 1 = ，∴ ),3( 3 1 ),( 11 yxyyxx −−=−− ， ∴ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −=− −=− yyy xxx 3 1 )3( 3 1 1 1 ，∴ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = −= yy xx 3 4 1 3 4 1 1 .∵点 A在圆 122 =+ yx 上运动，∴ 121 2 1 =+ yx ，∴ 1) 3 4 ()1 3 4 ( 22 =+− yx ，即 16 9 ) 4 3 ( 22 =+− yx ，∴点M 的轨迹方程是 16 9 ) 4 3 ( 22 =+− yx . 例 5、已知定点 )0,3(B ，点 A在圆 122 =+ yx 上运动， AOB∠ 的平分线交 AB于点M ，则点M 的 轨迹方程是 . 解：设 ),(),,( 11 yxAyxM .∵OM 是 AOB∠ 的平分线，∴ 3 1 == OB OA MB AM ， ∴ MBAM 3 1 = .由变式 1可得点M 的轨迹方程是 16 9 ) 4 3 ( 22 =+− yx . 练习巩固：已知直线 1+= kxy 与圆 422 =+ yx 相交于 A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四 边形 OAPB ，求点 P 的轨迹方程. 解：设 ),( yxP ， AB的中点为M .∵OAPB是平行四边形，∴M 是OP的中点，∴点M 的坐标为 ) 2 , 2 ( yx ， 且 ABOM ⊥ . ∵ 直 线 1+= kxy 经 过 定 点 )1,0(C ， ∴ CMOM ⊥ ， ∴ 第 8 页 0)1 2 ( 2 ) 2 ()1 2 , 2 () 2 , 2 ( 2 =−+=−⋅=⋅ yyxyxyx CMOM ，化简得 1)1( 22 =−+ yx .∴点 P的轨迹方程是 1)1( 22 =−+ yx . 类型九：圆的综合应用 例 25252525、 已知圆 0622 =+−++ myxyx 与直线 032 =−+ yx 相交于 P、Q两点，O为原点，且 OQOP ⊥ ，求实数m的值． 分析：设 P、Q两点的坐标为 ),( 11 yx 、 ),( 22 yx ，则由 1−=⋅ OQOP kk ，可得 02121 =+ yyxx ， 再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为 x y ，由直线 l 与圆的方 程构造以 x y 为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出 OQOP kk ⋅ 的值，从而使问题得以解决． 解法一：设点 P 、 Q 的坐标为 ),( 11 yx 、 ),( 22 yx ．一方面，由 OQOP ⊥ ，得 1−=⋅ OQOP kk ，即 1 2 2 1 1 −=⋅ x y x y ，也即： 02121 =+ yyxx ． ① 另一方面， ),( 11 yx 、 ),( 22 yx 是方程组 ⎩ ⎨ ⎧ =+−++ =−+ 06 032 22 myxyx yx 的实数解，即 1x 、 2x 是方 程 0274105 2 =−++ mxx ② 的两个根． ∴ 221 −=+ xx ， 5 274 21 − = m xx ． ③ 又 P 、 Q 在直线 032 =−+ yx 上， ∴ ])(39[ 4 1 )3( 2 1 )3( 2 1 21212121 xxxxxxyy ++−=−⋅−= ． 将③代入，得 5 12 21 + = m yy ． ④ 将③、④代入①，解得 3=m ，代入方程②，检验 0>∆ 成立， ∴ 3=m ． 解法二：由直线方程可得 yx 23 += ，代入圆的方程 0622 =+−++ myxyx ，有 0)2( 9 )6)(2( 3 1 222 =++−+++ yx m yxyxyx ， 整理，得 0)274()3(4)12( 22 =−+−++ ymxymxm ． 由于 0≠x ，故可得 012)3(4))(274( 2 =++−+− m x y m x y m ． 第 9 页 ∴ OP k ， OQ k 是上述方程两根．故 1−=⋅ OQOP kk ．得 1 274 12 −= − + m m ，解得 3=m ． 经检验可知 3=m 为所求． 说明：求解本题时，应避免去求 P 、 Q 两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的 m 值 进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点 P 、 Q 存在． 解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于 x y 的二次 齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅， 一气呵成之感． 例 26262626、已知对于圆 1)1( 22 =−+ yx 上任一点 ),( yxP ，不等式 0≥++ myx 恒成立，求实数m的 取值范围． 分析一：为了使不等式 0≥++ myx 恒成立，即使 myx −≥+ 恒成立，只须使 myx −≥+ min)( 就行了．因此只要求出 yx + 的最小值，m的范围就可求得． 解法一：令 yxu += ， 由 ⎩ ⎨ ⎧ =−+ =+ 1)1( 22 yx uyx 得： 0)1(22 22 =++− uyuy ∵ 0≥∆ 且 22 8)1(4 uu −+=∆ ， ∴ 0)12(4 2 ≥++− uu ． 即 0)122 ≤−− uu ，∴ 2121 +≤≤− u ， ∴ 21min −=u ，即 21)( min −=+ yx 又 0≥++ myx 恒成立即 myx −≥+ 恒成立． ∴ myx −≥−=+ 21)( min 成立， ∴ 12 −≥m ． 分析二：设圆上一点 )sin1,(cos θθ +P [因为这时P点坐标满足方程 1)1( 22 =−+ yx ]问题转化 为利用三解问题来解． 解法二：设圆 1)1( 22 =−+ yx 上任一点 )sin1,(cos θθ +P )2,0[ πθ ∈ ∴ θcos=x ， θsin1+=y 第 10 页 ∵ 0≥++ myx 恒成立 ∴ 0sin1cos ≥+++ mθθ 即 )sincos1( θθ ++−≥m 恒成立． ∴只须 m 不小于 )sincos1( θθ ++− 的最大值． 设 1) 4 sin(21)cos(sin −+−=−+−= π θθθu ∴ 12max −=u 即 12 −≥m ． 说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆 222 )()( rbyax =−+− 上的 点设为 )sin,cos( θθ rbra ++ ( )2,0[ πθ ∈ )．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面 可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换． 例 22227777 有一种大型商品， A 、 B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回 的费用是：每单位距离 A 地的运费是 B 地的运费的 3倍．已知 A 、 B 两地距离为 10公里，顾客选 择 A 地或 B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求 A 、 B 两地的售货区域的 分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点． 分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意 识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用．解题时要 明确题意，掌握建立数学模型的方法． 解：以 A 、 B 所确定的直线为 x 轴， AB 的中点 O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标 系． ∵ 10=AB ，∴ )0,5(−A ， )0,5(B ． 设某地 P 的坐标为 ),( yx ，且 P地居民选择 A地购买商品便宜，并设 A地的运费为 a3 元/公里， B 地的运费为 a 元/公里．因为 P 地居民购货总费用满足条件： 价格＋ A 地运费≤价格＋ B 地的运费 即： 2222 )5()5(3 yxayxa +−≤++ ． ∵ 0>a ， ∴ 2222 )5()5(3 yxyx +−≤++ 化简整理得： 222 ) 4 15 () 4 25 ( ≤++ yx 第 11 页 ∴以点 )0, 4 25 (− 为圆心 4 15 为半径的圆是两地购货的分界线． 圆内的居民从 A 地购货便宜，圆外的居民从 B 地购货便宜，圆上的居民从 A 、 B 两地购货的总 费用相等．因此可随意从 A 、 B 两地之一购货． 说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．