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第二节 古典概型与几何概型
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是① 互斥 的.
(2)任何事件(除不可能事件外)都可以
表
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示成② 基本事件 的和.
3.几何概型
(1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)
成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
(2)几何概型中,事件A的概率计算公式为
P(A)=⑥ .
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其
基本事件是“发芽与不发芽”. (×)
(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这
三个结果是等可能的. (×)
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关. (×)
(4)从区间[1,10]内任取一个数,取到1的概率是P= . (×)
1.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是 ( )
A. B. C. D.
答案 C 甲、乙、丙三名同学站成一排共有如下6种情况:甲乙丙,甲
丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,而甲站在中间的共有乙甲丙,丙甲
乙两种情况,因此,甲站在中间的概率为 = .
2.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,
则b>a的概率是 ( )
A. B.
C. D.
答案 D 令选取的a,b组成实数对(a,b),则共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,
2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)15种情况,其中b>
a有(1,2),(1,3),(2,3)3种情况,所以b>a的概率为 = .故选D.
3.(2016课标全国Ⅱ,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替
出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需
要等待15秒才出现绿灯的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 B 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待
15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P= = ,
故选B.
4.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两
位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数
字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ( )
A. B. C. D.
答案 C 小敏输入密码前两位的所有可能情况如下:
(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),
(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),
(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.
而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率
为 .
5.如图所示,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭
圆外的黄豆颗数为96,以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为
.
答案 16.32
解析 由随机模拟的思想
方法
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,可得黄豆落在椭圆内的概率为 =
0.68.
由几何概型的概率计算公式,
可得 =0.68,
而S矩形=6×4=24,则S椭圆=0.68×24=16.32.
考点一 古典概型
典例1 (2016山东,16,12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项
趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待
转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.
奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
解析 用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω
与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.
因为S中元素的个数是4×4=16,
所以基本事件总数n=16.
(1)记“xy≤3”为事件A,
则事件A包含的基本事件数共5个,
即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).
所以P(A)= ,即小亮获得玩具的概率为 .
(2)记“xy≥8”为事件B,“3
,
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
规律
总结
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解决关于古典概型的概率问题的关键是正确求出基本事件总数和所求
事件中包含的基本事件数.
(1)基本事件总数较少时,可用列举法把所有基本事件一一列出,但要做
到不重复、不遗漏.
(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时,通常考虑用
对立事件的概率公式P(A)=1-P( )求解.
1-1 (2016课标全国Ⅰ,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的
花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红
色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红
黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色
的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,
所以所求事件的概率P= = ,故选C.
1-2 在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球,球上分别标有数
字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小
球放回箱子中摇匀后,乙从该箱子中摸出一个小球.
(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为
平局),求甲获胜的概率;
(2)若规定两人摸出的球上所标数字之和小于6,则甲获胜,否则乙获胜,
这样规定公平吗?
解析 用(x,y)(x表示甲摸出的球上标的数字,y表示乙摸出的球上标的数
字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,
3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),
(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个.
(1)设甲获胜为事件A,则事件A包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),
(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10个.
则P(A)= = .
(2)设甲获胜为事件B,乙获胜为事件C,事件B所包含的基本事件有:(1,1),
(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个.
则P(B)= = ,
所以P(C)=1-P(B)= ,
因为P(B)≠P(C),
所以这样规定不公平.
考点二 几何概型
命题角度一 与长度、角度有关的几何概型
典例2 (1)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间
到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不
超过10分钟的概率是 ( )
A. B. C. D.
(2)在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线
CM,与AB交于点M,则AM
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