课前预练1．平方根：定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．记法：一个正数a的平方根用±_eq\r(a)表示(读做“正、负根号a”)，其中a叫做被开方数．2．平方根的性质：(1)一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是__0__；负数没有平方根；(2)平方根等于它本身的数只有__0__．3．开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方．4．算术平方根：定义：正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0．记法：一个数a(a≥0)的算术平方根记做“eq\r(a)”．课内讲练1．平方根和算术平方根的概念及其表示方法【典例1】 求下列各数的平方根与算术平方根：(1)64;(2)0.49；(3)0;(4)(－5)2.【点拨】 (1)求一个数的平方根时，注意它的平方根通常用“±eq\r(a)”的形式来描述，切不可丢掉“±”号；而求一个数的算术平方根时，通常用“eq\r(a)”的形式来描述，前面没有“±”号．(2)本题的易错之处就是在求平方根与算术平方根时分不清何时有“±”号，何时没有“±”号．【解析】 (1)∵(±8)2＝64，∴64的平方根是±8，即±eq\r(64)＝±8；64的算术平方根是8，即eq\r(64)＝8.(2)∵(±0.7)2＝0.49，∴0.49的平方根是±0.7，即±eq\r(0.49)＝±0.7；0.49的算术平方根是0.7，即eq\r(0.49)＝0.7.(3)∵02＝0，∴0的平方根是0，即±eq\r(0)＝0；0的算术平方根是0，即eq\r(0)＝0.(4)∵(±5)2＝(－5)2，∴(－5)2的平方根是±5，即±eq\r(（－5）2)＝±5；(－5)2的算术平方根是5，即eq\r(（－5）2)＝5.【跟踪练习1】 求下列各数的平方根与算术平方根：(1)eq\f(16,25)；(2)|－3|2.【解析】 (1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(4,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(16,25)，∴eq\f(16,25)的平方根是±eq\f(4,5)，即±eq\r(\f(16,25))＝±eq\f(4,5)；eq\f(16,25)的算术平方根是eq\f(4,5)，即eq\r(\f(16,25))＝eq\f(4,5).(2)∵(±3)2＝|－3|2，∴|－3|2的平方根是±3，即±eq\r(|－3|2)＝±3；|－3|2的算术平方根是3，即eq\r(|－3|2)＝3.【典例2】 计算：(1)－eq\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(9,25))))；(2)(－eq\r(25))2；(3)eq\r(（－7）2)；(4)eq\r(32＋（－4）2－52).【点拨】 (1)本题主要考查对“平方与开平方之间互为逆运算关系”的理解．(2)在计算时要注意正负号．【解析】 (1)－eq\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(9,25))))＝－eq\r(\f(9,25))＝－eq\f(3,5).(2)(－eq\r(25))2＝(－5)2＝25.(3)eq\r(（－7）2)＝eq\r(49)＝7.(4)eq\r(32＋（－4）2－52)＝eq\r(9＋16－25)＝0.【答案】 (1)－eq\f(3,5) (2)25 (3)7 (4)0【跟踪练习2】 计算：(1)±eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,9)))\s\up12(2))；(2)eq\r(52－42).【解析】 (1)±eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,9)))\s\up12(2))＝±eq\f(4,9).(2)eq\r(52－42)＝eq\r(25－16)＝eq\r(9)＝3.【答案】 (1)±eq\f(4,9) (2)32．平方根和算术平方根的性质【典例3】 如果一个正数a的平方根是x＋2和x－4，求这个正数a.【点拨】 一个正数有两个平方根，它们互为相反数．【解析】 由平方根的性质，得(x＋2)＋(x－4)＝0，解得x＝1.∴x＋2＝3，x－4＝－3.∴a＝(x＋2)2＝9或a＝(x－4)2＝9.【答案】 9【跟踪练习3】 (1)已知实数x，y满足|x－5|＋eq\r(y＋4)＝0，求代数式(x＋y)2014的值；(2)如果一个正数m的平方根是2x－3和3x－7，求正数m.【解析】 (1)∵|x－5|＋eq\r(y＋4)＝0，|x－5|≥0，eq\r(y＋4)≥0，∴x－5＝0，y＋4＝0，∴x＝5，y＝－4.∴(x＋y)2014＝12014＝1.(2)由平方根的性质，得(2x－3)＋(3x－7)＝0，解得x＝2.∴2x－3＝1，3x－7＝－1.∴m＝(2x－3)2＝1或m＝(3x－7)2＝1.【答案】 (1)1 (2)11．要正确理解±eq\r(a)和eq\r(a)的数学意义，这样才能避免求平方根和算术平方根时乱用“±”号．2．在求一个数的平方根和算术平方根之前，一定要先明确这个数的值，这样才能避免出错．例如，求eq\r(16)的平方根就是求4的平方根，而不是求16的平方根．3．算术平方根是非负数，即eq\r(a)≥0(a≥0)．
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