有关对角矩阵的证明与应用_本科生毕业论文设计

有关对角矩阵的证明与应用_本科生毕业论文设计本科生毕业论文设计有关对角矩阵的证明与应用作者姓名：指导教师：所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：目录有关对角矩阵的证明与应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业摘要：矩阵的对角化是反映矩阵性质的一个重要概念,不论是对数学专业学生学习高等代数还是非数学专业学生学习线性代数而言学习和理解它的含义都是十分必要的。通过本篇论文主要研究矩阵的对角化的有关问题,总结了矩阵对角化的运算,性质,求法,以及在解决...

本科生毕业论文设计有关对角矩阵的证明与应用作者姓名：指导教师：所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：目录有关对角矩阵的证明与应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业摘要：矩阵的对角化是反映矩阵性质的一个重要概念,不论是对数学专业学生学习高等代数还是非数学专业学生学习线性代数而言学习和理解它的含义都是十分必要的。通过本篇论文主要研究矩阵的对角化的有关问题,总结了矩阵对角化的运算,性质,求法,以及在解决高等代数，常微分方程、空间解析几何的问题中所渗透的一些与矩阵对角化相关的知识,使得对矩阵的对角化有了更加深刻的理解与认识,从而能够更加灵活运用相关知识解决相关问题. 关键词:矩阵的对角化特征值特征向量 1 有关对角矩阵的证明 1.1 有关对角矩阵的分解第一种情况：对任意一个n级矩阵A的顺序主子式都不等于零，我们可以利用初等变换将其化为一个上三角矩阵，即A等于一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。而每一个上（下）三角矩阵又等于一个单位上（下）三角矩阵和一个对角阵的乘积。利用以上结论可以证明一些例题。例1：设n级矩阵A的顺序主子式都不等于零，则A可以唯一的分解成A=LDU的形式，其中L为单位下三角矩阵（对角线元素都是1的下三角矩阵），D为对角矩阵，U为单位上三角矩阵。证明：令A= ，由于n级矩阵A的顺序主子式都不等于零故a11≠0，用-ai1a11(i=2,3, …)乘以第一行依次加到以下各行，又由于A的顺序主子式都不等于零，则a22′≠0，依次往下消零，相当于A进行一系列初等变换得到一个上三角矩阵。A=PQ,P为一系列初等下三角矩阵之积仍为下三角矩阵，Q为最后A经变化所得的阶梯形上三角矩阵。令P= ，Q= . 下面用数学归纳法证明上面A可以分解成A=PQ的形式是正确的。⑴当n=1时，A=PQ显然正确。⑵假设当A为n-1阶矩阵时结论成立，则当A为n阶矩阵时有A= 。其中A1=P1Q1 ，P1 为下三角矩阵，Q1为上三角矩阵。A= = . EMBED Equation.DSMT4 = 。令 EMBED Equation.DSMT4 = ， =Q，则为下三角矩阵从而p也为下三角矩阵，Q为上三角矩阵。那么A=PQ。P= = ，Q= = .令L= ，D= EMBED Equation.DSMT4 ，U= 。则A=LDU其中L为单位下三角矩阵（对角线元素都是1的下三交矩阵），D为对角矩阵，U为单位上三角矩阵。下证A=LDU分解的唯一性。假设又有A= 也满足分解条件，则LDU= ， LDU = , L= ,由于等式左边是单位下三角矩阵等式右边是单位上三角矩阵，故 L=E,即L= 。同理，U= 。从而D= 。唯一性得证。第二种情况：利用分块矩阵和若A可对角化则存在可逆阵T使A= T，我们可以证明一些有关矩阵分解的问题。例2：设A是n×n方阵，A有k个不同的特征值 … .证明：若A可对角化，则必存在n×n幂等阵 ,…, ,使得（1） =0（i≠j）；（2）（是n×n单位阵）；（3）A= 。证：（1）由于A可对角化，因此存在可逆阵T，使A= T，其中，…, 均为，…, 阶单位阵，且 + +…+ =n。令 = T，（i=1,2，…,k）,则 = ，（i=1,2，…,k），此即为幂等阵。且 =0（i≠j）。（2） = T= EMBED Equation.DSMT4 T= 。（3） = T=A。 1.2 证明一个矩阵可对角化矩阵相似对角化的定义：所谓矩阵相似对角化是指矩阵和某对角形矩阵相似。定理1：n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A可对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理2：设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使 = ，其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。定理3：若A的每一个特征值的几何重数和她的代数重数相等，则A可对角化。第一种情况：用定理1来做下面证明题。例3：设n阶方阵A满足 =A,且r（A）=r 表明A共有n个线性无关特征向量，从而A可对角化。故A相似于对角矩阵。第二种情况：用定理2来做下面证明题。例4：设n阶方阵A的n个特征值互异，又设n阶方阵B满足AB=BA，证明B可对角化。证：设A的n个互异特征值为，则存在n阶可逆矩阵P，使得 AP= =∧。由题设AB=BA，有 AB= BAP，即（ AP）（ BP）=（ BP）( AP),也即∧（ BP）=（ BP）∧。设D= BP= ，则由∧D=D∧得 EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 ，即（ - ） =0.于是由 ≠ （i≠j）知 =0（i≠j）即D= ，故B可对角化。例5：证明：n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是对每个数w，由可以导出，其中E是单位方阵，x是n维列向量。证：是的解空间，是的解空间，条件“ 可以导出 ”的含义是 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 但总有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 。因此本体可改为n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是对每个数w，总有 = 。先证必要性。设。其中，…, 为A的全部特征值。当w≠ （i=1,2，…,n）时， EMBED Equation.DSMT4 T= 。从而 EMBED Equation.DSMT4 T= 。所以秩 =秩，于是 =n-秩 =n-秩 = 。而 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，从而 = 。当（还可能有多重特征值。证法类似）时，有 EMBED Equation.DSMT4 T= 。从而 EMBED Equation.DSMT4 T= 仍有秩 =秩。所以 = 即 = 。再证充分性。设 = 。用反证法，若A不相似于对角矩阵，一定存在若当性矩阵J使其中，＞1.那么令w=a，则 EMBED Equation.DSMT4 T= EMBED Equation.DSMT4 T= 从而＜从而与 = 矛盾。所以假设不成立。进而A相似于对角矩阵。证毕。第三种情况：用A可对角化的充分必要条件（3）A的每一个特征值的几何重数和她的代数重数相等来做一些证明题。例6：设A是n阶方阵，满足 =I，证明A可对角化。证：设A的特征值为a，对应的特征向量是X。则可得X= X=X，因而有=1，所以A的特征值为 =1， =-1.设 =1的代数重数为， =-1的代数重数为，则有 + =n。现在来求它们的几何重数。设 =1的几何重数为就是方程组（I-A）X=0的基础解析所含向量的个数，因而 =n-r（I-A）。设 =-1的几何重数为就是方程组（I+A）X=0的基础解析所含向量的个数，因而 =n-r（I+A）。由于r〔（I-A）+（I+A）〕≤r（I-A）+ r（I+A），得到n≤r（I-A）+ r（I+A）。另一方面，有（I-A）（I+A）=0，得到r（I-A）+ r（I+A）≤n。故有r（I-A）+ r（I+A）=n。进一步得到 + =n。又由于几何重数不大于代数重数，所以它们相等。由此知A可对角化。例7：设A是一个n阶复矩阵，f( )是A的特征多项式，求证：A可对角化的充分必要条件是如果a是f( )的k重根，则aE-A的秩等于n-k。证：设f( )= 。其中，，…, 互不相同，且 + +…+ =n. (1)先证必要性。设A相似与对角阵，即存在可逆阵T=（），使 AT= 则（ E-A）= .所以秩（ E-A）= +…+ =n- 。类似可证秩（ E-A）=n- （i=1,2，…,s）。（2）再证充分性。由于秩（ E-A）=n- （i=1,2，…,s）。因此（ E-A） =0的基础解析所含向量为个（i=1,2，…,s），那么在（ E-A） =0中，有个线性无关的特征向量为；在（ E-A） =0中，有个线性无关的特征向量为；…; 在（ E-A） =0中，有个线性无关的特征向量为。而且不同特征值的特征向量有线性无关，令T=（）则T为可逆阵而且AT=（）此即 AT= 故A可对角化。 2.矩阵对角化在数学中的应用 2.1 用矩阵对角化的方法证明高代里的一些问题第一种情况：利用对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使 AT = AT成对角形。再结合正定矩阵和一个对角线上元素全都大于零的对角矩阵合同可以证明一些有关正定矩阵的问题。例1：已知A,B均为n阶实对称正定阵，且有AB=BA，试证：AB也是正定矩阵。证：AB∈ ， = EMBED Equation.DSMT4 =BA=AB∴AB是n阶实对称阵。可以证明：存在同一个实可逆阵，使 AT= ， BT= ①。事实上，存在正交阵P，使 AP= ，其中是单位阵，互不相同。有AB=BA得（ AP）（ BP）= ABP= BAP=（ BP）（ AP）于是 BP= BP= ,其中与是同阶方阵（i=1，2，…,n）由 =B，可得 = （i=1，2，…,n），从而存在正交阵，使 = （i=1,2，…,s）都是对角阵，再令Q= 那么Q是正交阵，且令T=PQ，则 BT= （ BP）Q= 为对角阵。 AT= EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 = 也为对角阵，从而得证①式成立。由于A,B正定，所以 >0, >0(i=1,2,…,n)进而 =（ AT）（ BT）= ∵ EMBED Equation.DSMT4 >0(i=1,2,…,n),∴AB是正定阵。例2：设A,B都是n阶正定矩阵，证明：如果A-B正定，则也是正定矩阵。证：有A为正定矩阵，则有可逆阵T，使 AT=E，显然 BT为对称阵，则存在正交阵Q使，其中，，…, 为 BT的特征值。令P=TQ，则 AP= =E, BP= .由B正定T可逆知 BT为正定矩阵，所以，，…, 全大于零。由（A-B）P= 且A-B正定知，，…, 全小于一。由 = =P ， = =P ，所以 - =P ，故（ - ） = 。由于0< <1, ,所以 -1>0,故 - 合同于一个对角线元素都大于零的对角矩阵，即也是正定矩阵。例3：1、设A为n级实对称矩阵，则存在实数a，使得aE-A为正定矩阵，这里E为单位矩阵。 2、设A,B均为n级正定矩阵，为A的n个特征值，为B的n个特征值。证明：若对于任意的i，j，均有 > ,则A-B为正定矩阵。证：1、因为A为实对称矩阵，所以aE-A也为实对称矩阵，a为任意值。令A的特征值为，只需实数a使a>max{ },即有aE-A的特征值为。全部大于零，故存在实数a，使得aE-A为正定矩阵。 2、令 =min{ }， =max{ }，则由于对于任意的i，j，均有 > ,那么 > .由于实数的稠密性知存在c，d,使 >c>d> .由于A,B均为n级正定矩阵，再由于1、的证明过称知 = ， = 。还有存在正交阵P,Q使 = , = ，从而 = ， = 。由于 -c>0( )，d- >0（），故，全为正定矩阵。由此对于任意的X≠0有 = EMBED Equation.DSMT4 X+ EMBED Equation.DSMT4 X>0,且 = 故为正定矩阵。由于 =A-B，故A-B存在n个特征值，不妨设为，故存在正交阵M使M(A-B) = 故M((c-d)E+（A-B）) = 。由为正定矩阵知d-c+ >0, .即 >c-d>0, 。故A-B与一个对角线元素都大于零的对角矩阵合同，所以A-B为正定矩阵。第二种情况：利用对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使 AT成对角形。证明一些矩阵的秩相等的问题。例4：设A，B为数域P上的两个不同的n阶对称矩阵，且r(B-A)=r，这里r(A)代表矩阵A的秩。证明：存在r-1个n阶对称矩阵，使得r( -A)=r( )=r(B- )=1,i=1,2,…,r-2. 证明：由于A,B为对称矩阵，故 =A, =B. = - =B-A,从而B-A为对称矩阵。由r(B-A)=r，故存在正交阵P使 (B-A)P= ，故B-A=P ，其中，…，为B-A的r个非零特征值。不妨令 -A=P ，…, - =P , B- =P ,故r( -A)=r( )=r(B- )=1,i=1,2,…,r-2.且 =A+P ，…， = + P , B= + P 。由A为对称矩阵，P 为对称矩阵，从而为对称矩阵，进而全为对称矩阵且r( -A)=r( )=r(B- )=1,i=1,2,…,r-2. 2.2 简化矩阵乘方的计算如果A可对角化，即存在可逆阵P使 AP= ，两边做k次方，因而 EMBED Equation.DSMT4 P= ，得到计算矩阵乘方的公式： =P 。例5：设A= ，求。解：由于A的特征多项式为∣aE-A∣= =(a-1)( -25),故A的特征值为。设V是复数域上的一个三维空间，T是在基下方阵是A的一个线性变换，则T的属于特征值1,5，-5的特征向量分别有 = ， =2 + +2 ， = -2 + 。由基到基的过渡矩阵为Q= 由此可得 AQ= ， EMBED Equation.DSMT4 Q= = 。故 =Q EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 经计算得当k为偶数时， = ；当k为奇数时， = 。例6：设A= ，求（n为正整数）。解：计算可得| E-A |=（ -3）（ +1），所以A的特征值为 =3， =-1.当 =3时，得特征向量为。当 =-1时，得特征向量为。令P= ，则 AP= 。由得 EMBED Equation.DSMT4 P= 可得 =P EMBED Equation.DSMT4 = 。 2.3 矩阵对角化在空间解析几何中的应用由于空间解析几何中的有些二次曲面的方程与二次型的标准型有关，而二次型的标准型可由二次型经正交变换得到，故矩阵对角化在空间解析几何中有着广泛的应用。例7：求一正交变换，将二次型f( , , )= 化为标准型，并指出f( , , )=1表示何种二次曲面。解：二次型的矩阵为A= 。可求得|aE-A|= （a+7）于是A的特征值为 = =2， =-7.可求得对应 = =2的特征向量为，将其正交化再单位化得又对应 =-7的特征向量为，故 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 = 。从而正交变换化二次型为f= 。可知f( , , )=1表示旋转单叶双曲面。例8：已知二次曲面，可已经正交变换化为椭圆柱方程 +4 =4.求a，b的值和正交矩阵P。解：f(x,y,z)= ,且f对应的矩阵为A，则A= 。再设f( , , )= +4 ,对应的矩阵为B，则B= 。因为A与B相似，所以A与B有相同的特征值 =0， =1， =4.将 =0， =1， =4分别代入| E-A|=0.可解的a=3,b=1,所以A= .当 =0时，得特征向量，当 =1时，得特征向量，当 =1时，得特征向量。将它们单位化得。则所求正交矩阵P为P= = 。 2.4 矩阵对角化在常微分中的应用由于微分方程组中每一方程都包含若干个变量，直接求解不方便；如果利用矩阵可对角化的理论，问题的求解就容易得多。例9：解微分方程组解：令，A= ， = 则微分方程组可表示为 =A ，可求得A的特征值为 = =7， =-2对应2重特征值7有2个线性无关的特征向量，又A对应 =-2的特征向量为故A可对角化。令则 =∧。令x=Py，其中y= ，则易验证 =p 。带入 =A ，得p =APy，即 =（ AP）y=vy写成分量形式为 =7 ， =7 ， =-2 解得 = ， = ， = （为任意实数）故由x=Py，得（为任意实数）。此外，根据矩阵 =exp（At）是 =Ax的基解矩阵，且 =E，利用对角矩阵可以较容易的解决一些求基解矩阵的问题。例10：试求 = x的基解矩阵。解：因为A= = + ，而且后面的两个矩阵是可交换的，我们得到exp（At）=exp t ×exp t= EMBED Equation.DSMT4 但是 = ，所以级数只有两项。因此，基解矩阵就是 Exp（At）= 。例11.如果A= ，试求exp（At）。解：这里n=5， =-4是A的5重特征值，直接计算可得 =0 。因此，利用公式exp（At）= EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 可得exp（At）= ，这样一来exp（At）= EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 3.对角矩阵在实际生活中的应用对角矩阵在实际生活中有着广泛的应用，这里只是略微谈一下。例1：某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的统计，然后将16熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和，记成向量。（1）求与的关系式并写成矩阵形式 =A ；（2）验证，是A的两个线性无关的特征向量，并写出相应的特征值；（3）当时，求。解：（1）由题设可列出与的关系式 =56 +25(16 + ); =35(16 + )化简得 = EMBED Equation.DSMT4 ，于是A= 。（2）令P= = ，则由|P|=5≠0知线性无关。因为A = = ，故为A的特征向量，且相应的特征值为 =1.又因为A = = ，故为A的特征向量，且相应的特征值为 = 。（3） =A = EMBED Equation.DSMT4 =…= EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 由 = ，有A=P EMBED Equation.DSMT4 。于是 = P EMBED Equation.DSMT4 ，又 =15 ，故 = EMBED Equation.DSMT4 15 =15 因此 = EMBED Equation.DSMT4 = 。参考文献 [1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数【M】.北京：高等教育出版社，2003. [2]张禾瑞.高等代数第五版【M】.北京：高等教育出版社，2007. [3]钱吉林.高等代数题解精粹【M】.北京：中央民族大学出版社，2006. [4]徐仲，陆全.高等代数考研教案【M】.西安：西北工业大学出版社，2009. Identification and application of the diagonal matrix Abstract:Diagonalization of the matrix is a reflection of an important concept matrix properties, whether for mathematics majors of Higher Algebra and not learn mathematics majors in linear algebra to learn and understand the meaning of it is necessary. This paper mainly studies the diagonalization of matrix problems, summarizes the diagonalization of matrix operations, properties, method, as well as in linear algebra and matrix diagonalization, some knowledge related to the permeability of ordinary differential equations, spatial analytic geometry problems, makes the diagonalization of matrix with understanding and a more profound understanding, which can be more flexible use of knowledge to solve related problems. Keywords: diagonalization of the matrix eigenvalue eigenvector 毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作者签名：　　　　　日　期：　　　　　指导教师签名：　　　　　日　　期：　　　　　使用授权说明本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名：　　　　　日　期：　　　　　学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权　　　　大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日指导教师评阅书指导教师评价：一、撰写（设计）过程 1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 4、研究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性 □ 优 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1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格评定成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格（在所选等级前的□内画“√”）教研室主任（或答辩小组组长）：（签名）年月日教学系意见：系主任：（签名）年月日学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行的研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经特别注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明并表示感谢。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者（本人签名）：年月日学位论文出版授权书本人及导师完全同意《中国博士学位论文全文数据库出版章程》、《中国优秀硕士学位论文全文数据库出版章程》(以下简称“章程”)，愿意将本人的学位论文提交“中国学术期刊（光盘版）电子杂志社”在《中国博士学位论文全文数据库》、《中国优秀硕士学位论文全文数据库》中全文发表和以电子、网络形式公开出版，并同意编入CNKI《中国知识资源总库》，在《中国博硕士学位论文评价数据库》中使用和在互联网上传播，同意按“章程”规定享受相关权益。论文密级： □公开 □保密（___年__月至__年__月）(保密的学位论文在解密后应遵守此协议 ) 作者签名：_______ 导师签名：_______ _______年_____月_____日 _______年_____月_____日独创声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。作者签名: 二〇一〇年九月二十日毕业设计（论文）使用授权声明本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定。本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允许他人依法合理使用。（保密论文在解密后遵守此规定）作者签名: 二〇一〇年九月二十日致谢时间飞逝，大学的学习生活很快就要过去，在这四年的学习生活中，收获了很多，而这些成绩的取得是和一直关心帮助我的人分不开的。首先非常感谢学校开设这个课题，为本人日后从事计算机方面的工作提供了经验，奠定了基础。本次毕业设计大概持续了半年，现在终于到结尾了。本次毕业设计是对我大学四年学习下来最好的检验。经过这次毕业设计，我的能力有了很大的提高，比如操作能力、分析问题的能力、合作精神、严谨的工作作风等方方面面都有很大的进步。这期间凝聚了很多人的心血，在此我表示由衷的感谢。没有他们的帮助，我将无法顺利完成这次设计。首先，我要特别感谢我的知道郭谦功老师对我的悉心指导，在我的论文书写及设计过程中给了我大量的帮助和指导，为我理清了设计思路和操作方法，并对我所做的课题提出了有效的改进方案。郭谦功老师渊博的知识、严谨的作风和诲人不倦的态度给我留下了深刻的印象。从他身上，我学到了许多能受益终生的东西。再次对周巍老师表示衷心的感谢。其次，我要感谢大学四年中所有的任课老师和辅导员在学习期间对我的严格要求，感谢他们对我学习上和生活上的帮助，使我了解了许多专业知识和为人的道理，能够在今后的生活道路上有继续奋斗的力量。另外，我还要感谢大学四年和我一起走过的同学朋友对我的关心与支持，与他们一起学习、生活，让我在大学期间生活的很充实，给我留下了很多难忘的回忆。最后，我要感谢我的父母对我的关系和理解，如果没有他们在我的学习生涯中的无私奉献和默默支持，我将无法顺利完成今天的学业。四年的大学生活就快走入尾声，我们的校园生活就要划上句号，心中是无尽的难舍与眷恋。从这里走出，对我的人生来说，将是踏上一个新的征程，要把所学的知识应用到实际工作中去。回首四年，取得了些许成绩，生活中有快乐也有艰辛。感谢老师四年来对我孜孜不倦的教诲，对我成长的关心和爱护。学友情深，情同兄妹。四年的风风雨雨，我们一同走过，充满着关爱，给我留下了值得珍藏的最美好的记忆。在我的十几年求学历程里，离不开父母的鼓励和支持，是他们辛勤的劳作，无私的付出，为我创造良好的学习条件，我才能顺利完成完成学业，感激他们一直以来对我的抚养与培育。最后，我要特别感谢我的导师赵达睿老师、和研究生助教熊伟丽老师。是他们在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，给了我很多解决问题的思路，在此表示衷心的感激。老师们认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我收益匪浅。他无论在理论上还是在实践中，都给与我很大的帮助，使我得到不少的提高这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助，感谢他耐心的辅导。在论文的撰写过程中老师们给予我很大的帮助，帮助解决了不少的难点，使得论文能够及时完成，这里一并表示真诚的感谢。 1 _1428336462.unknown _1428336848.unknown _1428337301.unknown _1428337452.unknown _1428337609.unknown _1428337693.unknown _1428337745.unknown _1428337779.unknown _1428337795.unknown _1428337811.unknown _1428337761.unknown _1428337723.unknown _1428337657.unknown _1428337677.unknown _1428337629.unknown _1428337524.unknown _1428337558.unknown _1428337583.unknown _1428337542.unknown _1428337491.unknown _1428337508.unknown _1428337473.unknown _1428337368.unknown _1428337412.unknown _1428337431.unknown _1428337395.unknown _1428337335.unknown _1428337351.unknown _1428337317.unknown _1428337090.unknown _1428337207.unknown _1428337258.unknown _1428337273.unknown _1428337222.unknown _1428337156.unknown _1428337174.unknown _1428337123.unknown _1428336966.unknown _1428337031.unknown _1428337061.unknown _1428336984.unknown _1428336921.unknown _1428336942.unknown _1428336897.unknown _1428336651.unknown _1428336733.unknown _1428336786.unknown _1428336812.unknown _1428336756.unknown 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