(一)选择题的解法
选择题是高考试题的三大题型之一，浙江卷8个小题.该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低中档题目，且一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力.解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧，总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做.
方法一 直接法
直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”作出相应的选择，从而确定正确选项的方法.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
【例1】 (2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y＝sin x B.y＝ln x
C.y＝ex D.y＝x3
解析 对函数y＝sin x求导，得y′＝cos x，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝ln x求导，得y′＝(x＞0)恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.
答案 A
探究提高 直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.
【训练1】 (2015·湖南卷)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析 由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆直径，故＋＝2＝(－4，0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，＝(x－2，y)，所以＋＋＝(x－6，y).故|＋＋|＝，∴x＝－1时有最大值＝7，故选B.
答案 B
方法二 特例法
从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等.适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题.
【例2】 (1)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )
A.3∶1 B.2∶1
C.4∶1 D.∶1
(2)已知定义在实数集R上的函数y＝f(x)恒不为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且当x＞0时，f(x)＞1，那么当x＜0时，一定有( )
A.f(x)＜－1 B.－1＜f(x)＜0
C.f(x)＞1 D.0＜f(x)＜1
解析 (1)将P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝.
(2)取特殊函数.
设f(x)＝2x，显然满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)(即2x＋y＝2x·2y)，且满足x＞0时，f(x)＞1，根据指数函数的性质，当x＜0时，0＜2x＜1，即0＜f(x)＜1.
答案 (1)B (2)D
探究提高 特例法解选择题时，要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.
【训练2】 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )
A.130 B.170
C.210 D.260
解析 取m＝1，依题意a1＝30，a1＋a2＝100，则a2＝70，又{an}是等差数列，进而a3＝110，故S3＝210.
答案 C
方法三 排除法
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目
要求
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的选项，找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排除法)就是通过观察
分析
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或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.
【例3】 (1)(2016·浙江卷)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.( )
A.若f(a)≤|b|，则a≤b B.若f(a)≤2b，则a≤b
C.若f(a)≥|b|，则a≥b D.若f(a)≥2b，则a≥b
(2)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B.[0，1]
C. D.[1，＋∞)
解析 (1)∵|x|＝根据题意可取f(x)＝即f(x)＝下面利用特值法验证选项.当a＝1，b＝－3时可排除选项A，
当a＝－5，b＝2时可排除选项C，D.故选B.
(2)当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a＝时，f(a)＝f＝3×－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝满足题意，排除D选项，故答案为C.
答案 (1)B (2)C
探究提高 (1)对于干扰项易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个.
(2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项.
(3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定——答案唯一，等效命题应该同时排除.
(4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的.
(5)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断.
【训练3】 (1)方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )
A.0＜a≤1 B.a＜1
C.a≤1 D.0＜a≤1或a＜0
(2)已知f(x)＝x2＋sin，则f′(x)的图象是( )
解析 (1)当a＝0时，x＝－，故排除A、D.当a＝1时，
x＝－1，排除B.
(2)f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，故f′(x)＝′＝x－sin x，记g(x)＝f′(x)，其定义域为R，且g(－x)＝(－x)－sin(－x)＝－＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以排除B，D两项，g′(x)＝－cos x，显然当x∈时，
g′(x)＜0，g(x)在上单调递减，故排除C.选A.
答案 (1)C (2)A
方法四 数形结合法
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略.
【例4】 函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞).在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x＞0)，y2＝ln x(x＞0)的图象，如图所示：
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
答案 C
探究提高 图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直接计算求解更能简捷地得到结果.运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而会导致错误的选择.
【训练4】 设a>0，b>0.则( )
A.若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b
B.若2a＋2a＝2b＋3b，则a
b
D.若2a－2a＝2b－3b，则a2a＋2a＝2b＋3b，所以知a>b.则选项A正确，B错误.对于选项C、D，设函数g(x)＝2x－2x，h(x)＝2x－3x，求导后可知g(x)与h(x)在(0，＋∞)上均不是单调函数，所以根据已给等式无法判断a、b的大小.
答案 A
方法五 估算法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.
【例5】 已知sin θ＝，cos θ＝，则tan 等于( )
A. B.
C.－ D.5
解析 由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，m一定为确定的值进而推知tan 也是一确定的值，又＜θ＜π，所以＜＜，故tan ＞1.所以D正确.
答案 D
探究提高 估算法的应用技巧：
估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项.
【训练5】 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )
A.1 B.
C. D.
解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为，面积范围应为[1，]，不可能等于.
答案 C
1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法.但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法.
2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃.
3.作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时
总结
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，这样才能有效地提高解选择题的能力.
(二)填空题的解法
填空题是高考试题的第二题型.从历年的高考成绩以及平时的模拟考试可以看出，填空题得分率一直不是很高.因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫.
填空题的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系.由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等.
方法一 直接法
对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法.它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.
【例1】 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________.
解析 设P点在双曲线右支上，由题意得
故|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，则|PF2|＜|F1F2|，
得∠PF1F2＝30°，
由＝，
得sin ∠PF2F1＝1，∴∠PF2F1＝90°，
在Rt△PF2F1中，2c＝＝2a，
∴e＝＝.
答案
探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.
【训练1】 (1)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
(2)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
解析 (1)∵tan＝，∴tan θ＝－，
即又θ为第二象限角，
解得sin θ＝，cos θ＝－.
∴sin θ＋cos θ＝－.
(2)由题意设P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下
ξ
0
1
2
P
p
－p
由E(ξ)＝1，可得p＝，所以D(ξ)＝12×＋02×＋12×＝.
答案 (1)－ (2)
方法二 特殊值法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.
【例2】 (1)若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________.
(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.
解析 (1)因为函数f(x)是奇函数，且1，－1是其定域内的值，所以f(－1)＝－f(1)，而f(1)＝＋a，f(－1)＝＋a＝a－.
故a－＝－，解得a＝.
(2)把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC＝6，则·＝18.
答案 (1) (2)18
探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.
【训练2】 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线AB、AC分别交于不同的两点P、Q，若＝λ，＝μ，则＋＝________.
解析 由题意可知，＋的值与点P、Q的位置无关，而当直线PQ与直线BC重合时，则有λ＝μ＝1，所以＋＝2.
答案 2
方法三 图象分析法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.
【例3】 (1)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝
|x2－2x＋|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________.
(2)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________.
解析 (1)函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y＝f(x)，x∈[－3，4]与y＝a的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数y＝f(x)在[－3，4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得0＜a＜.
(2)a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，
∵f(a)＝f(b)＝f(c)，
如图所示，由图象可知，0＜a＜1，
1＜b＜10，10＜c＜12.
∵f(a)＝f(b)，∴|lg a|＝|lg b|.
即lg a＝lg ，a＝.
则ab＝1.所以abc＝c∈(10，12).
答案 (1) (2)(10，12)
探究提高 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.
【训练3】 设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数y＝g(x)＝f(x)－x的零点个数为________.
解析 由f(－4)＝f(0)，得16－4b＋c＝c.
由f(－2)＝－2，得4－2b＋c＝－2.
联立两方程解得b＝4，c＝2.
于是，f(x)＝
在同一直角坐标系中，作出函数y＝f(x)与函数y＝x的图象，知它们有3个交点，即函数g(x)有3个零点.
答案 3
方法四 构造法
构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.
【例4】 如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________.
解析 如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝＝2R，
所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
答案 π
探究提高 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.
【训练4】 已知a＝ln －，b＝ln －，c＝ln －，则a，b，c的大小关系为________.
解析 令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1＝(x＞0).
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，
即函数f(x)在(0，1)上是增函数.
∵1＞＞＞＞0，∴a＞b＞c.
答案 a＞b＞c
方法五 综合分析法
对于开放性的填空题，应根据题设条件的特征综合运用所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论.
【例5】 已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：①f(2 013)＋f(－2 014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1，1).其中正确的命题序号有________.
解析 根据题意，可在同一坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如下：
根据图象可知①f(2 013)＋f(－2 014)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1，1)，正确.
答案 ①③④
探究提高 对于规律总结类与综合型的填空题，应从题设条件出发，通过逐步计算、分析总结探究其规律，对于多选型的问题更要注重分析推导的过程，以防多选或漏选.做好此类题目要深刻理解题意，捕捉题目中的隐含信息，通过联想、归纳、概括、抽象等多种手段获得结论.
【训练5】 设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.
解析 对a进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决.
(1)当a＝1时，不等式可化为：x>0时均有x2－x－1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a≠1.
(2)当a<1时，∵x>0，∴(a－1)x－1<0，不等式可化为：
x>0时均有x2－ax－1≤0，∵二次函数y＝x2－ax－1的图象开口向上，∴不等式x2－ax－1≤0在x∈(0，＋∞)上不能均成立，∴a<1不成立.
(3)当a>1时，令f(x)＝(a－1)x－1，g(x)＝x2－ax－1，两函数的图象均过定点(0，－1)，∵a>1，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且与x轴交点为，即当x∈时，f(x)<0，当x∈时，f(x)>0.
又∵二次函数g(x)＝x2－ax－1的对称轴为x＝>0，则只需g(x)＝x2－ax－1与x轴的右交点与点重合，如图所示，则命题成立，即在g(x)图象上，所以有－－1＝0，整理得2a2－3a＝0，解得a＝，a＝0(舍去).
综上可知a＝.
答案
1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果.
2.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：
(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；
(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；
(3)要重视对所求结果的检验.
1.阅卷速度以秒计，规范答题少丢分
高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分，无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写.
2.不求巧妙用通法，通性通法要强化
高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点.
3.干净整洁保得分，简明扼要是关键
若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏.若写错需改正，只需划去，不要乱涂乱划，否则易丢分.
4.狠抓基础保成绩，分步解决克难题
(1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争取前3个解答题及选考不丢分.(2)压轴题争取多得分.第(Ⅰ)问一般难度不大，要保证得分，第(Ⅱ)问若不会，也要根据条件或第(Ⅰ)问的结论推出一些结论，可能就是得分点.
模板1 三角变换与三角函数图象性质问题
[真题] (2015·天津卷)(满分13分)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
满分解答
得分
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
解题模板
解 (Ⅰ)由已知，有f(x)＝－(2分)
＝－cos 2x(4分)
＝sin 2x－cos 2x＝sin.(6分)
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(7分)
①无化简过程，直接得到f(x)＝sin，扣5分；
②化简结果错误，中间某一步正确，给2分.
第一步 化简：利用辅助角公式化f(x)为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式.
第二步 整体代换：设t＝ωx＋φ，确定t的范围.
第三步 求解：利用y＝sin t的性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调性、最值、对称性等.
第四步 反思：查看换元之后字母范围变化，利用数形结合估算结果的合理性，检查步骤的规范性.
(Ⅱ)因为f(x)在区间上是减函数，
在区间上是增函数， (10分)
f＝－，f＝－，f＝，
(12分)
所以f(x)在区间上的最大值为I，最小值为－. (13分)
③单调性正确，计算错误，扣2分；
④若单调性出错，给1分；
⑤求出2x－范围，利用数形结合求最值，同样得分.
【训练1】 (2017·河北五校质检)已知函数f(x)＝cos x sin
)－cos2 x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值与最小值.
解 (1)f(x)＝cos xsin－cos2x＋
＝cos x－cos2x＋
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos2x)＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，
f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
模板2 三角变换与解三角形考题
[真题] (2015·全国Ⅱ卷)(满分12分)在△ABC中，点D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD是△ADC面积的2倍.
(Ⅰ)求.
(Ⅱ)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长.
满分解答
得分说明
解题模板
解 (Ⅰ)因为S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.(2分)
又因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.(3分)
由正弦定理可得＝＝.(5分)
①用了面积表达式，即两个表达式写对得2分；
②得出AB＝2AC得1分；
③给出结果得2分；
第一步 找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.
第二步 定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化.
第三步 求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果.
第四步 再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.
(Ⅱ)因为＝＝，DC＝，所以BD＝.(6分)
在△ABD和△ADC中，由余弦定理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.(8分)
因为cos∠ADB＝－cos∠ADC，
所以AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.(10分)
由(Ⅰ)知AB＝2AC，所以AC＝1.(12分)
④得出BD＝得1分；
⑤正确写出余弦定理得2分；
⑥得出关于AB、AC的关系式得2分；
⑦得出AC＝1得2分.
【训练2】 (2017·山西四校联考一)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a＋b＝c，2sin2C＝3sin Asin B.
(1)求角C；
(2)若S△ABC＝，求边c.
解 (1)∵2sin2C＝3sin Asin B，∴sin2C＝sin Asin B，
由正弦定理得c2＝ab，
∵a＋b＝c，∴a2＋b2＋2ab＝3c2，
由余弦定理得
cos C＝＝＝＝.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵S△ABC＝，∴S△ABC＝absin C，
∵C＝，∴ab＝4，又c2＝ab，∴c＝
.模板3 数列的通项、求和考题
[真题] (2015·天津卷)(满分13分)已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列.
(Ⅰ)求q的值和{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和.
满分解答
得分说明
解题模板
解 (Ⅰ)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，
即a4－a2＝a5－a3，所以a2(q－1)＝a3(q－1)，
又因为q≠1，故a3＝a2＝2，由a3＝a1q，得q＝2.(3分)
当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝2；
当n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝2.
所以，{an}的通项公式为an＝(6分)
①根据数列相邻两项间的关系确定q＝2得3分；
②根据递推公式求数列的通项得3分.
第一步 找关系：根据已知条件确定数列的项之间的关系.
第二步 求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法或前n项和Sn与an的关系求数列的通项公式.
第三步 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等).
第四步 写步骤.
第五步 再反思：检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得bn＝＝.(7分)
设{bn}的前n项和为Sn，
则Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，
(8分)
Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×.
(9分)
上述两式相减得：Sn＝1＋＋＋…＋－
＝－＝2－－，(10分)
整理得，Sn＝4－，n∈N*.(12分)
所以，数列{bn}的前n项和为4－，n∈N*.(13分)
③求新数列{bn}的通项bn得1分；
④根据数列表达式的结构特征确定求和方法得6分.
【训练3】 (2016·石家庄一模)已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an·2an}的前n项和.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得
解得
所以数列an的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)由(1)可知an·2an＝(2n－1)·22n－1，
所以Sn＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n－3)×22n－3＋(2n－1)×22n－1，①
4Sn＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n－3)×22n－1＋(2n－1)×22n＋1，②
①－②得：
－3Sn＝2＋2×(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)×22n＋1.
∴Sn＝
＝
＝
＝＋.
模板4 离散型随机变量及其分布考题
[真题] (2015·湖南卷)(满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
(Ⅰ)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(Ⅱ)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.
满分解答
得分说明
解题模板
解 (Ⅰ)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，
A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}.(2分)
由题意，A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2.
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以
P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，(4分)
P(B2)＝P(A1A2＋A1A2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)
＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)
＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)
＝×＋×＝.(5分)
故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.(6分)
①正确设出各事件得2分；
②正确求出P(B1)、P(B2)各得1分；
③求出P(C)得1分.
第一步 定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值.
第二步 定性：明确每个随机变量取值所对应的事件.
第三步 定型：确定事件的概率模型和计算公式.
第四步 计算：计算随机变量取每一个值的概率.
第五步 列表：列出分布列.
第六步 求解：根据均值、方差公式求解其值.
(Ⅱ)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B.(8分)
于是P(X＝0)＝C＝，
P(X＝1)＝C＝，P(X＝2)＝C＝，
P(X＝3)＝C＝.(10分)
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望为E(X)＝3×＝.(12分)
④写出X～B得2分；
⑤写出X的分布列得2分；
⑥求出E(X)得2分.
【训练4】 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望、方差；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
解 (1)在3月1日到3月13日这13天中，5日，8日这两天空气重度污染.
∴此人到达当日空气重度污染的概率P＝.
(2)依题意X＝0，1，2
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝
D(X)＝×＋×＋×＝.
(3)由图知，从3月5日开始连续三天空气质量指数方差最大.
模板5 利用向量求空间角考题
[真题] (2015·全国Ⅰ卷)(满分12分)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，点E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(Ⅰ)证明：平面AEC⊥平面AFC； (Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
满分解答
得分说明
解题模板
(Ⅰ)证明 连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.(2分)
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC可知
AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
在Rt △EBG中，可得BE＝，故DF＝.
在Rt △FDG中，可得FG＝.(4分)
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.
又因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(6分)
①用菱形的性质得出AG＝GC＝得2分；
②利用线面垂直的性质和平面几何知识，得出DF＝，FG＝得2分；
③利用勾股定理和面面垂直的判定定理得出结论得2分.
第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线.
第二步 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标.
第三步 求向量：求直线的方向向量或平面的法向量.
第四步 求夹角：计算向量的夹角.
第五步 得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.
(Ⅱ)解 如图，以点G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系G－xyz，由(Ⅰ)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，C(0，，0)，(8分)
所以＝(1，，)，＝.
(10分)
故cos〈，〉＝＝－.
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.(12分)
④正确建立空间坐标系得出各点坐标得2分；
⑤表示出向量，得2分；
⑥求出向量夹角的余弦值及写对结果得2分.
【训练5】 (2016·长沙二模)如图几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝，且EC⊥BD.
(1)求证：平面BED⊥平面AEC；
(2)M是棱AE的中点，求证：DM∥平面EBC；
(3)求二面角D－BM－C的平面角的余弦值.
(1)证明 由于△ABD为正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CE＝1，
故连接AC交BD于O点，则AC⊥BD，
又∵EC⊥BD，EC∩AC＝C，且EC，AC⊂平面AEC，
故BD⊥平面ACE，又BD⊂平面BED，
所以平面BED⊥平面AEC.
(2)证明 取AB中点N，连接MN，ND，则MN∥EB，且MN⊄平面EBC内，EB⊂平面EBC，
所以MN∥平面EBC；而DN⊥AB，BC⊥AB，
所以DN∥BC，且DN⊄平面EBC内，BC⊂平面EBC，
故DN∥平面EBC，又DN∩MN＝N，
且DN，MN⊂平面DMN.
故平面DMN∥平面EBC，
又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面EBC.
(3)解 由(1)知AC⊥BD，且CO＝，AO＝，
又AE2＋EC2＝AC2，∴∠AEC＝90°，
连接EO，则＝，故EO⊥AC，
由(1)知BD⊥平面ACE，
又EO⊂平面ACE，故EO⊥BD，
故建立如图所示空间直角坐标系，则B，
D，C，M，
＝，＝(0，，0)，
设平面DBM的法向量m＝(x1，y1，1)，
则由得m＝，
＝，＝，
同理，平面CBM的法向量n＝，
cos〈m，n〉＝＝.
故二面角D－BM－C的平面角的余弦值为.
模板6 解析几何中的探索性考题
[真题] (2015·全国Ⅱ卷)(满分12分)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(Ⅱ)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.
满分解答
得分说明
解题模板
(Ⅰ)证明 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，(2分)
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.(4分)
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的积是定值.(6分)
①将直线方程与椭圆方程联立，化为一元二次方程形式得2分；
②利用根与系数的关系求出中点坐标得2分；
③求出斜率乘积为定值，得出结论得2分；
第一步 先假定：假设结论成立.
第二步 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解.
第三步 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设.
第四步 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.
(Ⅱ)解 四边形OAPB能为平行四边形.(7分)
因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3.由(1)得OM的方程为y＝－x.设点P的横坐标为xP，由
得x＝，即xP＝.(9分)
将点的坐标代入直线l的方程得b＝，因此xM＝.(10分)
四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.因为ki＞0，ki≠3，i＝1，2，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形.(12分)
④先说明结果，四边形OAPB能为平行四边形得1分；
⑤求出xP＝得2分；
⑥求出xM＝得1分；
⑦结合平面几何知识求出斜率得2分.
【训练6】 如图，O为坐标原点，双曲线C1：－＝1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求C1，C2的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|＋|＝||？证明你的结论.
解 (1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，从而a1＝1，c2＝1.因为点P在双曲线x2－＝1上，所以－＝1.故b＝3.
由椭圆的定义知
2a2＝＋
＝2.
于是a2＝，b＝a－c＝2，故C1，C2的方程分别为
x2－＝1，＋＝1.
(2)不存在符合题设条件的直线.
①若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝或x＝－.
当x＝时，易知A(，)，B(，－)，所以
|＋|＝2，||＝2.
此时，|＋|≠||.
当x＝－时，同理可知，|＋|≠||.
②若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m.
由得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.
当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1＋x2＝，x1x2＝.
于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.
由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式
Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.
化简，得2k2＝m2－3，因此
·＝x1x2＋y1y2＝＋
＝≠0，
于是2＋2＋2·≠2＋2－2·，
即|＋|2≠|－|2，故|＋|≠||.
综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线.
模板7 导数与函数考题
[真题] (2015·全国Ⅱ卷)(满分12分)设函数f(x)＝emx＋x2－mx.
(Ⅰ)证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
(Ⅱ)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围.
满分解答
得分说明
解题模板
(Ⅰ)证明 f′(x)＝m(emx－1)＋2x.(1分)
若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)＞0.(3分)
若m＜0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1＞0，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1＜0，f′(x)＞0.(5分)所以，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.(6分)
①求导正确得1分；
②分两种情况讨论正确各得2分；
③得出结论得1分.
第一步 求导数：一般先确定函数的定义域，再求f′(x)
第二步 定区间：根据f′(x)的符号确定函数的单调区间.
第三步 寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题.
第四步 写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立.
第五步 再反思：查看是否注意定义域，区间的写法、最值点的探求是否合理等.
(Ⅱ)解 由(Ⅰ)知，对于任意的m，f(x)在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值.所以对于任意x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要条件是即
①(8分)
设函数g(t)＝et－t－e＋1，则g′(t)＝et－1.
当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0时，g′(t)＞0.
故g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故当t∈[－1，1]时，g(t)≤0.(10分)
当m∈[－1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；当m＞1时，由g(t)的单调性知，g(m)＞0，即em－m＞e－1；当m＜－1时，
g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.
综上，m的取值范围是[－1，1].(12分)
④找出充要条件得2分；
⑤构造函数，求出“t∈[－1，1]时，g(t)≤0”得2分；
⑥通过分类讨论，得出结果得2分.
【训练7】 (2016·成都二诊)设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数；
(3)若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围.
解 (1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，则f′(x)＝，∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，
当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0).
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减.
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，
且是极大值点，
因此x＝1也是φ(x)的最大值点.
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知
①当m＞时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点.
综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点.
(3)对任意的b＞a＞0，＜1恒成立，
等价于f(b)－b＜f(a)－a恒成立.(*)
设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x＞0)，
∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减.
由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－＋(x＞0)恒成立，
∴m≥(对m＝，h′(x)＝0仅在x＝时成立)，
∴m的取值范围是.
1.集合与常用逻辑用语
1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.
[回扣问题1] 集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是( )
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
答案 A
2.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.
[回扣问题2] 若集合A＝{x∈R|y＝lg(2－x)}，B＝{y∈R|y＝2x－1，x∈A}，则∁R(A∩B)＝( )
A.R B.(－∞，0]∪[2，＋∞)
C.[2，＋∞) D.(－∞，0]
答案 B
3.遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况.
[回扣问题3] 集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则实数a＝________.
答案 0或1或
4.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.
[回扣问题4] 集合A＝{1，2，3}的非空子集个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 C
5.“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论.
[回扣问题5] 已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题是________，命题的否定是_____________________________________________________.
答案 已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b
已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b
6.在否定条件或结论时，应把“且”改成“或”、“或”改成“且”.
[回扣问题6] 命题“若x＋y≤0，则x≤0或y≤0”的否命题为________.
答案 若x＋y＞0，则x＞0且y＞0
7.要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
[回扣问题7] “10a＞10b”是“lg a＞lg b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
2.函数与导数
1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.
[回扣问题1] 函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域是( )
A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(0，1) D.(0，1)∪(1，＋∞)
答案 B
2.求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等.用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题.
[回扣问题2] 已知f()＝x＋2，则f(x)＝________.
答案 x2＋2x(x≥0)
3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.
[回扣问题3] 已知函数f(x)＝
则f＝________.
答案
4.函数的奇偶性
若f(x)的定义域关于原点对称，
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|);
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；
定义域含0的奇函数满足f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，若其定义域关于原点对称，再找f(x)与f(－x)的关系.
[回扣问题4] (1)若f(x)＝2x＋2－xlg a是奇函数，则实数a＝________.
(2)已知f(x)为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lg x)＞f(1)，则x的取值范围是________.
答案 (1) (2)
5.函数的周期性
由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a＞0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：
①函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；
②若f(x＋a)＝(a≠0)成立，则T＝2a；
③若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，则T＝2a.
[回扣问题5] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(1)＝2，则f(2 015)等于( )
A.2 B.－2
C.2 015 D.－2 015
答案 B
6.函数的单调性
①定义法：设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数；
②导数法：注意f ′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；∴f ′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件.
③复合函数由同增异减的判定法则来判定.
④求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.
[回扣问题6] (1)函数f(x)＝的单调减区间为________.
(2)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 (1)(－∞，0)，(0，＋∞) (2)D
7.求函数最值(值域)常用的方法：
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；
(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；
(4)导数法：适合于可导函数；
(5)换元法(特别注意新元的范围)；
(6)分离常数法：适合于一次分式；
(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.
[回扣问题7] 函数y＝的值域为________.
答案 (0，1)
8.函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”.
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|).
(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.
[回扣问题8] (1)函数y＝的图象关于点________对称.
(2)函数f(x)＝|lg x|的单调递减区间为________.
答案 (1)(－2，3) (2)(0，1)
9.二次函数问题
(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.
尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.
[回扣问题9] 关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根的充要条件是________.
答案
10.指数与对数的运算性质：
(1)指数运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r，s∈Q).
(2)对数运算性质：已知a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN，
loga＝logaM－logaN，
logaMn＝nlogaM，
对数换底公式：logaN＝.
推论：logamNn＝logaN；logab＝.
[回扣问题10] 设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B.10
C.20 D.100
答案 A
11.指数函数与对数函数的图象与性质：
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1，0).
[回扣问题11] (1)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞b＞a D.c＞a＞b
(2)函数y＝loga|x|的增区间为________.
答案 (1)D (2)当a＞1时，(0，＋∞)；当0＜a＜1时，(－∞，0)
12.函数与方程
(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根.
(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根；反之不成立.
[回扣问题12] 设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
答案 B
13.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).
注意 过某点的切线不一定只有一条.
[回扣问题13] 已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(2，－6)作曲线y＝f(x)的切线，则此切线的方程是____________.
答案 3x＋y＝0或24x－y－54＝0
14.常用的求导方法
(1)(xm)′＝mxm－1，(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，(ex)′＝ex，(ln x)′＝，′＝
－.
(2)(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0).
[回扣问题14] 已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________；已知f(x)＝，则f′(x)＝________.
答案 ln x＋1
15.利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数.
注意 如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此.
[回扣问题15] 函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A.[3，＋∞) B.[－3，＋∞)
C.(－3，＋∞) D.(－∞，－3)
答案 B
16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点.
[回扣问题16] 函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )
A.2 B.1
C.0 D.由a确定
答案 C
3.三角函数、解三角形、平面向量
1.α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝＞0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关.
[回扣问题1] 已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________.
答案 －
2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan α＝.
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限
－α
π－α
π＋α
2π－α
－α
sin
－sin α
sin α
－sin α
－sin α
cos α
cos
cos α
－cos α
－cos α
cos α
sin α
[回扣问题2] 已知sin＝，则sin α的值为( )
A. B.－
C.± D.
答案 C
3.三角函数的图象与性质
(1)五点法作图；
(2)对称轴：y＝sin x，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cos x，x＝kπ，k∈Z；
对称中心：y＝sin x，(kπ，0)，k∈Z；y＝cos x，，k∈Z；y＝tan x，，k∈Z.
(3)单调区间：
y＝sin x的增区间：(k∈Z)，
减区间：(k∈Z)；
y＝cos x的增区间：(k∈Z)，
减区间：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；
y＝tan x的增区间：(k∈Z).
(4)周期性与奇偶性：
y＝sin x的最小正周期为2π，为奇函数；y＝cos x的最小正周期为2π，为偶函数；y＝tan x的最小正周期为π，为奇函数.
易错警示 求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误：
(1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；
(2)忘掉写＋2kπ，或＋kπ等，忘掉写k∈Z；
(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起，如[0，90°]应写为.
[回扣问题3] (1)把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )
A.x＝－ B.x＝－
C.x＝ D.x＝
(2)函数y＝sin的递减区间是________.
答案 (1)A (2)(k∈Z)
4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
sin(α±β)＝sin αcosβ±cos αsin β
sin 2α＝2sin αcos α.
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan(α±β)＝.
cos2α＝，sin2α＝，tan 2α＝.
[回扣问题4] (1)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________.
(2)已知cos＝，＜x＜，
则＝________.
答案 (1)1 (2)－
5.在三角恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：
α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)；
α＝[(α＋β)＋(α－β)]；
α＋＝(α＋β)－，α＝－.
[回扣问题5] 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，
sin＝，则cos＝________.
答案 －
6.解三角形
(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(ⅱ)sin A＝，sin B＝；sin C＝；(ⅲ)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍.
(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
[回扣问题6] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.
(2)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________，sin A＝________.
答案 (1)或 (2)2
7.有关三角形的常见结论
(1)面积公式S△ABC＝absin C＝bcsin A＝casin B.
(2)三个等价关系：△ABC中，a，b，c分别为A，B，C对边，则a＞b⇔sin A＞sin B⇔A＞B.
[回扣问题7] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A.3 B.
C. D.3
答案 C
8.平面向量的基本概念及线性运算
(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：＋＝；－＝.
(2)向量满足三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(3)实数λ与向量a的积是一个向量，记为λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；②λ＞0，λa与a同向；λ＜0，λa与a反向；λ＝0，或a＝0时，λa＝0.
(4)平面向量的两个重要定理
①向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.
[回扣问题8] 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A. B.
C. D.
答案 C
9.向量的平行与垂直
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0，b≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同.
[回扣问题9] 已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－1)，若向量(λa＋b)∥c，则实数λ＝________.
答案 －2
10.向量的数量积
|a|2＝a2＝a·a，
a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2，
cos θ＝＝，
a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝＝，
注意 〈a，b〉为锐角⇔a·b＞0且a、b不同向；
〈a，b〉为直角⇔a·b＝0且a、b≠0；
〈a，b〉为钝角⇔a·b＜0且a、b不反向.
易错警示 投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零.
[回扣问题10] (1)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )
A.2 B.
C.0 D.－
(2)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________.
答案 (1)B (2)∪∪
11.几个向量常用结论：
①＋＋＝0⇔P为△ABC的重心；
②·＝·＝·⇔P为△ABC的垂心；
③向量λ(＋)(λ≠0)所在直线过△ABC的内心；
④||＝||＝||⇔P为△ABC的外心.
[回扣问题11] 若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为______.
答案 直角三角形
4.数列、不等式
1.等差数列的有关概念及运算
(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2).
(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.
(3)等差数列的前n项和：Sn＝，Sn＝na1＋d.
[回扣问题1] 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( )
A.8 B.10
C.12 D.14
答案 C
2.等差数列的性质
(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是关于n的二次函数且常数项为0.
(2)若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列.
(3)当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列.
[回扣问题2] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A.6 B.7
C.8 D.9
答案 A
3.等比数列的有关概念及运算
(1)等比数列的判断方法：定义法＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2).
(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.
(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项.值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±.如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A＞B.
[回扣问题3] 等比数列{an}中，a3＝9，前三项和S3＝27，则公比q的值为________.
答案 1或－
4.等比数列的性质
(1)若{an}，{bn}都是等比数列，则{anbn}也是等比数列；
(2)若数列{an}为等比数列，则数列{an}可能为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列；
(3)等比数列中，当m＋n＝p＋q时，aman＝apaq；
[回扣问题4] 等比数列{an}的各项均为正数，且a4a5a6＝8，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝( )
A.9 B.6
C.4 D.3
答案 A
5.数列求和的常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.
(1)分组法求数列的和：如an＝2n＋3n；(2)错位相减法求和：如an＝(2n－1)2n；(3)裂项法求和：如求1＋＋＋…＋；(4)倒序相加法求和.
[回扣问题5] 若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn为( )
A.2n＋n2－1 B.2n＋1＋n2－1
C.2n＋1＋n2－2 D.2n＋n2－2
答案 C
6.求数列通项常见方法
(1)已知数列的前n项和Sn，求通项an，可利用公式an＝由Sn求an时，易忽略n＝1的情况.
(2)形如an＋1＝an＋f(n)可采用累加求和法，例如{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n，求an；
(3)形如an＋1＝can＋d可采用构造法，例如a1＝1，an＝3an－1＋2，求an.
(4)归纳法，例如已知数列{an}的前n项和为Sn，且S－(an＋2)S n＋1＝0，求Sn，an.
[回扣问题6] 设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则数列{an}的通项公式为________.
答案 an＝
7.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负或是否为零.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行.
[回扣问题7] 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
答案 B
8.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示.
[回扣问题8] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2，或x＞－}，则ax2－bx＋c＞0的解集为________.
答案
9.基本不等式：≥(a，b＞0)
(1)推广：≥≥≥(a，b∈R＋).
(2)用法：已知x，y都是正数，则
①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.
利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件.
[回扣问题9] (1)已知x＞1，则x＋的最小值为________.
(2)已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，且＋的最小值是________.
答案 (1)5 (2)7＋4
10.解线性
规划
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问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负.
[回扣问题10] 若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )
A.5 B.6
C.7 D.8
答案 B
5.立体几何
1.一个几何体的三视图的排列规则是俯视图放在正(主)视图下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”.在画一个几何体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明.
[回扣问题1] 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
答案 B
2.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
[回扣问题2] 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________.
答案 2
3.简单几何体的表面积和体积
(1)S直棱柱侧＝c·h(c为底面的周长，h为高).
(2)S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高).
(*)(3)S正棱台侧＝(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高).
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线)，
S圆锥侧＝πrl(同上)，
(*)S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′、r分别为上、下底的半径，l为母线).
(5)体积公式
V柱＝S·h(S为底面面积，h为高)，
V锥＝S·h(S为底面面积，h为高)，
(*)V台＝(S＋＋S′)h(S、S′为上、下底面面积，h为高).
(6)球的表面积和体积
S球＝4πR2，V球＝πR3.
注 带(*)的不需记忆.
[回扣问题3] (1)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.
(2)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. B.4π
C.2π D.
答案 (1)12 (2)D
4.空间中的平行关系
(1)线面平行：⇒a∥α；⇒a∥α；⇒a∥α；
(2)面面平行：⇒α∥β；⇒α∥β；
⇒α∥γ；
(3)线线平行：⇒a∥b；⇒a∥b；⇒a∥b；⇒a∥b.
[回扣问题4] 下列条件能得出平面α∥平面β的是( )
A.α内有无穷多条直线都与β平行
B.直线a∥α，a∥β，且a⊄α，a⊄β
C.直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α
D.α内的任何直线都与β平行
答案 D
5.空间中的垂直关系
(1)线面垂直：⇒l⊥α；⇒a⊥β；⇒a⊥β；⇒b⊥α；
(2)面面垂直：二面角90°；⇒α⊥β；⇒α⊥β；
(3)线线垂直：⇒a⊥b.
[回扣问题5] 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A.若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B.若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
答案 C
6.空间向量在立体几何中的应用
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v.
(1)空间位置关系：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；
l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；
l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；
l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；
α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.
(2)空间角：①设异面直线l，m的夹角θ，则cos θ＝；
②设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝；
③设平面α，β所成锐二面角为θ，则cos θ＝
(3)空间距离：设A是平面α外一点，O是α内一点，则A到平面α的距离d＝.
易错警示 (1)①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦.
②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析.
(2)用空间向量求A到平面α的距离：
可表示为d＝.
[回扣问题6] 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于________.
答案
7.三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两相对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ，则S侧cos θ＝S底.
[回扣问题7] 过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.
(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点.
(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.
(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.
(4)若P到AB，BC，CA三边距离相等，则点O是△ABC的________心.
答案 (1)中 (2)外 (3)垂 (4)内
6.解析几何
1.直线的倾斜角α与斜率k
(1)倾斜角α的范围为[0，π).
(2)直线的斜率
①定义：k＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝(x1≠x2)；③直线的方向向量a＝(1，k).
[回扣问题1] 直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.(0，π)
C. D.∪
答案 D
2.直线的方程
(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线.
(2)斜截式：y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线.
(3)两点式：＝，它不包括垂直于坐标轴的直线.
(4)截距式：＋＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.
(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式.
[回扣问题2] 已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.
答案 5x－y＝0或x＋y－6＝0
3.两直线的平行与垂直
①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
[回扣问题3] 设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时，l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合.
答案 －1 m≠3且m≠－1 3
4.点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝；
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
[回扣问题4] 已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离为( )
A. B.8
C.2 D.
答案 C
5.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，只有当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为，半径为的圆.
[回扣问题5] 已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________.
答案 (x－2)2＋y2＝10
6.直线、圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)有相交、相离、相切三种位置关系.可从代数和几何两个方面来判断；
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d＜r⇔相交；d＞r⇔相离；d＝r⇔相切.
(2)圆与圆的位置关系
已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，且r1＞r2则①当|O1O2|＞r1＋r2时，两圆外离；②当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；③当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2时，两圆相交；④当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；⑤当0≤|O1O2|＜|r1－r2|时，两圆内含.
[回扣问题6] (1)已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.
(2)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A.21 B.19
C.9 D.－11
答案 (1)x＋y－1＝0 (2)C
7.对圆锥曲线的定义要做到抓住关键词，例如椭圆中定长大于两定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支，在抛物线的定义中必须注意条件：F∉l，否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线.
[回扣问题7] (1)椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为( )
A.10 B.2
C.16 D.20
(2)已知双曲线－＝1上的一点P到双曲线的一个焦点的距离为6，则点P到另一个焦点的距离为________.
(3)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A.1 B.2
C.4 D.8
答案 (1)D (2)10 (3)A
8.求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数.
(1)椭圆标准方程：焦点在x轴上，＋＝1(a＞b＞0)；焦点在y轴上，＋＝1(a＞b＞0).
(2)双曲线标准方程：焦点在x轴上，－＝1(a＞0，b＞0)；焦点在y轴上，－＝1(a＞0，b＞0).
(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)具有共同渐近线的双曲线系为－＝λ(λ≠0).
(4)抛物线标准方程
焦点在x轴上：y2＝±2px(p＞0)；
焦点在y轴上：x2＝±2py(p＞0).
[回扣问题8] (1)过点(2，－2)，且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)y＝4x2的焦点坐标是________.
答案 (1)D (2)
9.(1)在把圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解情况可判断位置关系.有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切.
(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝或|P1P2|＝
(3)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)、D(x2，y2)，则①焦半径|CF|＝x1＋；②弦长|CD|＝x1＋x2＋p；③x1x2＝，y1y2＝－p2.
[回扣问题9] 已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________.
答案 16
7.概率与随机变量及其分布
1.互斥事件有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B).
(1)公式适合范围：事件A与B互斥.
(2)P(A)＝1－P(A).
[回扣问题1] 某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是________.
答案 0.2
2.古典概型
P(A)＝(其中，n为试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数).
[回扣问题2] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率为________.
答案
3.解排列、组合问题的依据是：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合.
解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法.
(1)排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝，其中m，n∈N*，且m≤n.当m＝n时，A＝n·(n－1)·…·2·1＝n！，规定0！＝1.
(2)组合数公式
C＝＝＝.
(3)组合数性质
C＝C，C＋C＝C，规定C＝1，其中m，n∈N*，m≤n.
[回扣问题3] (1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.
(2)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答).
答案 (1)24 (2)590
4.二项式定理
(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn(n∈N*).
通项(展开式的第r＋1项)：Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0，1，…，n)叫做二项式系数.
(2)二项式系数的性质
①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C.
②二项式系数的和等于2n(组合数公式)，即
C＋C＋C＋…＋C＝2n.
③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
特别提醒 二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错.
[回扣问题4] 设的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则A∶B＝________.
答案 4∶1
5.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生.
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB).
[回扣问题5] 设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________.
答案
6.求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正.还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式.
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.
[回扣问题6] 若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值为________.
ξ
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
答案
浙公网安备 33021202002483