高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

- 1 - 求函数值域的解题 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf （16种） 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例:求函数 ( )x323y −+= 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出 ( )x3-2 的值域。 解：由算术平方根的性质知 ( ) 0x3-2 ≥ ，故 ( ) 3x3-23 ≥+ 。 点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值 的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数 的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。 练习：求函数 ( )5x0xy ≤≤= 的值域。（答案：{ }5,4,3,2,1,0 ） 二、反函数法： 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例：求函数 2x 1xy + + = 的值域。 点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数 2x 1xy + + = 的反函数为： y y − − = 1 12x ，其定义域为 1y ≠ 的实数， 故函数 y的值域为{ }Ry1,y|y ∈≠ 。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这 种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数 x-x -xx 1010 1010y + + = 的值域。（答案：{ }1y1-y|y  或 ）。 三、配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函 数的值域。 例：求函数 ( )2xx-y 2 ++= 的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由 02xx- 2 ≥++ 可知函数的定义域为{ }2x1-|x ≤≤ 。此时 2xx- 2 ++ = - 2 - 4 9 2 1-x- 2 +      ( ) 2 32xx-0 2 ≤++≤∴ ，即原函数的值域为       ≤ 2 3y0|y 点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域 对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习： x4-155-x2y += 的值域。（答案：{ }3y|y ≤ ） 四、判别式法： 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数 的值域。 例:求函数 2 2( 1) ( 2)( 1) xy x x + = − − 的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式法求原 函数的值域。 解：由 2 2( 1) ( 2)( 1) xy x x + = − − = 2 ( 2)( 1)x x− − = 2 2 3 2x x− + 得 2 3 2 2 0yx yx y− + − = ∵当 0y = 时，-2 = 0 ，不成立 当 0y ≠ 时，由 0∆ ≥ ，得 2( 3 ) 4 (2 2)y y y− − − = 2 8 0y y+ ≥ ∴ 8y ≤ − 或 0y ≥ 由于 0y ≠ ∴函数 2 2( 1) ( 2)( 1) xy x x + = − − 的值域为{ }| 8 0y y y≤ − >或 。 点评：把函数关系化为二次方程 ( ) 0yx =，F ，由于方程有实数解，故其判别 式 为 非 负 数 ， 可 求 得 函 数 的 值 域 。 常 适 用 于 fexdx cbxaxy 2 2 ++ ++ = 及 edxcxbaxy 2 ++±+= 。 练习：求函数 2 2y= 3 x x + 的值域。（答案： 3 3| 3 3 y y   − ≤ ≤     ）。 五、最值法： - 3 - 对于闭区间 [ ]ba， 上的连续函数 ( )xfy = ，可以求出 ( )xfy = 在区间 [ ]ba， 内 的较值，并与边界 ( ) ( )bfaf ， 作比较，求出函数的值，可得到函数 y的值域。 例：已知 ( )( ) 01xx33-x-x2 22 ≤++ ，且满足 1yx =+ ，求函数 x3xyz += 的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量 x的取值范围，将目标函数消元、配方，可 求出函数的值域。 解： 01xx3 2  ++ ，上述分式不等式与不等式 03-x-x2 2 ≤ 同解，解之得 2 3x1- ≤≤ ，又 1yx =+ ，将 y=1-x代入 x3xyz += 中，得       ≤≤+= 2 3x1-x4-xz 2 ， ( ) 42-x-z 2 +=∴ 且    ∈ 2 31-x ， ，函数 z 在区间     2 31- ， 上连续，故只需比较边 界的大小。 当 x=-1时，z=-5；当 2 3x = 时， 4 15z = 。 ∴函数 z的值域为       ≤≤ 4 15z5-|z 。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也 可通过求值而获得函数的值域。 练习：若 x 为实数，则函数 5-x3xy 2 += 的值域为( ) A. ( )+∞∞− , B. [ )∞+− ，7 C. [ )∞+，0 D. [ )∞+− ，5 (答案：D） 六、单调法: 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例：求函数 x3-1-x4y = 的值域。 点拨：由已知的函数是复合函数，即 ( ) x3-1-xg = ， ( ) ( )xgxfy += 其定义域为 3 1x ≤ ，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解：设 f(x)=4x, ( ) x3-1-xg = ,( 3 1x ≤ ),易知它们在定义域内为增函数，从而 ( ) ( )xgxfy += = x3-1-x4 在 定 义 域 为 3 1x ≤ 上 也 为 增 函 数 ， 而 且 - 4 - 3 4 3 1g 3 1fy =     +     ≤ ,因此，所求的函数值域为｛y|y≤ 3 4 ｝。 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区 间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值 域。 练习：求函数 x-43y += 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 七、换元法： 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形 式，进而求出值域。 例：求函数 1x23-xy ++= 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值， 确定原函数的值域。 解：设 1x2t += （t≥0）,则 2 1-tx 2 = 。 于是 ( ) 2 74 2 14 2 1t3- 2 1-ty 22 −=−≥− + =+= t . 所以，原函数的值域为｛y|y≥ 2 7- ｝。 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最 值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它 的应用十分广泛。 练习：求函数 x-1-xy = 的值域。（答案：｛y|y≤ 4 3- ｝） 八、构造法: 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例：求函数 8x4-x5x4xy 22 ++++= 的值域。 点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为 ( ) ( ) ( ) 222 2x-212xxf ++++= 构作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD，再切割成 12个边长为 1的正方形。 设 HK=x,则 EK =2-x,KF=2+x,AK= ( ) 22 2x-2 + ,KC= ( ) 12x 2 ++ 。 由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当 A、K、C三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。 - 5 - 点评：对于形如函数 ( ) bx-caxy 22 +±+= (a,b,c均为正数)，均可通过 构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习：求函数 ( ) 459y 22 +−++= xx 的值域。（答案：｛y|y≥ 25 ｝） 九、比例法： 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函 数，进而求出原函数的值域。 例：已知 x,y∈R，且 3x-4y-5=0,求函数 22 yxz += 的值域。 点拨：将条件方程 3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：由 3x-4y-5=0变形得， k 3 1-y 4 3-x == (k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ( ) ( ) ( ) 13k5k3143xz 22222 ++=+++=+=∴ ky 。 当 5 3-k = 时， 5 3x = , 5 4-y = 时， 1zmin = ∴原函数的值域为｛z|z≥1｝. 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通 过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法， 具有一定的创新意识。 练习：已知 x,y∈R，且满足 4x-y=0,求函数 f(x,y)= y-x2 2 的值域。（答案： ｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）。 十、利用多项式的除法 例：求函数 1x 2x3y + + = 的值域。 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解： 1x 2x3y + + = = 1x 1-3 + 。 ∵ 0 1x 1 ≠ + ，故 y≠3。 ∴函数 y的值域为 y≠3的一切实数。 点评：对于形如 dcx baxy + + = 的形式的函数均可利用这种方法。 练习：求函数 1-x 1-x2y = 的值域。（答案：y≠2） 十一、不等式法 例：求函数 13 3y x x + = 的值域。 - 6 - 点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。 解：易求得原函数的反函数为 x-1 x 3logy = ,由对数函数的定义知 0x-1 x  （1-x≠0）解得，0＜x<1。 ∴函数的值域（0，1）。 点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求 出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。 是数学解题的方法之一。 练习：求函数 1-2 2y x x = 的值域，（答案：{ }0y1y|y  或 ）。 十二、图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例:求函数 ( )22-x1xy ++= 的值域。 点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 解：原函数化为 y=-2x+1(x≤-1) y=3(-12) 画出其图像可得函数值 y≥3。 ∴函数值域[3，＋∞]。 点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数 形结合的思想。是解决问题的重要方法。 十三、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例1:求函数 x x e e 1y −= 的值域。 解：由原函数式可得： 1-y 1yex += ∵ 1 1y − + ∴ y 解得： 1y1-  故所求函数的值域为(-1,1) 例2: 求函数 3-sinx cosxy = 的值域。 解：由原函数式可得： ，可化为： 即 0ex > y3xcosxsiny =− y3)x(xsin1y2 =β++ 1y y3)x(xsin 2 + =β+ - 7 - ∵ ∴ 即 解得： 故函数的值域为 十四、数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 直线斜率等等，这类题 目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例1:求函数 的值域。 解：原函数可化简得： 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2）， 间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时， 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域为： 例2:求函数 的值域。 解：原函数可变形为： 上式可看成x轴上的点 到两定点 的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， ， 故所求函数的值域为 例3:求函数 的值域。 解：将函数变形为： Rx∈ ]1,1[)x(xsin −∈β+ 1 1y y31 2 ≤ + ≤− 4 2y 4 2 ≤≤−         − 4 2, 4 2 22 )8x()2x(y ++−= |8x||2x|y ++−= )8(B − 10|AB||8x||2x|y ==++−= 10|AB||8x||2x|y =>++−= ],10[ +∞ 5x4x13x6xy 22 ++++−= 2222 )10()2x()20()3x(y ++++−+−= )0,x(P )1,2(B),2,3(A −− 43)12()23(|AB|y 22min =+++== ],43[ +∞ 5x4x13x6xy 22 ++−+−= 2222 )10()2x()20()3x(y −++−−+−= - 8 - 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点 到点 的距离之差。 即： 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点 ，则构成 ， 根据三角形两边之差小于第三边，有 即： （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为： 注：由上例可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两 距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 如：例3的A，B两点坐标分别为：（3，2）， ，在x轴的同侧；例18的A，B两点 坐标分别为（3，2）， ，在x轴的同侧。 十五、一一映射法 原理：因为 在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一 个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例：求函数 的值域。 解：∵定义域为 由 得 故 或 解得 故函数的值域为 十六、多种方法综合运用 例1：求函数 的值域。 )1,2(B − )0,x(P |BP||AP|y −= 'P 'ABP∆ 26)12()23(|AB|||'BP||'AP|| 22 =−++=<− 26y26 <<− 26|AB|||BP||AP|| ==− ]26,26(− )1,2( −− )1,2( − )0c( dcx baxy ≠ + + = 1x2 x31y + − =       −>−< 2 1x 2 1x|x 或 1x2 x31y + − = 3y2 y1x + − = 2 1 3y2 y1x −> + − = 2 1 3y2 y1x −< + − = 2 3y 2 3y −>−< 或       +∞−      −∞− , 2 3 2 3,  3x 2xy + + = - 9 - 解：令 ，则 （1）当 时， ，当且仅当t=1，即 时取等号，所以 （2）当t=0时，y=0。 综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法 例2： 求函数 的值域。 解： 令 ，则 ∴当 时， 当 时， 此时 都存在，故函数的值域为 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 的有界性。 )0t(2xt ≥+= 1t3x 2 +=+ 0t > 2 1 t 1t 1 1t ty 2 ≤ + = + = 1x −= 2 1y0 ≤<     2 1,0 42 432 xx21 xxx2x1y ++ ++−+ = 42 3 42 42 xx21 xx xx21 xx21y ++ + + ++ +− = 2 2 2 2 x1 x x1 x1 + +      + − = 2 tanx β= β=      + − 2 2 2 2 cos x1 x1 β= + sin 2 1 x1 x 2 1sin 2 1sinsin 2 1cosy 22 +β+β−=β+β=∴ 16 17 4 1sin 2 +      −β−= 4 1sin =β 16 17ymax = 1sin −=β 2ymin −= 2 tan β    − 16 17,2 βsin