应用数理统计—参数估计

应用数理统计—参数估计参数估计*一、参数的点估计点估计：通过样本求出总体参数的估计值点估计方法：总体X的分布已知，但其参数未知。对总体进行随机抽样，用样本X1,X2,,Xn构造合适的统计量作为参数的估计量若抽取的样本值为x1,x2,,xn,则就是的估计值。点估计方法分为矩法和极大似然法。*1.矩法估计设X1,X2,,Xn为总体X的样本,样本的k阶原点矩：样本的k阶中心矩：矩法估计就是用样本矩作为相应的总体矩的估计量。*矩法估计设总体X分布函数中包含m个未知参数1,2,,m，总体X的k阶矩vk=E(Xk)=vk(1,...

参数估计*一、参数的点估计点估计：通过样本求出总体参数的估计值点估计方法：总体X的分布已知，但其参数未知。对总体进行随机抽样，用样本X1,X2,,Xn构造合适的统计量作为参数的估计量若抽取的样本值为x1,x2,,xn,则就是的估计值。点估计方法分为矩法和极大似然法。*1.矩法估计设X1,X2,,Xn为总体X的样本,样本的k阶原点矩：样本的k阶中心矩：矩法估计就是用样本矩作为相应的总体矩的估计量。*矩法估计设总体X分布函数中包含m个未知参数1,2,,m，总体X的k阶矩vk=E(Xk)=vk(1,2,,m),k=1,2,,m,以样本矩Ak作为总体矩vk的估计，即由m个方程解出1,2,,m，就是总体参数k的估计量，称为矩估计量。*矩法估计对具体抽取的样本值x1,x2,,xn，则为k的估计值。*2.极大似然估计设连续型总体X的概率密度函数为f(x;),是未知参数，简单随机样本X1,X2,,Xn的联合概率密度函数为对于样本的观察值x1,x2,,xn，称为似然函数。*极大似然估计极大似然估计法就是选取参数值作为参数的估计值，使样本落在观察值(x1,x2,,xn)的邻域里的概率达到最大。对固定的(x1,x2,,xn)就是选取，使达到最大，即L()达到最大。*极大似然估计定义：对固定的样本值(x1,x2,,xn)，若有(x1,x2,,xn)使得则称是参数的极大似然估计值，相应的(X1,X2,,Xn)是参数的极大似然估计量。由于L()与lnL()有相同的极值，通常取对数似然函数求极值。*极大似然估计求极大似然估计的步骤：由总体的密度函数f(x;)，写出似然函数求出对数似然函数lnL求出,并令其为0，解出即得*极大似然估计注：对离散型总体X，用分布律p(x;)代替f(x;)，做法与连续型总体一样。对总体分布中含多个未知数的情况由解出i即为*3.估计量优良性的评定标准无偏性设是的估计量，若E()=，则称是的无偏估计量。有效性设都是的无偏估计量，若D()0*二、参数的区间估计区间估计：根据样本求出未知参数的估计区间，使这个区间包含未知参数的可靠程度达到预定的要求。*参数的区间估计定义：设总体X的分布含未知参数，由样本X1,X2,,Xn确定两个统计量1(X1,X2,,Xn)，2(X1,X2,,Xn)如果对于给定的(0<<1)，有P{1<<2}=1-,则称随机区间(1，2)为的置信区间，1-称为置信度,1称为置信下限，2称为置信上限，区间估计就是求置信区间(1，2)。*参数的区间估计求置信区间的一般方法：构造合适的包含待估参数的统计量U,U的分布已知给定置信度1-，按照P{U150),这时用S12,S22代替12,22，同12,22已知的情况一样处理,1-2的置信区间类似地有*4.两正态总体方差比的区间估计X~N(1,12),Y~N(2,22),X,Y相互独立，只考虑1,2未知的情况下，方差比12/22的区间估计X的样本容量为n1，样本方差为S12，Y的样本容量为n2，样本方差为S22，*两正态总体方差比的区间估计构造统计量给定置信度1-，应有*两正态总体方差比的区间估计经换算得注意到所以12/22的1-置信区间为*5.(0,1)分布参数p的区间估计设总体X~(0,1)分布,P{X=1}=p,P{X=0}=1-p,E(X)=p,D(X)=p(1-p),求p的置信区间。取样本X1,X2,,Xn，Xi~(0,1)分布,*(0,1)分布参数p的区间估计当n很大时(>50),选统计量*(0,1)分布参数p的区间估计给定置信度1-，应有P{-Z/22}=，所以P{1<<2}=1-2(1,2)就是的置信度为1-2的双侧置信区间*单侧置信区间*单侧置信区间如X~N(,2),2已知,求置信度为1-的单侧置信区间(1,+),(-,2)选统计量对给定的置信度1-，考虑1-2，应有P{-Z

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