2020年初一数学绝对值典型例题精讲

初一数学精讲一一绝对值第PAGE\*MERGEFORMAT#页共13页第PAGE\*MERGEFORMAT#页共13页作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102时间：2020.12.13第三讲绝对值内容概述绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。I绝对值的定义及性质简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论(零点分段法)绝对值几何意义的使用绝对值的定义及性质绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作al。绝对值的性质：绝对值的非负性，可以用下式表示：lal^O,这是绝对值非常重要的性质；ra(a>0)lal=v0(a=0)(代数意义)-a(aVO)若lal=a,则a±0；若Ial=-a，则aWO；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即al三a,且lal三-a；若lal=lbl,则a=b或a=-b；(几何意义)alallabl=la•lbl；丨「=(bHO)；blbl7)|a|2=|a2|=a2；lal+lbl三la-bl(8)la+bIWIal+lblla-bl三llal-lblllal+lbl三la+bl［例1］绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？若abvlabl,则下列结论正确的是()A.aVO,bVOB.a>0,bVOC.aVO,b>0D.abVO下列各组判断中,正确的是()A.若lal=b，则一定有a=bB.若lal>lbl，则一定有a>bC.若lal>b,则一定有lal>lblD.若lal=b，则一定有a2=(-b)2设a,b是有理数，贝9la+bl+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3,±4,有4个答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 3。(3)选择D。(4)根据绝对值的非负性可以知道la+bl2O,贝9la+bl±9,有最小值9［巩固］绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？<分析>：绝对值小于3.1的整数有0,±1,±2,±3,和为0。［巩固］有理数a与b满足laWbl，则下面哪个答案正确()A.a>bB.a=bC.avbD.无法确定分析：选择D。［巩固］若lx-3l=3-x,则x的取值范围是分析：若lx-3l=3-x,则X-3W0,即xW3。对知识点3的复习巩固［巩固］若a>b，且lalvlbl，则下面判断正确的是()A.aVOB.a>0C.bVOD.b>0分析：选择C［巩固］设a,b是有理数，则-8-la-bl是有最大值还是最小值？其值是多少？分析：la-bl2O,-8-la-blW-8，所以有最大值-8［例2］y(竞赛题)若3lx-2l+ly+3l=0,则丄的值是多少？x-4若lx+3l+(y-l)2=0,求()n的值y-xy3TOC\o"1-5"\h\z分析：(1)lx-2l=0,ly+3l=0,x=2，y=-3,=--x2-4-4(2)由lx+3l+(y-1)2=0,可得x=-3,y=1。==-1y一x1+3n为偶数时，原式=1；n为奇数时，原式=-1小知识点汇总：(本源lal^Ob220)若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若lx-al+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若lx-al+lx-bl=0，则x-a=0且x-b=0；项均为0,两个非lx-yl=y-x，那么x+y当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每负数互为相反数时，两者均为0简单的绝对值方程【例3】已知x是有理数，且lxl=l-4l,那么x=已知x是有理数，且-lxl=-l2l，那么x=已知x是有理数，且-l-xl=-l2l,那么x=如果x,y表示有理数，且x,y满足条件lxl=5,lyl=2,的值是多少？分析：(1)4,-4(2)2,-2,(3)2,-2(4)x=±5,y=±2,且lx-yl=y-x,x-yW0；当x=5,y=2时不满足题意；当x=5,y=-2时不满足题意；初一数学精讲一一绝对值初一数学精讲一一绝对值第PAGE\*MERGEFORMAT#页共13页第PAGE\*MERGEFORMAT#页共13页当x=-5,y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5,y=-2时满足题意，x+y=-7。【巩固】巩固1x1=4,lyl=6,求代数式Ix+yl的值分析：因为lxl=4，所以x=±4,因为lyl=6，所以y=±6当x=4,y=6时,lx+yl=l10l=10；当x=4,y=-6时,lx+yl=l-2l=2;当x=-4,y=6时,lx+yl=l2l=2；当x=-4,y=-6时,lx+yl=l10l=10【例4】3解方程：（1）—lx+5l—5=0（—）l4x+8l=1—（3）l3x+—l=-11（4）已知lx-ll=2,lyl=3,且x与y互为相反数，求3x2—xy—4y的值10105—5分析：（1）原方程可变形为：lx+5l=^，所以有x+5=±y，进而可得：x=3，--（2）4x+8=±12,x=1,x=-53）此方程无解(4)lx-1l=2,x-1=±2,x=3,x=-1,lyl=3,y=±3,且x与y互为相反数，所以x=3,y=-3，3x2—xy—4y=24a—ab+b【例5】若已知a与b互为相反数，且la-bl=4,求的值a2+ab+1分析：a与b互为相反数，那么a+b=O。a—ab+ba+b—ab0—ab===—ab,la—bl=4,a—b=±4,a2+ab+1a(a+b)+1ax0+1当a-b=4时，且a+b=0,那么a=2,b=-2,-ab=4；当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2,b=2,-ab=4；a—ab+b综上可得=4a2+ab+1化简绝对式作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102时间：2020.12.131)“11土l2a+4bl.一”士已知a=-2，b=-3，求（a+2b）2~la+2bl~l4b+3-12a-3ll的值2)若lal=b，求la+bl的值3)化简：la-bl分析：(1)l-1-Il原式2_1』-4-2=-18原式-121247（--_）2l--_ll-+3-1-1-3ll7232332)lal=b，我们可以知道b三0,当a<0时，a=-b,la+bl=0；当a三0时，a=b,la+bl=2b3)分类讨论。当a-b>0时，即a>b，la-bl=a-b；当a-b=0时，即a=b，la-bl=0；当a-b<0时，即aVb,la-bl=b-a。【巩固】化简：（1）l3.14-nl（2）l8-xl（x±8）分析：（1）3.14vn,3.14-n<0,l3.14-nl=n-3.14（2）x±8,8-xW0,l8-xl=x-8。【例7】有理数a,b,c在数轴上对应点如图所示，化简lb+al+la+cl+lc-blCB0A分析：lb+al+la+cl+lc-bl=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c【巩固】已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简lal+lc-bl+la-cl+lb-al分析：lal+lc-bl+la-cl+lb-al=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【巩固】数a,b在数轴上对应的点如图所示，是化简la+bl+lb-al+lbl-la-lall分析：la+bl+lb-al+lbl-la-lall=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=ba【例8】(1)若av-b且>0，化简lal-lbl+la+bl+lablb若-2WaW0,化简la+2l+la-2l已知xv0vz,xy>0,lyl>lzl>lxl,求lx+zl+ly+zl-lx-yl的值a分析：(1)若av-b且>0,a<0,b<0,a+bv0,ab>0blal-lbl+la+bl+labl=-a+b-a-b+ab=ab-2a因为-2WaW0,所以a+220,a-2W0,la+2l+la-2l=(a+2)-(a-2)=4由x<0vz,xy>0可得：y<0vz，又ly卜lz卜lxl,可得：yvxvz;原式=x+z-y-z-x+y=0【巩固】如果0vm<10并且mWxW10，化简lx-ml+lx-10l+lx-m-10l分析：lx-ml+lx-10l+lx-m-10l=x-m+10-x+m+10-x=20-x2a-l3alll3al-al【例9】(1)已知xv-3,化简13+l2-l1+xlll分析：(1)当xv-3时,l3+l2-l1+xlll=l3+l2+1+xll=l3+l3+xll=l3-3-xl=l-xl=-x2a-13al2a+3a5a5(2)ll3al—all-3a—al—4a4(2)若a<0,试化简c+W\+芮的所有可能值ab【例10】若abcM0,则lal分析：从整体考虑：1)a,b,c全正,2)a,b,abcC两正一负，则面+面+两i；3)a,b,abcC一正两负，则面+面+芮=-1；4)a,b,abcC全负，则芮+面+芮=-3初一数学精讲一一绝对值初一数学精讲一一绝对值第PAGE\*MERGEFORMAT#页共13页第PAGE\*MERGEFORMAT#页共13页|abcd||a||b||c||d|【巩固】有理数a,b,c,d,满足=一1，求——+丁++的值abcdabcd|abcd|分析：有=-1知abcdvO,所以a,b,c,d里含有1个负数或3个负数:abcd|a||b||c||d|若含有1个负数，则——+「一++=2；abcd|a||b||c||d|若含有3个负数，则——+丁++=-2abcd【例11】化简Ix+5I+I2x-3I分析：先找零点。x+5=0,x=-5；2x-3=0,x=|，零点可以将数轴分成几段。3当-,x+5>0,2x-320,lx+5l+l2x-3l=3x+2；厶3当-5WxV-,x+520,2x-3V0,Ix+5I+I2x-3I=8-x；当x<-5，x+5<0,2x-3，Ix+5I+I2x-3I=-3x-2巩固】化简：I2x-1I1分析：先找零点。2x-1=0,x=2，依次零点可以将数轴分成几段1x<2,2x-1<0,I2x-1I=-(2x-1)=1-2x；厶1x=,2x-1=0,I2x-1I=021x>2,2x-1>0,I2x-1I=2x-1o也可将(2)与(1)合并写出结果厶【例12】求ImI+Im-1+Im-21的值分析：先找零点，m=0,m-1=0,m-2=0,解得m=0,1,2依这三个零点将数轴分为四段：mV0,0WmV1,1WmV2,m±2。当m<0时，原式=-m-(m-1)-(m-2)=-3m+3当0WmV1时，原式=m-(m-1)-(m-2)=-m+3当1WmV2时，原式=m+(m-1)-(m-2)=m+1当m三2时，原式m+(m-1)+(m-2)=3m-3绝对值几何意义的应用IaI的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离la-bI的几何意义：在数轴上，表示数a,b对应数轴上两点间的距离【例13】求lx-3l+lx-5l+lx-2l+lx+ll+lx+7l的最小值分析：由上题可知，本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2，-1，-7所对应的点距离和。通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。这里我们可以把 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 奥数中的相关知识联系到一起讲解：【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒,为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？丨丨丨丨丨ABCDE分析：我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”题后小结论：求lx-al+lx-al+・・・+lx-al的最小值：12n当n为奇数时，把a、a、…a从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值12n最小。当n为偶数时，把a、a、…a从小到大排列，x取最中间两个数值之间的数（包括12n最中间的数）时，该式子的值最小。【巩固】探究lal与la-bl的几何意义分析：lal即为表示a的点A与原点之间的距离，也即为线段AO的长度。关于la-bl,我们可以引入具体数值加以分析：当a=3，b=2时，la-bl=1；当a=3，b=-2时，la-bl=5；当a=3，b=0时，la-bl=3；当a=-3，b=-2时，la-bl=1；从上述四种情况分别在数轴上标注出来，我们不能难发现：la-bl对应的是点A与点初一数学精讲一一绝对值初一数学精讲一一绝对值第PAGE\*MERGEFORMAT#页共13页第PAGE\*MERGEFORMAT#页共13页B之间的距离，即线段AB的长度。【巩固】设a、a、a、a、a为五个有理数，满足ab>c,那么a+b-c=分析：根据题意可得：a=±1，b=-2,c=-3,那么a+b-c=0或2【例2】已知（a+b）2+lb+5l=b+5,且l2a-b-1l=0，那么ab=分析：因为（a+b）2+lb+5l=b+5,我们可以知道b+5>0，所以原式可以表示为:(a+b)2+b+5=b+5，(a+b)2=0，a=-b，又因为l2a-b-1l=0，进而2a-b-1=0，进而2a-b-1=0,3a=1，a=3b=-3'ab=-9【例3】对于lm-1l，下列结论正确的是（）A.lm-11三ImlB.lm-1IWlmlC.lm-11三lml-1D.lm-1IWlml-1分析：我们可以分类讨论，但那样对于做选择题都过于麻烦了。我们可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3种数帮助找到准确答案。易得答案为Co【例4】设a，b，c为实数，且lal+a=0,labl=ab,lcl-c=0，化简lbl-la+bl-lc-bl+la-cl分析：lal+a=0,lal=-a,aWO；labl=ab,ab三0；lcl-c=0,lcl=c,c三0。所以可以得到aW0,bW0,c±0；lbl-la+bl-lc-bl+la-cl=-b+（a+b）-（c-b）-（a-c）=b【例5】化简：llx-ll-21+lx+ll分析：先找零点。x-1=0,x=1,lx-1l-2=0,lx-1l=2,x-1=2或x-1=-2，可得x=3或者x=-1；x+1=0，x=-1；综上所得零点有1.，-1,3，依次零点可以将数轴分成几段。x±3,x-1>0,lx-11-220,x+1>0,llx-1l-2l+lx+1l=2x-2；1Wxv3,x-120,lx-1l-2v0,x+1>0，llx-1l-2l+lx+1l=4；-1WxW1,x-1<0,lx-1l-2<0,x+120,llx-1l-2l+lx+1l=2x+2；x<-1,x-1<0,lx-1l-2<0,x+1<0,llx-1l-2l+lx+1l=-2x-2lallbllcllabcl【例6】已知有理数a,b,c满足+——+=1，求的值abcabclallallbllcl分析：对于任意的整数a,有=±】，右^―—+=1，则a,b,c中必aabclabcl是两正一负，则abcvO,=-1abc【例7】若a,b,c,d为互不相等的有理数，且la-cl=lb-cl=ld-bl=1，求la-dl分析：从la-cl=lb-cl我们可以知道，c到a,b的距离都是1,且三者不相等，那么在数轴上就有：(b)(a)因为ld-bl=1,且a,b,c,d为互不相等的有理数，则有:acbd显然易得la-dl=3")1、lm+3l+ln-2I+I2p-1I=O,求p+2m+3n的值77分析：绝对值为非负数，lm+3l+ln--l+l2p-1l=0,所以m+3=0,n--=0,2p-1=0，即得m=-3,7117n=2,p=2，所以p+2m+3n=—-6+3X—=52、(1)已知lxl=2,lyl=3且x-y>0,则x+y的值为多少？2)解方程：l4x-5l=8分析：(1)x=±2，y=±3，当x=2,y=3时，不满足x-y>0；x=2,y=-3时，满足x-y>0,那么x+y=-l；x=-2，y=3时，不满足x-y>0；x=-2,y=-3时，满足x-y>0,那么x+y=-5。综上可得x+y的值为-1,-5l33(2)4x-5=±8,x=,x=-—443、(1)有理数a,b,c在数轴上对应点如图所示，化简la-bl-la+bl+lb-cl-lclIIII.a~~cob__若aVb，求lb-a+ll-la-b-51的值若aVO,化简la-l-all分析：(1)a-bVO,b-c>0,a+bVOla-bl-la+bl+lb-cl-lcl=-(a-b)+(a+b)+(b-c)+c=3b(2)lb-a+1l-la-b-5l=b-a+1+a-b-5=-4(3)la-l-all=la+al=l2al=-2aaa2a34、已知a是非零有理数，求一-++的值lalla2lla3l分析：若a>0,那么lala2a3+la2lla3l=1+1+1=3；若aVO,那么lala2a3+la2lla3l=-1+1-1=-15、化简lx-1l-lx-3l分析：先找零点。x-1=0,,x=1；x-3=0,x=3，依照零点可以将数轴分成几段。x±3,x-1>0,x-3三0,lx-1l-lx-3l=x-1-(x-3)=2；1WxV3,x-1三0,x-3VO,lx-1l-lx-3l=x-1+(x-3)=2x-4；xV1，x-1V0，x-3V0，lx-1l-lx-3l=-(x-1)+(x-3)=-26、设aVbVc,求当x取何值时lx-al+lx-bl+lx-cl的最小值分析：lx-al+lx-bl+lx-cl实际表示x到a,b,c三点距离和，画图可知当x=b时，原式有最小值c-a作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102时间：2020.12.13