高考数学一轮复习人教B版正弦定理和余弦定理及应用名师制作优质课件

第三章三角函数、解三角形 第7讲　正弦定理和余弦定理及应用◆高考导航·顺风启程◆ 最新考纲 常见 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 本节是高考的热点，填空、选择、解答题各有出现，中档题型，占5～12分.[知识梳理]1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R a2＝　b2＋c2－2bccos_A　；b2＝　c2＋a2－2cacos_B　；c2＝　a2＋b2－2abcos_C　 常见变形 (1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B　，c＝　2Rsin_C　；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝　eq\f(b,2R)　，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)　；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)　；cosC＝　eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线　下方　叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．[知识感悟]　利用正弦、余弦定理解三角形(1)已知两角一边，用正弦定理，只有一解．(2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角 或直角图形 关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解上 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 中A为锐角时，a＜bsinA，无解．A为钝角或直角时，a＝b，a＜b均无解．(3)已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).[知识自测]1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(　　)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　　)(5)在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC).(　　)(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√2．在△ABC中，c＝eq\r(3)，b＝1，∠B＝eq\f(π,6)，则△ABC的形状为(　　)A．等腰直角三角形　　B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形[解析]　根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.[答案]　D3．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cosB＝eq\f(4,5)，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________.[解析]　依题意可得sinB＝eq\f(3,5)，又S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝42，则c＝14.[答案]　14题型一　用正、余弦定理解三角形(高频考点题，多角突破)考向一　由已知求边和角1．(2018·宁夏石嘴山三中二模 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 (文科))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，则A等于(　　)A．30°　　B．60°　　　C．120°　　D．150°[解析]　由sinC＝2eq\r(3)sinB及正弦定理可得c＝2eq\r(3)b，再由a2－b2＝eq\r(3)bc可得a2＝7b2.再由余弦定理可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋12b2－7b2,4\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，故A＝30°，故选A.[答案]　A2．(2016·北京高考)在△ABC中，∠A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，则eq\f(b,c)＝________.[解析]　在△ABC中，∠A＝eq\f(2π,3)，∴a2＝b2＋c2－2bccoseq\f(2π,3)，即a2＝b2＋c2＋bc.∵a＝eq\r(3)c，∴3c2＝b2＋c2＋bc，∴b2＋bc－2c2＝0，∴(b＋2c)(b－c)＝0，∴b－c＝0，∴b＝c，∴eq\f(b,c)＝1.[答案]　1考向二　与面积有关的三角形问题3．(2017·课标Ⅱ)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2eq\f(B,2)，(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.[解析]　(1)由题设及A＋B＋C＝π，sinB＝8sin2eq\f(B,2)，故sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)，cosB＝eq\f(15,17).(2)由cosB＝eq\f(15,17)得sinB＝eq\f(8,17)，故S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(4,17)ac.又S△ABC＝2，则ac＝eq\f(17,2).由余弦定理及a＋c＝6得：b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2×eq\f(17,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(15,17)))＝4.所以b＝2.考向三　求解几何计算问题4．(2017·课标Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．[解]　(1)由题设得eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)，即eq\f(1,2)csinB＝eq\f(a,3sinA).由正弦定理得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA)故sinBsinC＝eq\f(2,3).(2)由题设cosBcosC＝eq\f(1,6)及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,2).所以B＋C＝eq\f(2π,3)，故A＝eq\f(π,3).由题设得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝eq\r(33).故△ABC的周长为3＋eq\r(33).考向四　解三角形与三角恒等变换问题5．(2015·山东卷)设f(x)＝sinxcosx－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．[解]　(1)由题意知f(x)＝eq\f(sin2x,2)－eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))),2)＝eq\f(sin2x,2)－eq\f(1－sin2x,2)＝sin2x－eq\f(1,2).由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，可得－eq\f(π,4)＋kπ≤x≤eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z；由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，可得eq\f(π,4)＋kπ≤x≤eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))(k∈Z)；单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，\f(3π,4)＋kπ))(k∈Z)．(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝sinA－eq\f(1,2)＝0，得sinA＝eq\f(1,2)，由题意知A为锐角，所以cosA＝eq\f(\r(3),2).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋eq\r(3)bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋eq\r(3)，且当b＝c时等号成立．因此eq\f(1,2)bcsinA≤eq\f(2＋\r(3),4).所以△ABC面积的最大值为eq\f(2＋\r(3),4).方法感悟利用正、余弦定理解三角形的应用(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【针对补偿】1．(2017·浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.[解析]　将正六边形分割为6个等边三角形，则S6＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1×sin60°))＝eq\f(3\r(3),2).[答案]　eq\f(3\r(3),2)2．(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，则b＝________.[解析]　由题sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(12,13)，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(63,65).则由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(\f(63,65),\f(3,5))＝eq\f(21,13).[答案]　eq\f(21,13)题型二　利用正余弦定理判断三角形的形状(重点保分题，共同探讨)例　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，则△ABC为(　　)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形[解析]　由eq\f(c,b)<cosA，得eq\f(sinC,sinB)<cosA，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．[答案]　A(2)(2018·贵阳监测)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2eq\f(B,2)＝eq\f(c－a,2c)，则△ABC的形状一定是________．[解析]　由题意，得eq\f(1－cosB,2)＝eq\f(c－a,2c)，即cosB＝eq\f(a,c)，又由余弦定理，得eq\f(a,c)＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．[答案]　直角三角形方法感悟判定三角形形状的两种常用途径[提醒]　在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件，另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．【针对补偿】3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosA＝bcosB，那么△ABC一定是(　　)A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形[解析]　由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B，因为2A,2B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，选D.[答案]　D4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[解析]　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．[答案]　B题型三　解三角形的实际应用(重点保分题，共同探讨)考向一　测量高度问题1．(2018·湖北七市(州)协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130m，求塔的高度CD.[解]　 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 题意可知，设CD＝h，则AD＝eq\f(h,\r(3))，BD＝eq\r(3)h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos120°，可得1302＝3h2＋eq\f(h2,3)－2·eq\r(3)h·eq\f(h,\r(3))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，解得h＝10eq\r(39)，故塔的高度为10eq\r(39)(m)．考向二　测量距离问题2．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________km.[解析]　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq\f(\r(3),2)(km)．在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝eq\f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq\f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°＝eq\f(\r(6),4).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,8)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8).∴AB＝eq\f(\r(6),4)(km)．∴A，B两点间的距离为eq\f(\r(6),4)km.[答案]　eq\f(\r(6),4)考向三　测量角度问题3．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[解]　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为eq\f(5\r(3),14).方法感悟(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．【针对补偿】5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．10eq\r(2)海里B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里D．20eq\r(2)海里[解析]　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．[答案]　A7．(湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.[解析]　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180－75°＝105°，故∠ACB＝45°，c又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)(m)．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)·eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．[答案]　100eq\r(6)课堂达标（二十二）点击图标进入…谢谢观看！