1997年全国高考数学试题及答案解析

1997年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 )和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1)_(10)题每小题4分,第(11)_(15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、sin600°的值是A.21​​B.−21​​C.23​​​D.−23​​​[Key]  D2、函数y=a∣x∣(a>1)的图象是[Key]  B3、曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为A．x2(y2)2=4B．x2(y−2)2=4C．(x−2)2y2=4D．(x2)2y2=4[Key]  B4、两条直线A1​xB1​yC1​=0,A2​xB2​yC2​=0垂直的充要条件是A．A1​A2​B1​B2​=0B．A1​A2​−B1​B2​=0C．B1​B2​A1​A2​​=−1D．B1​B2​A1​A2​​=1[Key]  A5、函数f(x)=x1​(x​=0)的反函数f−1(x)=A．x(x≠0)B．x1​(x​=0)C．-x(x≠0) D．−x1​(x​=0)[Key]  B6、已知点P(sinα−cosα,tgα)在第一象限，则在(0,2π)内α的取值范围是A．(2π​,43π​)∪(π,45π​)B．(4π​,2π​)∪(π,45π​)C．(2π​,43π​)∪(45π​,23π​)D．(4π​,2π​)∪(43π​,π)[Key]  B°7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A．120°B．150°C．180°D．240°[Key]  C8、复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是A．23​​±21​iB．−23​​±21​iC．±23​​21​iD．±23​​−21​i[Key]  D9、如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么A．22​=S​S′​B．S0​=S′S​C．2S0​=SS′D．S02​=2S′S[Key]  A10、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是[Key]  B11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A．90种B．180种C．270种D．540种[Key]  D12、椭圆12x2​3y2​=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍[Key]  A13、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A．43​B．23​C．2D．3​[Key]  B14、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A．arccos25​−1​B．arcsin25​−1​C．arccos21−5​​D．arcsin21−5​​[Key]  B15、在等比数列{an}中，a1>1，且前n项和Sn满足n→∞lim​Sn​=a1​1​，那么a1的取值范围是A．(1,∞)B．(1,4)C．(1,2)D．(1,2​)[Key]  D16、设圆过双曲线9x2​16y2​=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_______。[Key]  316​17、(x2)10(x2−1)的展开式中x10的系数为____（用数字作答）。[Key]  17918、如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_____时，有A1C⊥B1D1。（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。）[Key]  AC⊥BD，或任何能推导出这个条件的其他条件。例如ABCD是正方形，菱形等。19、关于函数f(x)=4sin(2x3π​)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f(x)的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式可改写为y=4cos(2x−6π​)；③y=f(x)的图象关于点(−6π​,0)对称；④y=f(x)的图象关于直线对称。其中正确的命题的序号是。（注：把你认为正确的命题的序号都填上。）[Key]  ②，③注：第19题多填、漏填和错填均给0分。20、（本小题满分10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设ac=2b,A−C=3π​。求sinB的值。以下公式供解题时参考：sinθsinϕ=2sin2θϕ​cos2θ−ϕ​,sinθ−sinϕ=2cos2θϕ​sin2θ−ϕ​cosθcosϕ=2cos2θϕ​cos2θ−ϕ​,cosθ−cosϕ=−2sin2θϕ​sin2θ−ϕ​[Key]  本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力。满分10分。解：由正弦定理和已知条件ac=2b，得sinAsinC=2sinB由和差化积公式得2sin2AC​cos2A−C​=2sinB由ABC=π得sin2AC​=cos2B​又A−C=3π​得23​​cos2B​=sinB∴23​​cos2B​=2sin2B​cos2B​∵0<2B​<2π​.cos2B​​=0∴sin2B​=43​​从而y2=8x(1≤x≤4,y>0)∴sinB=23​​×413​​=839​​21、（本小题满分11分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1。以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM|=17​，|AN|=3且|BN|=6。建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。[Key]  本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想。考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力。满分11分。解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。设曲线段C的方程为y2=2px(p>0),(xA​≤x≤xB​,y>0)，其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。所以M(−2p​,0),N(2p​,0)由∣AM∣=17​,∣AN∣=3得(xA​2p​)22pxA​=17​(1)​(xA​−2p​)22pxA​=9​(2)​由①，②两式联立解得xA​=p4​。再将其代入①式并由p>0解得{p=4xA​=1​或{p=2xA​=2​​​因为△AMN是锐角三角形，所以2p​>xA​，故舍去{p=2xA​=2​​∴p=4,xA=1由点B在曲线段C上，得xB​=∣BN∣−2p​=4。综上得曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0)解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为轴，M为坐标原点。作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、F设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)依题意有xA​=∣ME∣=DA∣=∣AN∣=3yA​=∣DM∣=∣AM∣2∣DA∣2​=22​由于ΔAMN为锐角三角形故有xN​=∣ME∣∣EN∣=∣ME∣∣AM∣2∣AE∣2​=4xB​=∣BE∣=∣NB∣=6设点P(x,y)是曲线段C上任一点则由题意知P属于集合{(x,y)∣(x−xN​)2y2=x2,xA​≤x≤xB​,y>0}故曲线段C的方程y2=8(x−2)(3≤x≤6,y>0)22、（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。[Key]  本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识。满分12分。解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=abk​，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小。根据题设有4b2ab2a=60(a>0,b>0)得b=2a30−a​(00,b>0)即a2bab=30(a>0,b>0)=(3k1)29k4​>0当且仅当a=2b时，上式取等号。由a>0,b>0，解得00，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项和。试比较Sn与31​loga​bn1​的大小，并证明你的结论。[Key]  本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力。满分12分。解：（Ⅰ）设数列{bn}的公差为d，由题意得{b1​=110b1​210(10−1)​d​​解得{b1​=1d=3​​∴bn​=3n−2（Ⅱ）由bn=3n-2，知Sn​=log(11)loga​(141​)…loga​(13n−21​)=loga​[(11)(141​)⋅…⋅(13n−21​)​]31​loga​bn1​=31​loga​33n1​因此要比较Sn与31​loga​bn1​的大小，可先比较(11)(141​)⋅…⋅(13n−21​)与33n1​的大小.。取n=1有(11)>33⋅11​取n=2有(11)(141​)>33×21​……由此推测(11)(141​)⋅…⋅(13n−21​)>33n1​①若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a>1时，Sn​>31​loga​bn1​当033n1​.那么，当n=k1时，(11)(1\frac{1}{4})⋅…⋅(1\frac{1}{3k−2})(1\frac{1}{3(k1伀}这就是说①式当n=k1时也成立。由（i），（ii）知①式对任何正整数n都成立由此证得：当a>1时，Sn​>31​loga​bn1​当0