Magma在伪随机序列中的应用 Magma在伪随机序列中的应用 刘龙飞摘 要 伪随机序列由于其在,常见的伪随机序列有m序列、legendre序列等,而广义割圆序列是Legendre序列的扩展,具有良好的线性复杂度和自相关性质。本文介绍了Magma在伪随机序列方面的测试与应用,可以使抽象的证明直观化,复杂的计算简单化,从而使验证广义割圆序列的正确性。Key Magma 伪随机序:TN918.2 :A0前言由于伪随机序列具备良好的随机性,目前已广泛应用于各个领域。特别是在密码学中,伪随机序列扮演着...
刘龙飞
摘 要 伪随机序列由于其在,常见的伪随机序列有m序列、legendre序列等,而广义割圆序列是Legendre序列的扩展,具有良好的线性复杂度和自相关性质。本文介绍了Magma在伪随机序列方面的测试与应用,可以使抽象的证明直观化,复杂的计算简单化,从而使验证广义割圆序列的正确性。
Key Magma 伪随机序
:TN918.2 :A
0前言
由于伪随机序列具备良好的随机性,目前已广泛应用于各个领域。特别是在密码学中,伪随机序列扮演着十分重要的角色。随机序列具有两个方面的特点:一是预先不可确定、不可重复实现。另一方面所有序列都具有某些共同的随机特性。能否产生真正的随机序列一直都处在激烈的争论中,如果一个二元序列,一方面它的结构是可以预先确定的,并且可以重复的产生和复制;另一方面又满足Golomb总结的三条随机性假设:R1 若序列的周期L为偶数,则0的个数与1的个数相等;若L为奇数,则0的个数比1的个数多1或少1。R2 长为的串占1/2,且0串和1串的个数相等或至多差一个。R3 序列的异相自相关函数为一个常数,即序列为二值自相关序列。便称这种序列为伪随机序列。简单的讲,伪随机序列就是具有某种随机特性的确定序列。它不是真正的随机序列,它是用确定的算法产生,可以由短的真随机序列扩展成较长的伪随机序列。
1 Magma在伪随机序列中的应用
使用Magma计算伪随机序列的线性复杂度和自相关函数,主要利用Magma的BerlekampMassey函数以及AutoCorrelation函数。
令p为奇素数,整数m≥1。若g是p2的本原元,并且g'≡g(modp)并且满足g'≡g(modp),则对于任意n≥2,g是pn的本原元,g'是p的本原元。则根据中国剩余定理可得,g模p的阶为p-1,g模pm的阶为pm-1(p-1)。
对于任意n,1≤n≤m,定义
D=(g2)(modpn),
D=gD(modpn),
R(n)={0,p,2p,…,(pn-1-1)p}=pZ,
则R(n)=Z\Z*, Z*=D∪D。
对于任意n1,n2,(n1
D(modp)≡D,R(modp)≡R .
因此可得到剩余类环Z的一个分割为:
Z=D∪D∪pZ
Z
。
1997年,Ding基于Whiteman-广义割圆类构造了一类具有良好伪机性质的序列,并证明了其具有很高的线性复杂度。1998年,Ding和Helleseth提出了新的广义割圆类,实现了对剩余类环最大乘法子群的分割,并定义了新的二元序列(简称Ding-广义割圆序列)。该类序列典型代表为周期为pq(p,q为素数)和周期为pm(p为奇素数,m为正整数)的情形。本文中,我们对经典的周期为p2的广义割圆序列进行验证。
例2:
//D-2
E:=GF(2);
P:=PolynomialRing(GF(2));
p:=x^12 + x^7 + x^6 + x^5 + x^3 + x + 1;
F:=ext;
F;
sum:=0;
s:=[];
P:= [1, 4, 16, 17, 38, 46, 47, 62, 64, 68, 79, 83, 11, 13, 29, 44, 52, 71, 73, 74, 82, 86, 97, 103];
Q:=[];
for i in [1..21] do
Q[i]:=17*i;
end for;
Q;
for i in [1..#Q] do
s[i]:=w^Q[i];
sum:=sum+s[i];
end for;
printf "sum=%o",sum;
通過测试可得最后的sum值为0,与数学证明的结果相符。
2总结
本文通过对Magma进行学习,可以看到利用Magma来进行伪随机序列的实验结果,仿真测试抽象的数学结论,使其更加直观化,使繁琐的计算简单化。最后,针对当前的热点方向广义割圆序列进行仿真验证。
Reference
[1] Ding,C.Linear complexity of generalized cyclotomic binary sequences of order 2[J]. Finite Fields and Their Applications,1997,3(02):159-174.
[2] Ding,C&T.Helleseth .New generalized cyclotomy and its applications[J]. Finite Fields and Their Applications,1998,4(02):140-166.
[3] Cusick,T.W.&C.Ding&A.Renvall.Stream Ciphers and Number Theory[M].Elsevier Science Pub. Co,1998.
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[5] 金桂梅,李永冰.伪随机序列的仿真与分析[J].现代电子技术,2009, 301(14):103-106.
-全文完-