共焦点的双曲线和椭圆问题

第1页共焦点的双曲线和椭圆问题目录一、解题知识..................................................................................2（一）基础知识.........................................................................2（二）共焦点的常用结论........................................................3二、分类解析..................................................................................4（一）用焦半径.........................................................................4（二）面积公式.........................................................................5（三）离心率关系.....................................................................71．求值.................................................................................................72．均值不等式.....................................................................................93．范围...............................................................................................12（四）其他题目.......................................................................13第2页一、解题知识（一）基础知识一、已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则2tan221bSPFF。cos2)2(2122212212PFPFPFPFFFc)cos1(2)(21221PFPFPFPFcos12)cos1(244)cos1(24)(222222121bcacPFPFPFPF1222121sinsintan21cos2FPFbSPFPFb二、已知双曲线方程为22221,xyab两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则122tan2FPFbS。三、已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中12,,FPmPFn则20||Sbmnbcy。四、已知双曲线方程为22221,xyab两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中12,,FPmPFn则20||Sbmnbcy。第3页（二）共焦点的常用结论椭圆与双曲线共焦点1F，2F，它们的交点P对两公共焦点1F，2F的张角为122FPF，椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e，则()A．222212cossin1eeB．222212sincos1eeC．2212221cossineeD．2212221sincosee解：设椭圆的长轴长为12a，双曲线的实轴长为22a，P到两焦点的距离分别为m，(0)nmn，焦距为2c，由椭圆的定义可得12mna，由双曲线的定义可得22mna，解得12maa，12naa，【记住结论，焦半径是两个a之和，和两个a之差】由余弦定理可得2222cos24mnmnc，则22212121212()()2()()cos24aaaaaaaac，化为22212(1cos2)(1cos2)2aac，可得222212221asinacoscc，由11cea，22cea，可得2222121sincosee．故选：B．记住结论椭圆与双曲线共焦点1F，2F，它们的交点P对两公共焦点1F，2F的张角为12FPF，椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e，则有______________第4页二、分类解析（一）焦半径1.设椭圆22162xy和双曲线2213xy的公共焦点为1F，2F，A是两曲线的一个公共点，则12||||AFAF的值等于()【A】A．3B．4C．5D．6解：设椭圆的长轴长为12a，双曲线的实轴长为22a，P到两焦点的距离分别为m，(0)nmn，焦距为2c，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，解得，，2.如图，1F、2F是椭圆1C与双曲线2C的公共焦点，A、B分别是1C，2C在第二四象限的交点，若11AFBF，且13AFO，则1C与2C离心率之积为()A．2B．23C．25D．26【解答】解：转化成焦点三角形：连接2AF，2BF，11AFBF，13AFO，21126AFFBFF，则1AFc，23AFc，在椭圆中，132cca，即椭圆的离心率11231cea在双曲线中，232cca，即双曲线的离心率22231cea，则1C与2C离心率之积为224423123131，故选：A．第5页（二）面积公式3.点P是椭圆221122111(0)xyabab和双曲线22222221(0xyaab，20)b的一个交点，1F，2F是椭圆和双曲线的公共焦点，123FPF，则12bb的值是3．解：设12FPF，设椭圆的短半轴长为1b，长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，虚半轴长为2b，由焦点三角形的面积公式可得2221tan2tan2bb，则22123bb，可得123bb．故答案为：3．4.已知椭圆222116xya与双曲线22215xym有公共焦点1F，2F，且两条曲线在第一象限的交点为P点，则△12PFF的面积为()A．112B．212C．45D．85解：设12FPF，设椭圆的短半轴长为1b，长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，虚半轴长为2b，由焦点三角形的面积公式可得2221tan2tan2bb，△12PFF的面积为2221tan2tan2bb45．故选：C．第6页5.设椭圆221:1128xyC与双曲线222:1(0)Cmxym有公共的焦点1F，2F，点P是1C与2C的一个公共点，则12cosFPF的值为()A．79B．29C．14D．19解：设12FPF，设椭圆的短半轴长为1b，长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，虚半轴长为2b，127cos9FPF．故选：A．记住结论椭圆与双曲线共焦点1F，2F，它们的交点P对两公共焦点1F，2F的张角为12FPF，椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e，则有______________证明：设12FPF，设椭圆的短半轴长为1b，长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，虚半轴长为2b，由焦点三角形的面积公式可得2221tan2tan2bb，222212sincos221ee第7页（三）离心率关系1．求值6.有公共焦点1F，2F的椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，点A为两曲线的一个公共点，且满足1290FAF，则221211ee的值为2．【解答】2212112ee．故答案为：2．7.已知圆锥曲线222212:10:10,0CmxnynmCpxqypq与的公共焦点为1F，2F．点M为1C，2C的一个公共点，且满足1290FMF，若圆锥曲线1C的离心率为34，则2C的离心率为()A．92B．322C．32D．54【解答】由离心率的公式可得，2212112ee，134e，2292e，则2322e．故选：B．8.如图，1F，2F是椭圆22122:1(0)xyCmnmn与双曲线22222:1(0,0)xyCabab的公共焦点，1C，2C的离心率分别记为1e，2e．A是1C，2C在第一象限的公共点，若2C的一条渐近线是线段1AF的中垂线，则2212212(()eeee)A．2B．52C．72D．4【解答】22122122()eeee．故选：A．第8页9.已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F，2F，P是它们的一个交点，且1223FPF，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e．则221231(ee)A．4B．23C．2D．32212314ee．故选：A．10.已知1F、2F是双曲线22122:1(0,0)xyCabab与椭圆222:1259xyC的公共焦点，点P是曲线1C、2C在第一象限的交点，若△12PFF的面积为36，则双曲线1C的离心率为()A．2105B．103C．355D．52【解答】解：根据题意，设(,)Pmn，椭圆2C的方程为：221259xy，则其焦点为(4,0)和(4,0)，则双曲线的焦点1F、2F分别为(4,0)和(4,0)，则有212||8cFF，若△12PFF的面积为36，则可以求∠→根据离心率关系→e则双曲线1C的离心率4210510cea；故选：A．11.已知1F，2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，1e，2e分别为椭圆和双曲线的离心率．若满足221223234ee，则∠12PFF是30°第9页12.若椭圆221122111(0)xyabab与双曲线22222221(0xyaab，20)b有公共的焦点1F，2F，点P是两条曲线的交点，123FPF，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，且121ee，则1(e)A．13B．33C．12D．22【解答】2212134ee，由121ee，即211ee，得：2121134ee，解得：211e（舍)，或2113e，即133e．故选：B．2．均值不等式13.已知椭圆22221(0)xyabab与双曲线22221(0,0)xymnmn有共同的焦点1F，2F，且在第一象限内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e．若123FPF，则12ee的最小值是()A．12B．22C．32D．32【解答】即为2212134ee，由222212121332eeee…，可得1232ee…，当且仅当213ee时，取得最小值32，故选：C．14.已知椭圆2212:1(1)xCymm与双曲线2222:1(0)xCynn的焦点重合，1e，2e分别为1C，2C的离心率，则()A．mn且121eeB．mn且121eeC．mn且121eeD．mn且121ee第10页【解答】解：由a,b,c关系,可得2211mn，即222mn，又1m，0n，则mn，解：设12FPF，设椭圆的短半轴长为1b，长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，虚半轴长为2b，由焦点三角形的面积公式可得2221tan2tan2bb，2212112ee，则121ee．故选：A．15.已知椭圆和双曲线有共同焦点1F，2F，P是它们的一个交点，1260FPF，记椭圆和双曲线的离心率分别1e，2e，则2212ee的最小值是()A．312B．32C．233D．3【解答】2212134ee，222222211212222212123113113()()(4)(423)14442eeeeeeeeee…，当且仅当213ee时，取等号．则2212ee的最小值是：312．故选：A．16.已知1F，2F是椭圆和双曲线的公共焦点，点P是它们的一个公共点，且1260FPF，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e、2e，则1211ee的最大值为()A．34B．43C．334D．433第11页【本题推导一下离心率关系:】解：设椭圆方程是2222111xyab，双曲线方程是2222221xyab，由定义可得121||||2PFPFa，122||||2PFPFa，112||PFaa，212||PFaa，在△12FPF中由余弦定理可得，22212121212(2)()()2()()cos60caaaaaaaa，即2221243caa，2212134ee，由柯西不等式得222212121211311311(1)()(1)()33eeeeee…，即21211416()433ee„，即1211433ee„，当且仅当133e，23e时取等号．故选：D．第12页3．范围17.已知点1F，2F分别是椭圆1C和双曲线2C的公共焦点，1e，2e分别是1C和2C的离心率，点P为1C和2C的一个公共点，且1223FPF，若2(2,7)e，则1e的取值范围是()A．52(,)53B．225(,)35C．57(,)53D．725(,)35【解答】由11cea，22cea，得2212314ee，2212314ee，2(2,7)e，22111(,)74e，则21315(4e，27)7，2115(4e，9)7，217(9e，4)5，又1(0,1)e，17(3e，25)5．故选：D．18.已知1F，2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且1223FPF，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是()A．(1,)B．(0,1)C．(0,2)D．(2，)【解答】有结论2212314ee，则221212313142eeee…，所以1232ee…，等号在22212212313eeee因为椭圆离心率小于双曲线的离心率，所以22213ee，所以它的最小值不能取到。又因为12FPF是钝角，所以2221212()()4aaaac，即222122aac，所以2212112ee，即12122ee，所以121ee，第13页即椭圆和双曲线的离心率乘积的范围是(1,)．故选：A．当然本题我们也可以使用代入消元法，求范围我们可以带入消元之后直接求离心率的乘积不好，求我们可以求222212111(1134)eeee，然后再代入消元，然后转化成二次函数。（四）其他题目19.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F、2F，且两条曲线在第一象限的交点为P，△12PFF是以1PF为底边的等腰三角形．若1||8PF，椭圆与双曲线的离心率分别为1e、2e，则121ee的取值范围是()A．1(0,)2B．14(,)23C．4(,2)3D．1(,)2【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，1||PFm，2||PFn，()mn，由于△12PFF是以1PF为底边的等腰三角形．若1||8PF，即有8m，2nc，由椭圆的定义可得12mna，由双曲线的定义可得22mna，即有14ac，24ac，(4)c，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2248ccc，则2c，即有24c．由离心率公式可得212114164(4)accceeaccccc，由24c可得(4)cc的范围是(12,32)，即有121ee的范围是1(2，4)3．故选：B．第14页20.已知中心在坐标原点的椭圆1C与双曲线2C有公共焦点，且左，右焦点分别为1F，2F，1C与2C在第一象限的交点为P，△12PFF是以1PF为底边的等腰三角形，若1||10PF，1C与2C的离心率分别为1e，2e，则122ee的取值范围是()A．12(2，)B．5(3，)C．(1,)D．5(6，)【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，1||PFm，2||PFn，()mn，由于△12PFF是以1PF为底边的等腰三角形．若1||10PF，即有10m，2nc，由椭圆的定义可得12mna，由双曲线的定义可得22mna，即有15ac，25ac，(5)c，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210cc，可得52c，即有552c．由离心率公式可得1212222(5)1055105212115()55555555cccccceeaacccccccc，设f（c）2115()55cc，可知函数在5(2，5)为增函数，且当5c时，f（c），55()()23fxf，故122ee的取值范围是5(3，)，故选：B． 一、解题知识 （一）基础知识 （二）共焦点的常用结论 二、分类解析 （一）焦半径 （二）面积公式 （三）离心率关系 1．求值 2．均值不等式 3．范围 （四）其他题目