江苏省无锡地区中考数学选择填空压轴题 专题6 四边形的综合问题

专题06四边形的综合问题例1．如图，△APB中，EQAB＝2\R(,2)，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．同类题型1.1如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．同类题型1.2如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（　　）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④同类题型1.3如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有______________．（填序号）同类题型1.4如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（　　）A．BO＝OHB．DF＝CEC．DH＝CGD．AB＝AE例2．图甲是小明 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中EQ\F(AB,BC)＝\F(6,7)，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为EQ54cm\S\UP6(2)，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．同类题型2.1如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为____________．同类题型2.2如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____________．同类题型2.3如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)；顺次连接四边形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)各边中点，可得四边形EQA\S\DO(2)B\S\DO(2)C\S\DO(2)D\S\DO(2)；顺次连接四边形EQA\S\DO(2)B\S\DO(2)C\S\DO(2)D\S\DO(2)各边中点，可得四边形EQA\S\DO(3)B\S\DO(3)C\S\DO(3)D\S\DO(3)；按此规律继续下去…，则四边形EQA\S\DO(2017)B\S\DO(2017)C\S\DO(2017)D\S\DO(2017)的周长是______________．例3．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF＝∠BCE；②EQS\S\DO(△CEF)＝S\S\DO(△EAF)＋S\S\DO(△CBE)；③AF＋BC＞CF；④若EQ\F(BC,CD)＝\F(\R(,3),2)，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）同类题型3.1如图，在矩形ABCD中，EQAD＝\R(,2)AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD；其中正确结论的序号是____________．同类题型3.2如图，在矩形ABCD中，EQBC＝\R(,2)AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：①AD＝DE②EQDH＝2\R(,2)EH③△AEH∽△CFB④EQHO＝\F(1,2)AE其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）A．EQ\F(\R(,2),4)B．EQ\F(1,4)C．EQ\F(1,3)D．EQ\F(\R(,2),3)例4．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE＝AP＝1，EQPB＝\R(,6)，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为EQ\R(,2)；③EB⊥ED；④EQS\S\DO(△APD)＋S\S\DO(△APB)＝1＋\R(,6)．⑤EQS\S\DO(正方形ABCD)＝4＋EQ\R(,6)．其中正确结论的序号是___________________．同类题型4.1如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（　　）A．EQ\F(4－π,4)B．EQ\F(π,4)C．EQ\F(1,4)D．EQ\F(π－1,4)同类题型4.2如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③EQS\S\DO(△ACF)＝1；④EQCE＝\F(1,2)AF；⑤EQEG\S\UP6(2)＝FG﹒DG，其中正确结论的个数为（　　）A．2B．3C．4D．5同类题型4.3如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是______________．EQ（1）EF＝\R(,2)OE；（2）EQS\S\DO(四边形OEBF)：S\S\DO(正方形ABCD)＝1：EQ4；（3）BE＋BF＝\R(,2)OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，EQAE＝\F(3,4)；（5）OG﹒BD＝AE\S\UP6(2)＋CF\S\UP6(2)．同类题型4.4如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为_____________．参考答案例1．如图，△APB中，EQAB＝2\R(,2)，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．解：如图，延长EP交BC于点F，∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC＝150°，∴∠CPF＝180°－150°＝30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB＝PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b，则EQCF＝\F(1,2)CP＝\F(1,2)b，EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)＝8，∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，∴∠EAD＝∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED＝PB＝CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP＝AP＝CD，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积EQ＝EP×CF＝a×\F(1,2)b＝\F(1,2)ab，又∵EQ（a－b）\S\UP6(2)＝a\S\UP6(2)－2ab＋b\S\UP6(2)≥0，∴EQ2ab≤a\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)＝8，∴EQ\F(1,2)ab≤2，即四边形PCDE面积的最大值为2．同类题型1.1如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．解：∵△APE和△ABD是等边三角形，∴AE＝AP＝4，AB＝AD，∠EAP＝∠DAB＝60°，∴∠EAD＝∠PAB＝60°－∠DAP，在△EAD和△PAB中EQ\B\lc\{(\a\al(AE＝AP,∠EAD＝∠PAB,AD＝AB))∴△EAD≌△PAB（SAS），∴DE＝BP，同理△DBC≌△ABP，∴DC＝AP，∵△APE和△BPC是等边三角形，∴EP＝AP，BP＝CP，∴DE＝CP＝3，DC＝PE＝4，∴四边形PCDE是平行四边形，当CP⊥EP时，四边形PCDE的面积最大，最大面积是3×4＝12．同类题型1.2如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（　　）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④解：∵△ABE、△ADF是等边三角形∴FD＝AD，BE＝AB∵AD＝BC，AB＝DC∴FD＝BC，BE＝DC∵∠B＝∠D，∠FDA＝∠ABE∴∠CDF＝∠EBC∴△CDF≌△EBC，故①正确；∵∠FAE＝∠FAD＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180°－∠CDA）＝300°－∠CDA，∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．选B．同类题型1.3如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有______________．（填序号）解： 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB，∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．答案为①②③④．同类题型1.4如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（　　）A．BO＝OHB．DF＝CEC．DH＝CGD．AB＝AE解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AH∥BG，AD＝BC，∴∠H＝∠HBG，∵∠HBG＝∠HBA，∴∠H＝∠HBA，∴AH＝AB，同理可证BG＝AB，∴AH＝BG，∵AD＝BC，∴DH＝CG，故C正确，∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB，∴OH＝OB，故A正确，∵DF∥AB，∴∠DFH＝∠ABH，∵∠H＝∠ABH，∴∠H＝∠DFH，∴DF＝DH，同理可证EC＝CG，∵DH＝CG，∴DF＝CE，故B正确，无法证明AE＝AB，选D．例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中EQ\F(AB,BC)＝\F(6,7)，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为EQ54cm\S\UP6(2)，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．解：如图乙，H是CF与DN的交点，取CD的中点G，连接HG，，设AB＝6acm，则BC＝7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm，∵BC＝7acm，MN＝EF＝4cm，∴EQCN＝\F(7a＋4,2)，∵GH∥BC，∴EQ\F(GH,CN)＝\F(DG,DC)，∴EQ\F(\F(7a－x,2),\F(7a＋4,2))＝\F(1,2)，∴x＝3.5a－2…（1）；∵上下两个阴影三角形的面积之和为EQ54cm\S\UP6(2)，∴6a﹒（7a－x）÷2＝54，∴a（7a－x）＝18…（2）；由（1）（2），可得a＝2，x＝5，∴CD＝6×2＝12（cm），EQCN＝\F(7a＋4,2)＝\F(7×2＋4,2)＝9(cm)，∴EQDN＝\R(,12\S\UP6(2)＋9\S\UP6(2))＝15（cm），又∵EQDH＝\R(,DG\S\UP6(2)＋GH\S\UP6(2))＝\R(,6\S\UP6(2)＋(\F(7×2－5,2))\S\UP6(2))＝7.5（cm），∴HN＝15－7.5＝7.5（cm），∵AM∥FC，∴EQ\F(KN,HK)＝\F(MN,CM)＝\F(4,9－4)＝\F(4,5)，∴EQHK＝\F(5,4＋5)×7.5＝\F(25,6)(cm)，∴该菱形的周长为：EQ\F(25,6)×4＝\F(50,3)（cm）．同类题型2.1如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为____________．解：延长AB至M，使BM＝AE，连接FM，∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°∴AB＝AD，∠A＝60°，∵BM＝AE，∴AD＝ME，∵△DEF为等边三角形，∴∠DAE＝∠DFE＝60°，DE＝EF＝FD，∴∠MEF＋∠DEA═120°，∠ADE＋∠DEA＝180°－∠A＝120°，∴∠MEF＝∠ADE，∴在△DAE和△EMF中，EQ\B\lc\{(\a\al(AD＝ME,∠MEF＝∠ADE,DE＝EF))∴△DAE≌EMF（SAS），∴AE＝MF，∠M＝∠A＝60°，又∵BM＝AE，∴△BMF是等边三角形，∴BF＝AE，∵AE＝t，CF＝2t，∴BC＝CF＋BF＝2t＋t＝3t，∵BC＝4，∴3t＝4，∴EQt＝\F(4,3)．同类题型2.2如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____________．解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴EQFD＝\F(1,2)MD＝\F(1,2)，∴EQFM＝DM×cos30°＝\F(\R(,3),2)，∴EQMC＝\R(,FM\S\UP6(2)＋CF\S\UP6(2))＝\R(,7)，∴EQA′C＝MC－MA′＝\R(,7)－1．同类题型2.3如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)；顺次连接四边形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)各边中点，可得四边形EQA\S\DO(2)B\S\DO(2)C\S\DO(2)D\S\DO(2)；顺次连接四边形EQA\S\DO(2)B\S\DO(2)C\S\DO(2)D\S\DO(2)各边中点，可得四边形EQA\S\DO(3)B\S\DO(3)C\S\DO(3)D\S\DO(3)；按此规律继续下去…，则四边形EQA\S\DO(2017)B\S\DO(2017)C\S\DO(2017)D\S\DO(2017)的周长是______________．解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，∴EQ△AA\S\DO(1)D\S\DO(1)是等边三角形，四边形EQA\S\DO(2)B\S\DO(2)C\S\DO(2)D\S\DO(2)是菱形，∴EQA\S\DO(1)D\S\DO(1)＝5，EQC\S\DO(1)D\S\DO(1)＝\F(1,2)AC＝5\R(,3)，EQA\S\DO(2)B\S\DO(2)＝C\S\DO(2)D\S\DO(2)＝C\S\DO(2)B\S\DO(2)＝A\S\DO(2)D\S\DO(2)＝5，同理可得出：EQA\S\DO(3)D\S\DO(3)＝5×\F(1,2)，EQC\S\DO(3)D\S\DO(3)＝\F(1,2)C\S\DO(1)D\S\DO(1)＝\F(1,2)×5\R(,3)，EQA\S\DO(5)D\S\DO(5)＝5×（\F(1,2)）\S\UP6(2)，EQC\S\DO(5)D\S\DO(5)＝\F(1,2)C\S\DO(3)D\S\DO(3)＝（\F(1,2)）\S\UP6(2)×5\R(,3)，…∴四边形EQA\S\DO(2015)B\S\DO(2015)C\S\DO(2015)D\S\DO(2015)的周长是：EQ\F(5＋5\R(,3),2\S\UP6(1007))．例3．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF＝∠BCE；②EQS\S\DO(△CEF)＝S\S\DO(△EAF)＋S\S\DO(△CBE)；③AF＋BC＞CF；④若EQ\F(BC,CD)＝\F(\R(,3),2)，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）解：延长CB，FE交于点G，∵∠AEF＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠BCE＝90°，∴∠AEF＝∠BCE，①正确；在△AEF和△BEG中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠FAE＝∠GBE＝90°,AE＝BE,∠AEF＝∠BEG))，∴△AEF≌△BEG（ASA），∴AF＝BG，EF＝EG，∵CE⊥EG，∴EQS\S\DO(△CEG)＝S\S\DO(△CEF)，CG＝CF，∴EQS\S\DO(△CEF)＝S\S\DO(△EAF)＋S\S\DO(△CBE)，②正确；∴AF＋BC＝BG＋BC＝CG＝CF，③错误；∵EQ\F(BC,CD)＝\F(\R(,3),2)，∴∠BCE＝30°，∴∠FCE＝∠FCD＝30°，在△CEF和△CDF中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠D＝∠FEC＝90°,∠DCF＝∠ECF,CF＝CF))，∴△CEF≌△CDF（AAS），④正确．同类题型3.1如图，在矩形ABCD中，EQAD＝\R(,2)AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD；其中正确结论的序号是____________．解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴EQAE=\R(,2)AB，∵EQAD=\R(,2)AB，∴AE＝AD，在△ABE和△AHD中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠BAE＝∠DAE,∠ABE＝∠AHD＝90°,AE＝AD))，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE＝DH，∴AB＝BE＝AH＝HD，∴EQ∠ADE＝∠AED＝\F(1,2)（180°－45°）＝67.5°，∴∠CED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠CED，故①正确；∵EQ∠AHB=\F(1,2)（180°－45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE＝∠AED，∴OE＝OH，∵∠DOH＝90°－67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DOH＝∠ODH，∴OH＝OD，∴OE＝OD＝OH，故⑤正确；∵∠EBH＝90°－67.5°＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD，又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°在△BEH和△HDF中EQ\B\lc\{(\a\al(∠EBH＝∠OHD,BE＝DH,∠AEB＝∠HDF))∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD＝BE、DF＝EH＝CE，CF＝CD－DF，∴BC－CF＝（CD＋HE）－（CD－HE）＝2HE，所以④正确；∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故②错误；综上所述，结论正确的是①③④⑤．同类题型3.2如图，在矩形ABCD中，EQBC＝\R(,2)AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：①AD＝DE②EQDH＝2\R(,2)EH③△AEH∽△CFB④EQHO＝\F(1,2)AE其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）解：在矩形ABCD中，EQAD＝BC＝\R(,2)AB＝\R(,2)CD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∵AD⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴EQAD＝\R(,2)AB，∴AH＝AB＝CD，∵△DEC是等腰直角三角形，∴EQDE＝\R(,2)CD，∴AD＝DE，∴∠AED＝67.5°，∴∠AEB＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠AEB，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE，故①正确；设DH＝1，则AH＝DH＝1，EQAD＝DE＝\R(,2)，∴EQHE＝\R(,2)，∴EQ2EQ\R(,2)HE＝2EQ\R(,2)≠1，故②错误；∵∠AEH＝67.5°，∴∠EAH＝22.5°，∵DH＝CD，∠EDC＝45°，∴∠DHC＝67.5°，∴∠OHA＝22.5°，∴∠OAH＝∠OHA，∴OA＝OH，∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，∴OH＝OE，∴EQOH＝\F(1,2)AE，故④正确；∵AH＝DH，CD＝CE，在△AFH与△CHE中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠AHF＝∠HCE＝22.5°,∠FAH＝∠HEC＝45°,AH＝CE))，∴△AFH≌△CHE，∴∠AHF＝∠HCE，∵AO＝OH，∴∠HAO＝∠AHO，∴∠HAO＝∠BCF，∵∠B＝∠AHE＝90°，∴△AEH∽△CFB，故③正确．答案为：①③④．同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）A．EQ\F(\R(,2),4)B．EQ\F(1,4)C．EQ\F(1,3)D．EQ\F(\R(,2),3)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴EQBE＝\F(1,2)BC＝\F(1,2)AD，∴△BEF∽△DAF，∴EQ\F(EF,AF)＝\F(BE,AD)＝\F(1,2)，∴EQEF＝\F(1,2)AF，∴EQEF＝\F(1,3)AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE＝DE，∴EQEF＝\F(1,3)DE，设EF＝x，则DE＝3x，∴EQDF＝\R(,DE\S\UP6(2)－EF\S\UP6(2))＝2\R(,2)x，∴EQtan∠BDE＝\F(EF,DF)＝\F(x,2\R(,2)x)＝\F(\R(,2),4)；选A．例4．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE＝AP＝1，EQPB＝\R(,6)，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为EQ\R(,2)；③EB⊥ED；④EQS\S\DO(△APD)＋S\S\DO(△APB)＝1＋\R(,6)．⑤EQS\S\DO(正方形ABCD)＝4＋EQ\R(,6)．其中正确结论的序号是___________________．解：①∵∠EAB＋∠BAP＝90°，∠PAD＋∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，EQ\B\lc\{(\a\al(AE＝AP,∠EAB＝∠PAD,AB＝AD))，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此选项成立；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP＋∠BEP，∠APD＝∠AEP＋∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED；故此选项成立；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵EQBE＝\R(,BP\S\UP6(2)－PE\S\UP6(2))＝2，∴EQBF＝EF＝\R(,2)，故此选项正确；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EQEP＝\R(,2)，又∵EQPB＝\R(,6)，∴BE＝2，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝2，∴EQS\S\DO(△ABP)＋S\S\DO(△ADP)＝S\S\DO(△ABD)－S\S\DO(△BDP)＝\F(1,2)EQS\S\DO(正方形ABCD)－EQ\F(1,2)×DP×BE＝EQ\F(1,2)×（4＋EQ\R(,6)）－EQ\F(1,2)×2×2＝EQ\F(\R(,6),2)．故此选项不正确．⑤∵EQEF＝BF＝\R(,2)，AE＝1，∴在Rt△ABF中，EQAB\S\UP6(2)＝（AE＋EF）\S\UP6(2)＋BF\S\UP6(2)＝5＋2\R(,2)，∴EQS\S\DO(正方形ABCD)＝EQAB\S\UP6(2)＝5＋2EQ\R(,2)，故此选项不正确．答案为：①②③．同类题型4.1如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（　　）A．EQ\F(4－π,4)B．EQ\F(π,4)C．EQ\F(1,4)D．EQ\F(π－1,4)解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为1，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．而正方形ABCD的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为EQ4×\F(90π×1\S\UP6(2),360)＝π，∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4－π，∴把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则EQP＝\F(4－π,4)．选：A．同类题型4.2如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③EQS\S\DO(△ACF)＝1；④EQCE＝\F(1,2)AF；⑤EQEG\S\UP6(2)＝FG﹒DG，其中正确结论的个数为（　　）A．2B．3C．4D．5解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD＝∠CAF＝22.5°，∵BH＝DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠FAD＝22.5°，∴∠HAC＝∠FAC，∴HM＝FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF＝FM，∴FH＝2DF＝2BH，故选项①②正确；③在Rt△FMC中，∠FCM＝45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴EQAC＝2\R(,2)，EQMC＝DF＝2\R(,2)－2，∴EQFC＝2－DF＝2－（2\R(,2)－2）＝4－2\R(,2)，EQS\S\DO(△AFC)＝\F(1,2)CF﹒AD≠1，所以选项③不正确；④EQAF＝\R(,AD\S\UP6(2)＋DF\S\UP6(2))＝\R(,2\S\UP6(2)＋(2\R(,2)－2)\S\UP6(2))＝2\R(,4－2\R(,2))，∵△ADF∽△CEF，∴EQ\F(AD,CE)＝\F(AF,FC)，∴EQ\F(2,CE)＝\F(2\R(,4－2\R(,2)),4－2\R(,2))，∴EQCE＝\R(,4－2\R(,2))，∴EQCE＝\F(1,2)AF，故选项④正确；⑤延长CE和AD交于N，如图2，∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，∴CE＝EN，∵EG∥DN，∴CG＝DG，在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EQEG\S\UP6(2)＝FG﹒CG，∴EQEG\S\UP6(2)＝FG﹒DG，故选项⑤正确；本题正确的结论有4个，故选C．同类题型4.3如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是______________．EQ（1）EF＝\R(,2)OE；（2）EQS\S\DO(四边形OEBF)：S\S\DO(正方形ABCD)＝1：EQ4；（3）BE＋BF＝\R(,2)OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，EQAE＝\F(3,4)；（5）OG﹒BD＝AE\S\UP6(2)＋CF\S\UP6(2)．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF＋∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＋∠COE＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠BOE＝∠COF,OB＝OC,∠OBE＝∠OCF))，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，BE＝CF，∴EQEF＝\R(,2)OE；故正确；（2）∵EQS\S\DO(四边形OEBF)＝S\S\DO(△BOE)＋S\S\DO(△BOE)＝S\S\DO(△BOE)＋S\S\DO(△COF)＝S\S\DO(△BOC)＝\F(1,4)S\S\DO(正方形ABCD)，∴EQS\S\DO(四边形OEBF)：S\S\DO(正方形ABCD)＝1：4；故正确；（3）∴EQBE＋BF＝BF＋CF＝BC＝\R(,2)OA；故正确；（4）过点O作OH⊥BC，∵BC＝1，∴EQOH＝\F(1,2)BC＝\F(1,2)，设AE＝x，则BE＝CF＝1－x，BF＝x，∴EQS\S\DO(△BEF)＋S\S\DO(△COF)＝\F(1,2)BE﹒BF＋\F(1,2)CF﹒OH＝\F(1,2)x（1－x）＋\F(1,2)（1－x）×\F(1,2)＝－\F(1,2)（x－\F(1,4)）\S\UP6(2)＋\F(9,32)，∵EQa＝－\F(1,2)＜0，∴当EQx＝\F(1,4)时，EQS\S\DO(△BEF)＋S\S\DO(△COF)最大；即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，EQAE＝\F(1,4)；故错误；（5）∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB＝OG：OE，∴EQOG﹒OB＝OE\S\UP6(2)，∵EQOB＝\F(1,2)BD，EQOE＝\F(\R(,2),2)EF，∴EQOG﹒BD＝EF\S\UP6(2)，∵在△BEF中，EQEF\S\UP6(2)＝BE\S\UP6(2)＋BF\S\UP6(2)，∴EQEF\S\UP6(2)＝AE\S\UP6(2)＋CF\S\UP6(2)，∴EQOG﹒BD＝AE\S\UP6(2)＋CF\S\UP6(2)．故正确．故答案为：（1），（2），（3），（5）．同类题型4.4如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为_____________．解：如图，设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，∵E为MN的中点，S为KH的中点，∴A，E，S共线，F为QR的中点，S为KH的中点，∴B、F、S共线，由△AME∽△PQF，得∠SAP＝∠FPB，∴ES∥PF，△PNE∽△BRF，得∠EPA＝∠FBP，∴PE∥FS，则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点，∴G的轨迹为△CSD的中位线，∵CD＝AB－AC－BD＝6－1－1＝4，∴点G移动的路径长EQ\F(1,2)×4＝2．