隐函数的偏导数

隐函数的偏导数 第五节 隐函数的偏导数 ?5.1 隐函数的偏导数 与方程确定隐函数类似, F(x,y),0y,y(x)方程确定隐函数, 即将F(x,y,z),0z,z(x,y) 代入方程有 . z,z(x,y)F(x,y,z(x,y)),0(4.1) x 应用复合函数求偏导公式，将上式两边关于求偏导，有 ,z ,,F,1，F,,0 , 解得 xz ,x ,F,zx,,. ,,xFz 同理，对(4.1)式两过关于y求偏导，有 ,F,z,zy ,,,,, 解得 . F,1，F,,0yz,,yF,yz ,xF 注意:这里是关于对中间变量求偏导，F对x ,x中间变量求偏导时，y,z视为常数，是关于对中Fy 81 ,间变量求偏导，, z视为常数，F是关于对中间变yxz z量求偏导，视为常数，关于方程确定多元隐函x,y 数，并且偏导存在的条件与证明比较复杂，读者可参看数学分析教材. 在实际中求方程确定多元隐函数偏导数时，不一定要用公式, 尤其在方程中含有抽象函数，可利用求公式的方法较方便. 33 例1 方程确定隐函数z,3xyz,a 2,z,z ,，求. z,z(x,y) ,x,x,y x 解:由,方程两边关于求偏导，有 z,z(x,y) ,z,z23z,,3y(z，x),0 , 解得 ,x,x ,zyz ,. 方程两边关于y求偏导，有 2,xz,xy ,zxz,z,z2,，解得. 3z,,3x(z，y,),02,y,y,yz,xy 2,z,yz ,()2,x,y,yz,xy 82 ,z,z2(z，y,)(z,xy),(2z,,x)yz ,y,y , ,22(z,xy) ,zxz ,将代入上式，化简整理有 2,yz,xy 24222,zz(z,2xyz,xy) ,. 23,x,y(z,xy) 222 例2 确定F(x，y，z,x，y，z),0 ,y,y ,, 求. y,y(x,z) ,x,z x 解:由, 方程两边关于求偏导，有 y,y(x,z) ,y,y ,,F(1，)，F(2x，2y,),0， 解得 12 ,x,x ,,F，2xF,y12,,，由x,y称性，得 ,,,xF，2yF12 ,,F，2zF,y12,,. ,,,zF，2yF12 例3 设F(x,y,y,z,z,x),0, 求证 83 ,z,z =1. ， ,x,y 解 由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意知方程确定,方程两边z,z(x,y)取微分，有 dF(x,y,y,z,z,x),d,0, 有 0 ,,,Fd(x,y)，Fd(y,z)，Fd(z,x),0, 即 123 ,,,F(dx,dy)，F(dy,dz)，F(dz,dx),0. 123有 ,,,,,,(FF)dx(FF)dy(FF)dz,，,,,，两边132123 ,,F,F同除以,有 23 ,,,,,FF,FF1321,，dzdxdy, 于是 ,,,,,,FFFF2323 ,,,,F,FF,F,z,z1321,,, , ,,,,,xF,F,yF,F2323 ,,F,F,z,z23，,,1 则 . ,,,x,yF,F23 从上面几个例题可知，我们在求方程确定隐函数 的偏导数时，可用公式或用求公式的方法或用微分， 可灵活选择. 84 ?5.2 隐函数组偏导数 方程确定隐函数可以推广到方程组确定一组隐函数，设方程组 F(x,y,u,v),0, , , 确定隐函数组, ,G(x,y,u,v),0, , 即 u,u(x,y),v,v(x,y) F(x,y,u(x,y),v(x,y),0,G(x,y,u(x,y),v(x,y),0. 上式两边对求偏导，有 x ,u,v ,,,F，F,，F,,0,xuv ,x,x 解方程组， 得 ,u,v ,,,G，G,，G,0.xuv ,x,x 85 ,,FF,,FFxvux ,,,,GGGG,u,vuxxv , . ,,,, ,x,,,x,,FFFFuvuv ,,,,GGGGuvuv ,,FFuv 称为函数的雅可比(Jaco bi)行到式,F,G ,,GGuv ,,FFuv ,(F,G) ,记作 , 则 ,(u,v) ,,GGuv ,(F,G),(F,G) ,u,v,(x,v),(u,x),, , . ,, ,(F,G),(F,G),x,x ,(u,v),(u,v) 86 ,u 从上面两式我们发现，的值是一个分式，前面是 ,x ,(F,G),(F,G) u负号，分母是，分子是把中换成 ,(u,v),(u,v) ,(F,G),(F,G),v xv，即. 而的分子恰好是中换 ,x,(x,v),(u,v) ,u,v x成. 同理，我们可求出，也符合这种规律， ,y,y ,(F,G),(F,G) ,u,v,(y,v),(u,y) 即,,, . ,, ,(F,G),(F,G),y,y ,(u,v),(u,v) 如果方程组确定 ，你能u,u(x,v),y,y(x,v) ,u,y,u,y ,,,写出吗,试一试，并且验证是否正确. ,x,x,v,v 当然在实际计算时，可以不必用这些公式，要掌握求隐函组偏导数的方法. 87 2222,uvxy，,,,0, , 例4 设 求, ,uvxy,，,，1,0., ,x,y . , ,u,u 解 由题意知, 方程组确定隐函数组 u, 方程组两边对求偏导，有 x,x(u,v),y,y(u,v) ,x,y,x,y 2u,2x,,2y,0,,1,,y,x,0. ,u,u,u,u 利用克莱姆法则，解出 ,x2xu，1,y2x，2yu ,,, , . 22,u,u2x,y2x,y xu,yv,0,, ,u,u, 例5 设 求. ,, ,x,y,yu，xv,1., 解 由题忌知方程组确定隐函数 , 方程组两边取微分，有 u,u(x,y),v,v(x,y) 88 xdu，udx,ydv,vdy,0,, , 把看成du,dv, ,ydu，udy，xdv，vdx,0., 未知，解得 1 du,[,(xu，yv)dx，(xv,yu)dy], 22 x，y ,uxu，yv,uxv,yu ,,,.有 , 2222,x,yx，yx，y ,vyu,xv dv,同理，我们还可求出，得到 , 22,xx，y,vxu，yv ,,. 22,yx，y 例6 设 2y, 且 u,f(x,y,z),,(x,e,z),0,y,sinx ,u ,,,0,求. 3 ,x 解法一 由题意知，, ，因y,y(x)z,z(x)此 89 dudydz ,,,fff,，， , (1) xyz dxdxdx dy 由,cosx. (2) dx 2yx方程 两边对求导, ,(x,e,z),0 dydzy,,,,2x，,e,，,,0, 解得 123 dxdx dz1y,, ,,(2x,，ecosx,). (3) 12 ,dx,3 把(2)、(3)代入(1), 有 du1x,,,,,cos(2,cos,),f，fx,fx，ex12xyz ,dx,3 . 如果我们利用多元函数的一阶微分不变性及四 则运算就更方便.只要求出 这个式du,式子,dx du 子就是. dx ,,, 解法二 由 , dufdxfdyfdz,，，xyz(4) 90 2y , 有 d,(x,e,z),0 2y,,,, 有 ,d(x)，,de，,dz,0123 y,,, , 有 ,2xdx，,edy，,dz,0123 y,,,, 解得 ,2xdx，,ecosxdx，,dz,0123 1y,,dz(,2x,ecosx)dx. ,,，12 ,,3 (6) 把(5)、(6)代入(4),有 1y,,,,du,[f，fcosx,(,2x，,ecosx)]dx12xy ,,3 , 因此 ,fduyz,,,,ffcosx(2xecosx).,，,,，, 12xy ,dx,3 ?5.3 反函数组的偏导数 对于物理中一些问题的解释与计算及重积分的计算，通常都要选择适当的坐标系，写出坐标变换，例如平面上的坐标与另一种坐标之间的(x,y)(u,v) 91 关系，即 x,x(u,v),, , (7) 有, ,y,y(u,v)., x,x(u,v),0,, , (8) , ,y,y(u,v),0., 方程组(8)可确定函数组, .u,u(x,y)v,v(x,y)称为 方程组(7)的反函数组. 从方程组(8)可利用方程组确定隐函组求偏导数的方法，来求反函数组的偏导数. 下面我们来研究函数的雅可比行列式与反函数组雅可比行列式之间的关系. 将代入(8)，有 u,u(x,y),v,v(x,y) x,x[u(x,y),v(x,y)],0, y,y[u(x,y),v(x,y)],0. xy将上式分别对和求偏导，有 92 ,,,,xuxv0,,,0,,,,,,xuxv1,,,0,,uyvyuxvx ,, 和 ,, ,,,,,,,,,,yuyv0,,,0.yuyv1,,,0.uxvxuyvy,, ,,,,xu，xv,0,,,,,,xuxv，,1,,uyvyuxvx ,, 和 ,, ,,,,,,,,,,yu，yv,0,yu，yv,1.uxvxuyvy,, 由 ,,,,,,,,ux，vxuy，vy,,,uvxxxuxvxuyvxxuu ==, ,,,,,,,,,,,,xyuuux，vxuy，vyvvyyyuyvyuyv10,(u,v),(x,y) ,1, 即 . ,,101,(x,y),(u,v) 这个结果与一元函数的反函数的导数公式dxdy 是类似的. ,,1 dydx 这一结果可推广到三维以上空间的坐标变换. 例如，函数组 , , x,x(u,v,w)y,y(u,v,w)z,z(u,v,w) 93 确定反函数组 . u,u(x,y,z),v,v(x,y,z),w,w(x,y,z) ,(x,y,z),(u,v,w)在满足一定条件下，有. ,,1 ,(u,v,w),(x,y,z) u,x,e，usinv, , 例7 确定反函数组 , ,uy,e,ucosv., u,u(x,y),, ,u,u,v,v, 求,,,. , ,x,y,x,y,v,v(x,y)., 解 由, 方程组两边u,u(x,y),v,v(x,y)对求偏导，有 x ,u,u,v,u1,e,，sinv，ucosv,,,,x,x,x, 解得 , ,,u,u,vu,0,e,,cosv，usinv,. ,x,x,x, 94 ,usinv ,, u,xe(sinv,cosv)，1 u ,v,e，cosv ,.u,xu[e(sinv,cosv)，1]同理, 方程两边对求偏导,可得 y u,ucosv,ve，sinv ,,,,uu,y,ye(sinv,cosv)，1u[e(sinv,cosv)，1] . 2,xuv,,，, , 例8 设确定反函数组, ,2yuv,，., u,u(x,y),, ,u,v,u,v, ,,, 求. , ,x,x,y,y,v,v(x,y)., x 解 由, 方程组两边对u,u(x,y),v,v(x,y)求偏导，得 95 ,u,v, 1,,2u,，, ,,u,2v,,x,x , 解得 , , ,u,v,x4uv，1,0,，2v. ,,,x,x ,v1 ,. ,x4uv，1 同理，方程组两边对求偏导，可得y ,u1,v2u ,,,. ,y4uv，1,y4uv，1 第六节 方导数与梯度 ?6.1方向导数 ,u,u,u ,, 我们知道，偏导数能表达沿三u(p) ,x,y,z 个坐标轴方向的变化大小，但仅知道这一点，在实际应用中是不够的. 例如用混凝土来浇注水坝时，水坝中各点的温度就不一样，由热胀冷缩，生产了温度应力会使坝发生裂缝.在点,如果温度沿某一方向变p0 96 化来得大，那么裂缝就很可能在这个方向发生. 对于静电位也是如此，如果在某一点沿某一方向的电位变化大，在这一方向就可能会引起放电现象. 由此可见，对于函数需要研究在一点u(p)u(p)沿某一方向的变化率. p(x,y,z) 定义 设三元函数在的某邻域u0000 3内有定义，l为从点出发的射线，u(p),Rp00 ,u(p)为 l上且含于内的任一点，以表p(x,y,z)0 示与两点的距离，若极限 pp0 ()()up,up,u0llimlim存在, 则称此极限, ,,0,,0,, ,u upp为函数在点沿方向l 的方向导数，记作或00 ,lf(p)u(x,y,z)或. ,0,000 uxp 容易看到，若在点处存在对的偏导数，则0 uxp在点沿轴正方向的方向导数就是 0 ,u,u p,p.00 ,l,x lx 当方向为轴负向时，则有 97 ,u,u . p,,p00 ,l,x ,u,u,u一般情形下，方向导数与,,有什么关系呢, ,x,y,z p(x,y,z) 定理8 若函数在点可微，则uu0000 l在点处沿任一方向的方向导数都存在，且 p0 ,,,,uuuu ,，，ppcos,pcos,pcosr0000,l,,,xyz, 其中 l,{cos,,cos,,cos,}.(1) l证 设为上任一点， 由p(x,y,z) , , ,,,,pp,x,x,y,y,z,z,,x,,y,,zo000 , ,,,,,xyz00, 有,,,,lpp,,o ,,,,, ,c,y,z ,cos,,,cos,,,cos, (2) ,,, p由u(p)在点可微，则有 0 98 u(p),u(p),u(x，,x,y，,y,z，,z),u(x,y,z)0000000 ,u,u,u . 上式两p,x，p,y，p,z，o(,)000 ,x,z,z ,端同除以 结合(2)式, 有 ()()up,up(),u,x,u,y,u,zop0limlim[],p，p，p，000,,,,00,,,,,,x,x,z ,,,uuu ，，=, 所以 pcos,pcos,pcosr000 ,,,xyz ,u,u,u,u p,pcos，pcos，pcosr.,,0000,,x,y,z, 对于二元函数,相应于(1)的结果是 z,f(x,y) ,f ,,. pf(x,y)cos,f(x,y)cos,,，0x00y00 ,l , x其中是平面向量分别与轴、y轴正向的夹角. ,,,l 22u,ln(x，y，z) 例1 求函数在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,,2,2)方向的方向导 99 数. , ,,l,AB,2,,2,1 解 由, , 2,21,,00,,AB,,,,l,cos,,cos,,cos,, ,, 333,, 122 cos,,,,cos,有cos,,, ,. 由 333,u1 , , 22,xx，y，z ,u1y ,, 2222,yx，y，zy，z ,u1z ,则 , 2222,zx，y，zy，z ,u1,u1,u A,A,, , . 于是 A,0 ,x2,z2,y ,u122111 A,，,0，(,)，，,. ,l233322 Y 例2 1O100 X 2,1,0,,,,,,，,;当yxx (,),fxy 如图, 0,其余部份., 8-14所示，这个函数在原点不连续(因为 )所以limf(x,y),1limf(x,y),0 xy,oo(x,y),(o,o)(,)(,) 220,y,xy,x 在原点处不可微. f(x,y)(o,o) 但在始于原点的任何射线上，都存在包含原点的充分小一段， 图8-14 在这一段上的函数恒为零，于是,由方向导数定义, f l在原点处沿任何方向, 都有 f, . ,0(o,o) l, 这个例子说明(i)函数在一点可微是方向导数存在的充分条件而不是必要条件, (ii)函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要条件，当然更不是充分条件，我们还可以说明偏导数存在也不是方向导数存在的充分条件. 对此，读者可举例子来说明 ?6.2 梯度 101 l 研究了函数在点p沿方向的变化率u,u(p)0 l之后，我们还需进一步研究，当点取定之后，取p ,u 什么方向时，取到最大值，最大值是多少? ,l 由 ,u,u,u,u p,pcos,，pcos,，pcos,0000,l,y,y,z ,u,u,u,, ,,,,,pcos,,cos,,cos, , ,,0 ,x,y,z,, ,u p即可看成两矢量的数量积 0 ,l 0,,由, 因此, 把cos,,cos,,cos,,l ,u,u,u,, ,,看成一个矢量. ,, ,x,y,z,, 定义 矢量 ,u,u,u,u,u,u,, i，j，k,,,称为函数u(p),,,x,y,z,x,y,z,, u在点p处的梯度，记为grad(grad是gradient缩102 写)，即 ,u,u,u,u,u,u,, guadu,i，j，k,,, , ,, ,x,y,x,x,y,z,,于是 ,u,u,u,,gradu(p),gradu|p,,,|p, ,,000 ,x,y,z,, ,u,u,u222guadup,()，()，()p. 00 ,x,y,z ,u0p,gradu(p)l00 ,l 0gradu . ,gradu(p),lcos,,gradu(p)cos,00 , 其中是矢量U(x,y,z)=Cgradu(p)l与的夹角. 由0 U(x,y,z)=C此得出下面的结论: pl ul(i)在点p处沿方向的方au l向导数，等于梯度在方向al 上的投影，如图8-15. 图8-15 103 ,u0p,gradu(p),l 00 ,l 0,,0gradu(p)(ii)当，即的方向与梯度方向一l0致，或者说函数在p点沿梯度方向的方向导数u(p)0 ,u 取到最大值，最大值等于梯度的摸, gradu(p)0,l 即 ,u max(p),guadu(p) . 00 ,l uuu这就是说，当在p可微时，在p的梯度方向是00 值增长最快的方向. , 0,,,lgradu(p)当, 即的方向与梯度方向相反，0 p或者说，函数在点沿梯度的反方向u(p)0 ,gradu(p)，方向导数取得最小值为0 . ,gradu(p)0 综上所述，函数的梯度描述了函数的变化最大的方向和最小方向的变化率，虽然上述结果是在直角坐标系下讨论时，但梯度这个矢量实质上是和坐标系的104 选择无关的. 23p(1,1,1) 例3 求在点处u,xy，z,xyz0沿哪个方向导数最大，最大值是多少. 解 由 ,u,u,u22, ,y,yz,,2xy,xz,,3z,xy,x,y,z ,u,u,u 则. p,0,p,1,p,2000 ,x,y,z ,,gradu(p),0,1,2, 0 . gradu(p),0，1，4,50 ,,u0,1,2 于是p在处沿方向的方向导数最大，最0 5大值是. ,x,0 例4 确定常数，使在右半平面上的向量 42,242, A(x,y),{2xy(x，y),,x(x，y)}为某二元函数的梯度, u(x,y) 解 由 105 ,u,u,,42,242,,,gradu,,,2xy(x，y),,x(x，y),, ,x,y,, , ,u,u42,242,有, ,2xy(x，y),,,x(x，y) ,x,y 22,u,u ,又, 得 ,x,y,y,x 42,42,,1 2x(x，y)，2xy,(x，y)2y 42,2342,,1, 化简 ,,2x(x，y),x,4x,(x，y) 42,,,,1; 解得. 4x(x，y),(,，1),0 梯度具有以下运算法则: 设可微， 为常数，则 ,,,u,v (1); grad(,u，,v),,gradu，,gradv (2); grad(u,v),ugradv，vgradu ,gradf(u,f(u)gradu(3). (读者自己证明) 例5 求. 其中为可微函数, 其gradf(r)f(r)中 ， r,xi，yj，zk.r,r 解 由公式(3)知 106 ,r,r,r ,,f(r)[i，j，kgradf(r),f(r)gradr= ,x,y,z ,rx,ry,rz ,,,,,]. 由,于是 ,xr,yr,zr xyzr0,,,gradf(r),f(r)[i，j，k],f(r),f(r)r. rrrr 第七节 多元函数的极值及应用 ?7.1 多元函数的泰勒公式 我们知道一元函数的泰勒公式的效果是可以按给定的精度要求用多项式逼近一个函数，那么多元函数是否也有类似的结果，我们可利用一元泰勒公式的结论，得到 p(x,y) 定理9 (泰勒定理)若函数在点f000 n，1u(p)某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对0 u(p)(x，h,y，k)内任一点，存在相应000 , 使得 ,,(0,1) 107 ,,1,,2f(x，h,y，k),f(x,y)，(h，k)f(x,y)，(h，k)f(x,y)00000000 ,x,y2!,x,y 1,,1,,nn1，，？，(h，k)f(x,y)，(h，k)f(x，,h,y，,)0000k n!,x,y(n，1)!,x,y (6-1) n(6-1)式称为二元函数在点p的阶泰勒公式. f0 ,(t),f(x，th,y，tk)证 作函数 ，由定理00 条件知 一元函数在上满足一元函数的泰勒定,(t)[0,1] 理条件. 因为由的定义知 ,(t) ,f,f,, ,,(t),h，k,(h，k)f(x，th,y，tk),00 ,x,x,x,y 2222,f,f,f,f22,, ,(t),h，hk，kh，k22,x,y,y,x,x,y 222 ,f,f,f22 ,h，2hk，k22,x,y,x,y 108 222,,,22 ,，，(h2hkk)f22,,xy,,xy ,,2=, 由数学归纳(h，k)f(x，th,y，tk)00 ,x,y 法可得 ,,()mm ,(t),(h，k)f(x，th,y，tk)00 ,x,y . (m,1,2,？n，1) 所以 (n)(n，1),,,(0)(0)(0)(),,,,,t2nn，1(),(0)，，，，，ttt？tt,, 1!2!!(，1)!nn , t,1取，有 (n)(n，1),,,(0)(0)(0)(0),,,,n，1(1),(0)，，，，，？t,, 1!2!!(，1)!nn, . (0,,,1) ,(1),f(x，h,y，k),,(0),f(x,y)由, 0000 ,, , ,(0),(h，k)f(x,y), 00 ,x,y 109 ,,2,,,(0),(h，k)f(x,y), 00 ,x,y ,,()nn,，,,(0)(hk)f(x,y)00 ,,xy ,,(1)1n，n，. ,,(),(h，k)f(x，,h,y，,k)00 ,x,y 因此 ,,1,,2 f(x，h,y，k),f(x,y)，(h，k)f(x,y)，(h，k)f(x,y)00000000 ,x,y2!,x,y 1,,n，？，(h，k)f(x,y)，R,00n n!,x,y 1,,1n，R,(h，k)f(x，,h,y，,k)00n (n，1)!,x,y 0,,,1, . R称为泰勒公式的拉格朗余项. 如果用公式中关于n hknf(x，h,y，k)及的次多项式作为的近似00 110 值，由此产生的误差R怎样呢, n n，1u(p)若在内所有阶偏导数的绝对值f(x,y)0 不超过某一个确定的正数M,则 n，1hkMM2Mn，1n，1n，1n，1R,(h，k),(，),,,n (n，1)!(n，1)!(n，1)!,, 22,,h，k . nR表明当时是一个比高阶的无穷小，即有 ,,0pn n , . (,,o)R,o(,)n (x,y),(0,0)特别地, 当时，则称为二元函数的马00 克劳林公式，就可写为 11nn，1,，，,，，？，，f(x,yf(0x,0y)f(0,0)df(0,0)df(0,0)df(,h,,k) ，n!(n1)! . p(x,y)p(x，h,y，k)设，, 000100 p(x，,h,y，,k), ,00 ,z,f(x，h,y，k),f(x,y), 则二元函数0000 的泰勒公式可用点函数形式表出来，即 1112nn，1,，，，？，，f(p)f(p)df(p)df(p)df(p)df(p),10000 ，2!n!(n1)! 111 . 全增量可表示为 ,z 1112nn，1,,，，？，，zdf(p)df(p)df(p)df(p),000 ，2!n!(n1)!. 有兴趣的读者，类似可证m元函数 u,f(p),f(x,x,？x)在点12m 000n，1u(p)的某邻域内有直到阶p(x,x,？x)0012m 的连续编导数，对任一点 000 ，有 p(x，k,x，k,？x，k),u(p)11122mm0 1112nn，1,，，，？，，f(p)f(p)d(p)df(p)df(p)df(p),10000 ，2!n!(n1)! ,,,1,,,f(p)，(k，k，？，k)f(p)，(k，k，？012m012 ,x,x,x2!,x,x12m12 ,1,,,2n，k)f(p)，？，(k，k，？，k)f(p)，Rm012m0n ,xn!,x,x,xm12m 其中 112 ,,,1n，1,，，？，R(kkk)f(p),n12m ，,,,(n1)!xxx12m, 000 . p(x，,k,x，,k,？x，,k),1122mm 这里m元函数的记号与二元函数的记号相同. 在二元函数的泰勒公式中，当n=0时，有 ,,f(x，h,y，k),f(x,y)，(h，k)f(x，,h,y，,k)000000 ,x,x, 或 ,, ,f(x，h,y，k),f(x,y),(h，k)f(x，,h,y，,k),hf(x，,h,y，,k)000000x00 ,x,x ,. ，kf(x，,h,y，,k)y00 这就是二元函数的拉格朗日中值公式，我们有下面的推论. 推论 设在区域G上具有连续的一阶偏f(x,y) 导. ,f(x,y),0,(x,y),G (i)若, 则在Gf(x,y)x 上仅是y的函数; , (ii)若,则在Gf(x,y)f(x,y),0,(x,y),Gy x上仅是的函数; 113 ,, (iii)若 f(x,y),0,f(x,y),0,(x,y),Gxy 则在G上是常值函数. f(x,y) (x,y),(x,y),G 证 (i)我们只要证任给，1020 f(x,y),f(x,y)则, 设1020 ,,,(x),f(x,y),(x)f(x,y),,, 对在区,(x)0x0 [x,x]x,x间(不妨设)上利用拉格朗日定理，1212 有 ,f(x,y),f(x,y),,(x),,(x),,(,)(x,x)20102121 ,,f(,,y)(x,x),0x,,,x, , x02112因此得证, 同理可证(ii)成立. (x,y),(x,y),G(iii)任给 ，利用二元函数中值1122 定理， f(x,y),f(x,y),f[x，(x,x),y，(y,y)],f(x,y)221112112111 ,,,(x,x)f[x，,(x,x),y，,(y,y)]，(y,y)f[x，,(x,x),y21x1212121y12111 ，,(y,y)],0, 因此，在G上是常值函f(x,y)21 值. yp(1,1) 例1 写出函数在点的邻f(x,y),x0 114 域内的展开式，到二次项为止. ,f,fy,1y 解 , ,yx,,xlnx ,x,y 22,f,fy,2y,1y,1,y(y,1)x,,yxlnx，x, 2,x,y,x 23,f,fy2y,3, ,xlnx,,y(y,1)(y,2)x22,x,x,y 33,f,fy3y,2y,2,xlnx,,(2y,1)x，y(y,1)xlnx32,x,x,y , 3,fy,12y,1,yxlnx，2xlnx.由3,x , 于是，按二元函数的泰勒公式h,x,1,k,y,1 有 y x,f(x,y),f[1，(x,1),1，(y,1)] ,1，(x,1)，(x,1)(y,1)，R[1，,(x,1),1，,(y,1)]2 0,,,1, . 其中 115 1y,33y,2y,22R(x,y),y(y,1)(y,2)xdx，3[(2y,1)x，y(y,1)xlnx]dxdy,2 3! y,12y,12y33，3[yxlnx，2xlnx]dxdy，xlnxdy} 1yyy22y3y3232,x[(dx，lnxdy)，3(dx，lndy),(,dx，dxdy，(dx,dxdy)]2326xxxxxx 其中. dx,x,1,dy,y,1 从这里，我们看到余项的形式是很复杂的. 因此， nR如果不需要指出，我就写或. o(,)n ?7.2多元函数的极值 一、多元函数的极值概念 在解决实际问题中，我们已经看到了最大值，最小值的重要性. 求函数的最大值，最小值时，涉及到函数的自变量往往不止一个，因此，就需要求多元函数的最大值，最小值. 而最大值与最小值与极值有着密切的联系.首先我们给出多元函数的极值概念，并利用一元函数极值的性质，推断出多元函数极值的性质. p(x,y) 定义 设函数在点的某z,f(x,y)000116 u(p)p(x,y),u(p)邻域内有定义，若对任何点, 00 f(p),f(p)f(p),f(p)都有 (或 ). 00 则称函数在点p取到极大(或极小)值，点pf00 f称为的极大(或极小)值点. 极大值，极小值统称极值，极大值点，极小值点统称为极值点. (x,y) 由定义知，若在点取极值，则当固定f00 y,yf(x,y)x,x时，一元函数必定在取相同000 ,f(x,y)的极值，若也存在，即 存在，利用一元x00 d f(x,y),0函数取极值的必要条件知，即0x,x0dx ,f(x,y),0f(x,y)y,y. 同理一元函数在x0000 ,也取相同的极值，若也存在，则f(x,y),0y00 ,f(x,y),0，因此，有 y00 定理10 (极值的必要条件)若函数在点fp(x,y)p存在偏导数且在取极值，则有0000 ,,f(x,y),0, . (7.1) f(x,y),0x00y00 (7.1)pp反之，若函数f在点满足式，则称点为f的00稳定点或驻点. 定理指出，若f存在偏导数，则其极 117 值点必是稳定点，但反之不一定成立. 例 ,,f(x,y),y，，，有f(x,y),xyf(x,y),xxy ,,，但在点处f(x,y)O(0,0)f(0,0),f(0,0),0xy 不取极值. 因为在O点的任何一个邻域(0,0)u(O)中，若，当在一，三象限时，. pp,u(O)f(p),0当在二，四象限时，. 因此，不pf(p),0f(0,0)是极值. (x,y) 若 在点 取极值，的偏f(x,y)f(x,y)00 导数只有两种情形: ,,f(x,y) (i) 都存在，则f(x,y)x00y00 ,,f(x,y),0，. f(x,y),0x00y00 p(x,y)即点为稳定点. 000 ,,f(x,y) (ii) ，至少有一个不存f(x,y)x00y00 在. 因此，的极值点一定包含在稳定点或偏f(x,y) 导数不存在点之中. 22f(x,y),x，y 例2 设,在点f(x,y) 处偏导数不存在，但时,有(o,o)(x,y),R 118 , 因此，为极小值. f(x,y),f(0,0),0f(0,0) 极值点的怀疑点找出来后，若是偏导数不存在的 (x,y)(x,y)点, 用函数值不等式来检验点是否0000为极值点. 若极值点的怀疑点是稳定点，我们有下面的定理. 定理11 (极值的充分条件)设函数 (x,y)u(p)在点的某邻域连续，且z,f(x,y)000 ,f(x,y),0有一阶与二阶连续偏导数，如果，x00 ,, f(x,y),0y00 设 ,,,,,,Af(x,y),Bf(x,y),Cf(x,y),,,nx00xy00yy00 , 则 2f(x,y)B,AC,0 (1)当时，一定为极00 值，并且 f(x,y)当A(或C)>0时，为极小值;当A(或00 f(x,y)C)<0时，为极大值; 00 2f(x,y)B,AC,0 (2)当时，不是极值; 00 2f(x,y)B,AC,0 (3)当，还不能断定是00 119 否为极值，须作进一步研究. p(x，h,y，k)u(p) 证 设是内任意一点，000 p,p且即不同时为0，由二元函数在f(x,y)h,k0 (x,y)点处的一阶泰勒公式，有 00 12f(p),f(p)，df(p)，df(x，,h,y，,k)0000 2! 0,,,1, . ,,由 , df(p),f(x,y)h，f(x，y)k,00x00y00有 1122,,,,,,,,,f(p),f(p),df(x，h,y，k),[f(x，h,y，k)h，2f(x，h,yxxny0000000 2!2! 2,,，,k)hk，f(x，,h,y，,k)k]yy00 1122,,,,f(p),f(p),df(x,，h,y,，k),[f(x，,h,y，,k)h，2f(x，,h,y000xx00x00 2!2! 2,,，,k)hk，f(x，,h,y，,k)k], 设 yy00 ,,,,f(x，,h,y，,k),f(x,y)，,, xx00xx001,,,,, f(x，,h,y，,k),f(x,y)，,xy00xy002,,,,. 于是 f(x，,h,y，,k),f(x,y)，,yy00yy003120 122,,,,,,f(p),f(p),[f(x,y)h，2hkf(x,y)，kf(x,y)]0xx00xy00xy00 2! 122，,[h，2hk,,，k,] 123 2! ,,,,,其中当时是无究小量，因此，h,0,k,0123 h,k上式左边差值的符号当的绝对值是较小时(不h,k同时为0), 取决于右端第一个式子的符号. 记 22,,,,,,W,f(x,y)h，f(x,y)hk，f(x，y)kxxxyyy000000 22,Ah，2Bhk，Ck. (1) 2 (i)当B,AC,0时，则A，C都不为0，并且A， C同号，从而 1222W,[(Ah，Bk)，k(AC,B)] A 1222,[(Bh，Ck)，h(AC,B)]. (2) C 不论取什么值(不同为零)，上式方括号内h,kh,k 总是正数，A，C同号，所以 W,0A,0(或C,0)当，有，有 f(p),f(p),0, 即 0 121 f(p),f(p)f(p)所以为极大值. 00 W,0A,0(或C,0)当，有，有f(p),f(p),0，即 0 f(p),f(p).f(p)所以为极小值. 00 2 (ii)当B,AC,0，当A，C有一个不为0时， A,0k,0不妨设,由不同时为0，不妨设，有 h,k hh22W,k[A()，2B()，C] 设 kk h22t,= k(At，2Bt，C) k 2A,0由是一个抛物线，由，f(t),At，2Bt，C 抛物线开口向上，由 22 所以抛物线与t(2B),4AC,4(B,AC),0轴相交，有两个根 h t,由的范围是(-，+), 当在两根之间时，t,, k ，在两根之外时，, 因此f(t),0f(t),0t f(p),f(p)的符号有时正有时负. 0 (2)当A，C同时为0时, 由式知由W,2Bhk, 122 2,0B,AC,0，则B, 显然W随的变动时正h,k x,y时负，因此，函数在点()处不取极f(x,y)00 值. 2A,0 (iii)当B,AC,0时，若，则从(2)式 Ah，Bk,0W,0的第一个多项式看到，当时，有， f(x，h,y，k),f(x,y)这时无法判断值的0000 (x,y)符号, 而函数在点处可能取极值，也f(x,y)00 可能不取极值, 须进一步研究. W 证法二 在判断的符号时，若用二次型中的定理来判断就很方便. 2 (i)当B,AC,0时, A,Bh,,,, ,,,, W由不同时为0, W(h,k),(h,k),h,k,,,, ,,,,C,Dk,,,, AB,, ,, 对应的矩阵为, ,, ,,BC,, 123 AB,, ,,2A,0当(或, 即AC,B,0C,0),0,,, ,,BC,, W,0f(p)时，有, 即为极大值. 0 AB,, ,,2A,0C,0AC,B,0当(或), 即,0,,, ,,BC,, W,0f(p)时，有, 即为极小值. 0 2WWB,AC,0 (ii)若时，为不定的, 即可正 f(p),f(p)可负，从而也不保持定号. 0 2W,0B,AC,0 (iii)当，对于某些，，h,k f(p),f(p)从而也不能判定的符号，还须进一步0 讨论. 33 例2 求函数的极值. f(x,y),x，y,3xy 解 由函数无偏导数不存在的点. 124 ,,f2,3x,3y,0,, ,x , p(0,0)解方程组 解得及,0 ,,f2,,3y,3x,0. ,y, p(1,1)， 1 222,f,f,f ,,3由，，, ,6x,6y22,x,y,x,y 2A,0B,,3C,0在pB,AC,0点，，，，, 0 所以不是极值. f(0,0) 2A,6B,,3C,6pB,AC,0在点，，，，，1 A,0, 所以为极小值. f(1,1),,1 二、多元函数的最大值，最小值 由定理: 若在有界闭区域G上连续，则f(p) 在G上一定能取到最大值与最小值. 即存在f(p) p,p,Gf(p),m,f(p),M，有, 对一切1212p,G，有m,f(p),M. 最大值，最小值也可以在边界点取到，也可以在 125 内部取到. 当在内部取到时，最大值，最小值点一定是极值点，则一定是稳定点或偏导数不存在点. 因此，最大值、最小值点一定包含在区域内部的稳定点和偏导数不存在的点及边界点(边界函数值最大值与最小值点)之中(注意与区间端点不同的是闭 2区域G的边界点有无数个，若G,R，边界点是边 3界曲线上的点，若G,R, 边界点是曲面上的点)，这些怀疑点中函数值中的最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值. 若根据实际问题一定有最大值(或最小值), 而内部有唯一的可疑点，则该点的函数无须判断一定是最大值(或最小值). x 例4 设D是由轴，轴及直线所yx，y,2, 8,16)围成的三角形区域(如图求函数 在D上的最大值. u,sinx，siny,sin(x，y) 解 由函数无偏导数不存在的点， 126 解方程组 ,,u ,cosx,cos(x，y),0,, ,xY, , ,,u ,,cosy,cos(x，y),0. ,y, Ox+y=2πX22,, ,x,y,解得，而在边 33 x,0u,0界或或上. 图8-16 y,0x，y,2, 2,2, (,)因此是唯一的可疑点，所 33 2233,, 为最大值. (,),u 332 三、条件极值 前面我们讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域. 但在实际问题中还有另外一种类型的极值问题，其极值点的搜索范围还受到许多条件的限制. 例如 要 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一个容量为V的长方体无上盖水 127 箱，试问水箱长，宽，高各等于多少时，其所用的 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 最少(即表面积最小). 设水箱的长、宽、高分别为，则表面积为x,y,z (1) s(x,y,z),2(xz，yz)，xy 而目标函数的定义域是, s(x,y,z)x,0,y,0,z,0而且必须满足条件. (2) xyz,v 像这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题，不带约束条件的极值问题称为无条件极值问题. 条件极值问题的一般形式是在条件组 ,(x,x,？x),0,k,1,2,？m k12n (3) (m,n) y,f(x,x,？x)的限制下，求目标函数 12n 4)的极值. ( 以前像这类极值时，只能用消元法化为无条件极值问题. v z,比如上面的例子，由条件(2), 解出, 代入(1) xy式，有 128 v11 f(x,y),s(x,y,),2v(，)，xy xyyx , (x,0,y,0) 129