数列通项公式求法

求数列的通项公式讷河市拉哈一中谷洪明求数列的通项公式数列的通项公式是数列的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.反映了数列中的每一项与每一项的序号的关系基本数列的通项公式(1)1,2,3,4,…(2)1,3,5,7,…(3)3,5,7,9,…(4)2,4,6,8,…(5)1,4,9,16,…(6)2,4,8,16,…(7)–1,1,–1,1,…(8)1,–1,1,–1,…an=(–1)n–1或(–1)n–1(9)等差数列的通项公式an=a1+(n–1)d(10)等比数列的通项公式an=a1qn–1一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式解：变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：例1：数列9，99，999，9999，……例2，求数列3，5，9，17，33，……解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，……可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4，8，……。可归纳成或者两个不同的数列（便不同）∴通项公式为：补充1：写出下列数列的一个通项公式 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf :(1)掌握基本数列的通项公式.(2)分数形式的数列,保持分数线,分子分母分别找通项.(3)当数列中有分数,又有整数时,需要把整数化成分数,即将分母补齐,然后分子分母分别找通项.(4)数列中的项正负交叉出现时,常用(-1)n+1或(-1)n-1来调解.当数列中的项是负正出现时,常用(-1)n来调解.(5)有的数列虽然有通项公式,但通项公式不唯一.(6)并不是所有的数列都有通项公式数列通项公式的常见求法类型1.已知数列的前几项,求数列的通项公式(1)3,5,9,17,…(2)(3)(4)(5)_1,7,_13,19,…(6)9,99,999,9999,…类型二、前n项和法已知前n项和，求通项公式设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1,求﹛an﹜的通项公式.例2：设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1,求﹛an﹜的通项公式.例2：等差数列前n项和公式的应用例2：已知数列﹛an﹜的前n项和公式为sn=2n2-30n:这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；解：将n-1带入数列的前n项和公式，得Sn-1=2(n-1)2-30(n-1).因此an=sn-sn-1=4n-32(n≥2)当n=1时，a1=s1=2-30=-28,也适合上式，所以这个数列的通项公式为an=4n-32.又因为an-an-1=(4n-32)-[4(n-1)-32]=4(n≥2),所以﹛an﹜是等差数列。等差数列前n项和公式的应用变式：已知数列﹛an﹜的前n项和公式为sn=2n2-30n+1这个数列还是等差数列吗？求出它的通项公式；思考？如果一个数列的前n项和的公式是sn=an2+bn+c(a,b,c为常数），那么这个数列一定是等差数列吗？结论：当c=0时这个数列是等差数列类型2.已知数列的前n项和,即sn与n的关系,求数列的通项公式.例1.已知数列的前n项和sn=3n–2,求它的通项公式?分析:大家首先需要理解数列的前n项的和与前n–1项的和.sn=a1+a2+a3+…+an-1+an当n≥2时sn-1=a1+a2+a3+…+an-1an=sn–sn-1解:当n=1时,a1=s1=31_2=1当n≥2时,an=sn_sn-1=3n_2_(3n-1_2)=3n_3n-1=3×3n-1_3n-1=2×3n-1由于a1=1不适合上式.∴an=练习：已知数列的前n项和sn=2n_1求数列的通项公式例7．已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）（2）解：（1），当时由于也适合于此等式∴（2），当时由于不适合于此等式∴【变式训练】已知数列{an}的前n项和Sn,分别求它们的通项公式an.(1)Sn=2n2+3n.(2)Sn=3n+1.【解析】(1)由题可知,当n=1时,a1=S1=2×12+3×1=5,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1.当n=1时,4×1+1=5=a1,所以an=4n+1.(2)当n=1时,a1=S1=3+1=4,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1.当n=1时,2×31-1=2≠a1,所以an=考点2an与Sn关系式的应用 【典例2】(1)设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(　　)A.15　　　　B.16　　　　C.49　　　　D.64(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=(　　)【规范解答】(1)选A.a8=S8-S7=64-49=15.(2)选B．方法一：因为an+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1得，Sn=2(Sn+1-Sn)，整理得3Sn=2Sn+1，所以所以数列{Sn}是以S1=a1=1为首项，为公比的等比数列，所以故选B．方法二:因为Sn=2an+1,所以Sn-1=2an(n≥2),两式相减得:an=2an+1-2an,所以已知数列{an},an∈N*,Sn=(an+2)2.(1)求证:{an}是等差数列.(2)设bn=an-30,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.所以an-an-1=4.所以Tn=(n-15)2-225.当n=15时,数列{bn}的前n项和有最小值为-225.所以{an}是首项为2,公差为4的等差数列.(bn=an-30=(4n-2)-30=2n-31.例2：在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n(n≥2),求通项an.练：类型三、累加法形如的递推式二、迭加法（又叫累加法，逐加法）例3，求数列：1，3，6，10，15，21，……的通项公式解：∴两边相加得：∴……【典例3】(1)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+则an等于(　)A.2+lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnD.1+n+lnn【规范解答】(1)选A.由已知,an+1-an=ln,a1=2,所以an-an-1=ln(n≥2),an-1-an-2=ln,…a2-a1=ln,将以上n-1个式子叠加，得=lnn.所以an=2+lnn(n≥2),经检验n=1时也适合.故选A.已知a1=1,an+1=an+2n，求其通项公式例4：练：类型四、累乘法形如的递推式若数列是等比数，公比为，则若数列满足，其中数列前项积可求，则通项可用逐项作商后求积得到。若数列{an}满足a1=1,an+1=2nan,则数列{an}的通项公式，an=　　　　.(2)由于将这n-1个等式叠乘得=21+2+…+(n-1)=故an= 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：【变式训练】根据下列条件,确定数列{an}的通项公式:(1)a1=1,an+1=3an+2.(2)a1=1,an=an-1(n≥2).(3)a1=2,an+1=an+3n+2.构造数列{an+}为等比数列题型：已知数列{an}中a1=1，an+1=pan+q,求an如何确定？待定系数法：即根据已知=所以数列{}是等比数列.例5：分析：配凑法构造辅助数列例9，已知数列的递推关系为，且，，求通项公式。解：∵∴令则数列是以4为公差的等差数列∴∴∴……两边分别相加得：∴研究an+1=Aan+B的数列通项例2：在{an}中a1=2,an+1=3an+2,求数列的通项公式.例3:已知数列｛an｝,首项为2,且an+1=2an+2求数列｛an｝的通项公式解:∵an+1=2an+2∴an+1+2=2an+4an+1+2=2(an+2)∴数列｛an+2｝是以a1+2=4为首项,以2为公比的等比数列∴an+2=4×2n-1∴an=2n+1_2例4.已知数列｛an｝,an+1=3an+4,且a1=1求数列｛an｝的通项公式?解:设an+1+r=3(an+r)则an+1+r=3an+3ran+1=3an+2r由已知an+1=3an+4∴2r=4,r=2an+1+2=3(an+2)∴∴数列{an+2}是a1+2=3为首项,以3为公比的等比数列∴an+2=3×3n-1∴an=3n+1_2形如an+1=can+d当c=0时,an+1=d∴an=d此数列为常数数列当c=1时,an+1=an+dan+1_an=d【加固训练】1.设数列{an}的前n项和为Sn,已知2an-2n=Sn,则数列{an}的通项公式an=　　　　.【解析】令n=1得a1=2.由2an-2n=Sn①得2an+1-2n+1=Sn+1②,②-①整理得an+1=2an+2n,即即数列是首项为1，公差为的等差数列，故故an=(n+1)·2n-1．答案：(n+1)·2n-12、已知数列{an}，a1=1,an+1=3、数列{an}中,a1=1,2an=例6：取倒法构造辅助数列类型六、形如的递推式当c变为n时，上式化为用叠加法例6：在数列｛an｝,a1=1,求an解：两边取倒数数列{an}中,a1=1,、形如的递推式例8：典型例题例7：设｛an｝是首项为1的正数数列，且（n+1)a2n+1–na2n+an+1an=0(n∈N﹡)求它的通项公式?解:（n+1)a2n+1–na2n+an+1an=0分解因式为(an+1+an)[(n+1)an+1–nan]=0∵数列｛an｝是正数数列∴an+1+an≠0∴(n+1)an+1nan=0(n+1)an+1=nan.设｛an｝是首项为1的正数数列，且求数列｛an｝的通项公式(2014·安徽高考)数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.(1) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :数列{}是等差数列.(2)设bn=3n·,求数列{bn}的前n项和Sn.所以an=n2,从而bn=n·3n,、相除法形如的递推式例7：型的递推公式.已知数列{an}中a1=2，an+1=2an+求数列{an}的通项公式。型的递推公式例5.已知数列{an}中a1=2，an+1=4an+求数列{an}的通项公式。周期 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数数列满足数列的前n积为，则等于解：∴{an}是等差数列，an=1+(n-1)=n1.若a1=1,且an+am=an+m(n,m∈N*),则an=_______解:n=m=1时，a2=a1+a1=2,得a1=1,a2=2m=1时,由an+am=an+m得an+1=an+1，即an+1-an=1n2.若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=_____________解：n=m=1时，b2=b1·b1=4,即b1=2，b2=4，m=1时,由bnbm=bn+m得bn+1=bn·b1=2bn，故{bn}是首项为b1=2，公比为q=2的等比数列，bn=2·2n-1=2n2n练习拓展视野：数列{an}中,求an及Sn.为首项,1为公差的等差数列.a1=3不适合上式.当n≥2时,课堂小结:利用等差数列定义利用等比数列定义累加法累乘法待定系数法构造新数列*以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！