轴对称问题：一般为最短路径问题，经常作定点关于动点所在直线的对称点.
一．解答题
轴对称：30．（1）如图1，在直线l同侧有点A，E，通过尺规作图，在直线l上找到一点P，使得AP+EP的值最小；
（2）应用：如图3，若直线l是一条河流，A、E代
表
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河流同侧的两个工厂，欲在河岸上建一供水站，供A、E两个工厂的用水，为了节省费用，使通水管道到两个工厂的距离之和最短；已知工厂A到河岸的距离为9千米，工厂E到河岸的距离为1千米，A、E两个工厂之间的距离为17千米，请你求出通水管道的最短长度；
轴对称：31．按要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）如图，已知直线l和其外两点A，B．
（1）试在图甲的直线l上找点C，使AC+BC的值最小；
（2）试在图乙的直线l上找点D，使|AD﹣BD|的值最小．
（3）试在图乙的直线l上找点D，使|AD﹣BD|的值最大．
轴对称：32．（2011?青羊区一模）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G为边AD的中点．
（1）如图1，若E为AB上的一个动点，当△CGE的周长最小时，求AE的长．
（2）如图2，若E、F为边AB上的两个动点，且EF=4，当四边形CGEF的周长最小时，求AF的长．
轴对称：33．如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC=2，BC=1．
（1）求折线OPQB的长的最小值；
（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置．
轴对称：34．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值，并用尺规作出此时的Q，R.
轴对称：35．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值，并用尺规作出此时的M，N.
轴对称：36．如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P使P到∠AOB两边的距离相等，且使P到C、D两点的距离和最小．
轴对称：37．如图，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．
轴对称：38．（2009秋?西城区校级期末）已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP=∠NOQ．
（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；
（2）直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系．
解：（1）画法：
（2）答：AM+AN BM+BN．（填“＞”、“=”或“＜”）
轴对称：39．（2013秋?高邮市校级期中）（1）观察发现：
如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上求作一点P，使AP+BP最小．
作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接B′A交直线l于点P，点P即为所求．
如图2，AD是等边△ABC的高，点E是AB的中点，在AD上求作一点P，使BP+PE最小．
作法：连接CE交AD于点P，点P即为所求．若AB=2，则BP+PE的最小值为 ；
（2）实践运用：
如图3，在正方形ABCD的边长是4，BE=1，在对角线AC上求作一点P，使BP+EP最小，并求出BP+EP的最小值；
（3）拓展延伸：
如图4，在四边形ABCD的对角线AC上求作一点P，使∠APB=∠APD．（保留作图痕迹，不必写出作法）
轴对称：40．如图，在直线l上找一点P，使得
+BP最小．
轴对称：41．如图，点A是总邮局，想在公路l1上建一分局D，在公路l2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小．
轴对称：42．如图，∠AOB内有两点P、Q，在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形PQMN的周长最小．
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