第五章 定积分
内容:定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。
要求:理解定积分的概念和性质。掌握牛顿-莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法,理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理,理解广义积分的概念和计算方法。
重点:定积分的概念和性质;微积分基本公式;换元积分法、分部积分法。
难点:定积分的概念;变上限积分函数及其导数;换元积分法、分部积分法。
§1.定积分的概念
一、实例分析
1.曲边梯形的面积
设函数
∈C[a, b], 且
>0. 由曲线
围成的图形称为曲边梯形.
如何定义曲边梯形的面积?
(1) 矩形面积=底高.
(2) 预备一张细长条的纸,
其面积底高.
(3) 预备一张呈曲边梯形状的纸,
将其撕成许多细长条.
(4) 启示:
将曲边梯形分割为许多细长条,
分割得越细, 误差越小.
第i个细长条面积
曲边梯形面积:
定积分概念示意图.ppt
定义:
抛开上述过程的几何意义,将其数学过程定义为定积分.
二、定积分的定义
1. 定义
设
在[a, b]有定义, 且有界.
(1) 分割: 用分点
把[a, b]分割成n个小区间:
(2) 取点: 在每个小区间
上任取一点i, 做乘积:
.
(3) 求和:
(4) 取极限:
若极限存在, 则其为
在[a, b]上的定积分, 记作:
. 即:
[a, b]: 积分区间;a:积分下限;b:积分上限;
积分和式.
问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?
注: (1)
与区间的分割法xi和取点法i有关; 而
与xi和i无关.
(2)
与a、b、f 有关,与x无关,即:
2.定积分存在定理
定理 若
在[a, b]上有界且只有有限个间断点,则
在[a, b]上可积.
推论 若
在[a, b]上连续,则
在[a, b]上可积.
例1. 求
解:
在[0, 1]连续, 积分存在.
与[0, 1]的分割法和i的取法无关. 选取特殊的分割法和取点法, 可使计算简便.
(1) 将[0, 1]n等分,
(2) 取点i=
(3) 求和
(4) 取极限
故
3. 定积分的几何意义
若
在[a, b]上非负, 则
=曲边梯形面积;
若
在[a, b]上非正, 则
=曲边梯形面积的负值;
的几何意义是由曲线
围成曲边梯形面积的代数和.
例2.
.
三、定积分的性质
1.规定
2.性质
(4) 若在[a, b]上有
,则
推论1 若
,则
推论2
(5) 设M、m分别为
在[a, b]上的最大、最小值
,则
(6) (积分中值定理) 设
, 则
, 使得
将中值定理变形得:
称为
在[a, b]上的平均值.
§2. 微积分基本公式
一、变速直线运动中的位置函数与速度函数之间的关系(略)
二、积分上限的函数及其导数
设
在[a, b]上连续, 则x[a, b], 有
在[a, x]上连续. 从而
存在.
在这里, 积分上限x与被积变量x的性质是不同的.
与a、b、f 有关,与x无关.
与a、x、f 有关.
对于[a, b]上的任一点x,
有一个确定的对应值, 故
是x的函数, 记作(x), 即:
称为积分上限的函数.
定理 若
在[a, b]上连续, 则积分上限的函数
在[a, b]上可导, 且
证明:
.
注: 若
在[a, b]上不连续, 则最后一个等式不成立.
此定理说明,
是
的一个原函数.
例1.
例2.
, 求
例3. 求极限
.
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 若
在[a, b]上连续,
是
的一个原函数,则
证明:
是
的一个原函数,
也是
的一个原函数, 同一个函数的两个原函数之间相关一个常数, 于是有:
例1.
例2.
例3.
例4.
例5.
例6.
注:在数学计算过程中, 要对结论(
答案
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)作合理性检验.
§3. 定积分的换元法和分部积分法
一、定积分的换元法
定理 若
满足如下条件:
(1)
是[α,β](或[β,α])上单值单调函数;
(2)
在[α,β](或[β,α])有连续导数;
(3)
则:
.
例1.
令
. 当x=0时, t=1; 当x=4时, t=3.
(若不定积分掌握得很好得话, 可以直接凑微分:
)
与不定积分换元法相比较, 有两点不同:
(1) 积分变量由x变为t时, 积分的上下限也要随之改变;
(2) 求出关于t的原函数后无须回代成x的函数.
例2.
注:换元积分公式,满足
所要求的条件很重要,如:
而事实上,
,其原因在于
在t=0不可导.
例3. 证明: (1) 若
是[-a, a]上的偶函数, 则
(2) 若证明
是[-a, a]上的奇函数, 则
证明:
此例提示我们, 在计算定积分时, 看到对称的积分限, 要保持敏感.
例
.
例4.
, 证明:
并计算
二、定积分的分部积分法
定积分的分部积分法适用的函数类型与不定积分的分部积分法相同.
例1.
例2.
例3.
积分公式:
例4.
§4. 反常积分(广义积分)
定义定积分
需满足如下条件: (1)
有界 (2)
只有有限个间断点 (3) a, b为确定的数值, 即积分限是有限值. 反常积分是对无穷积分限和无界函数定义的积分.
一、无穷限的反常积分
定义 设
, 取t>a, 若极限
存在, 则称此极限为
上的反常积分, 记作
, 即:
存在, 也称为
收敛;
若
不存在, 则称
发散.
类似地, 定义:
注:
例1.
例2.
例3.
故
发散.
二、无界函数的反常积分
定义 设
, 取b>t>a, 若极限
存在, 则称此极限为
上的反常积分, 仍记作
, 即:
亦称为
收敛; 否则,称
发散.
类似地, 定义:
注:
例4.
例5.
例6.
故
发散.
注: 计算
前, 首先判断
在[a, b]上是否有无穷点.
定积分小结
一、基本概念
1.定积分
2.变上限积分函数
3.广义积分
(1)无穷积分限
(2)无穷间断点
二、定积分的性质
1.定积分与被积分字母无关
2.积分限的分割
3.积分中值定理
设
, 则
, 使得
4.对称函数在对称区间上的积分
三、定积分的计算
1.牛——莱公式
2.换元积分法
3.分部积分法
四、积分上限函数求导