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Black-Scholes期权定价公式与二叉树方法
Black-Scholes期权定价公式与二叉树方法
摘要 期权是一种重要的金融衍生产品，随着衍生证券在金融领域的地位越来越重要,如何寻找更合理的数学模型为期权定价也成为研究的重点。本文主要讲述期权的定义，通过对期权的理解给出Black-Scholes期权定价公式的推导方法和二叉树期权定价方法，以及这两种期权定价方法的应用。
关键词 期权定价 Black-Scholes期权定价 二叉树
1 引言 期权的定义
期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品(underlying assets)的选择权。期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。
伴随着期权市场的迅速发展，期权定价是期权交易的核心问题，因此本文给出两种期权定价方法，即Black-Scholes期权定价公式与二叉树方法。
2 Black - Scholes 期权定价公式
2.1 Black - Scholes期权定价模型及其假设条件
1、股票价格服从对数正态分布;
4 Su Su3 SuSu
2Su2 Su
SSS Sd Sd22 Sd3Sd
4 Sd
Sd
期权定价模型
2、在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的;
3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本;
4、股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃);
5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施;
6、金融市场不存在无风险套利机会;
7、金融资产的交易可以是连续进行的;
8、可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。 2.2给出Black – Scholes期权定价公式
C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2)
其中:
D1=1NSL+(γ+σ22)Tσ•T
D2=D1-σ•T
C—期权初始合理价格
4 SuSu3 SuSu22Su Su
SSS SdSd22 Sd3Sd
4 Sd
Sd
L—期权交割价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率H
σ2—年度化方差
N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点:
第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=LN(1+0.06)=0853，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则T=100365=0.274。 2.3 Black - Scholes定价模型的推导与运用
(一) Black - Scholes模型的推导
Black - Scholes模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:
E[G]=E[max(ST-L，O)]
其中，E[G]—看涨期权到期期望值
ST—到期所交易金融资产的市场价值
L—期权交割(实施)价
到期有两种可能情况:
1、如果ST>L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L
2、如果ST
L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)
其中:P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:
C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)这样期权定价转化为确定P和E[ST|ST>L]。
首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值，即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布，即1NSTS,N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS,EN(μT，σT2)可以证明，相对价格期望值大于EμT，为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT
其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的
标准
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差所
以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因为E[ST|ST]>L]处于正态分布的L到?范围，所以，
E[ST|ST]>=S•EγT•N(D1)N(D2)
其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT 最后，将P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得Black - Scholes定价模型:C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2)
2.4 Black - Scholes优缺点
优点:对欧式期权，有精确的定价公式;
缺点:对美式期权，无精确的定价公式，不可能求出解的表达式，而且数学推导和求解过程在金融界较难接受和掌握。
2.5 Black - Scholes模型应用实例
假设市场上某股票现价S为 164，无风险连续复利利率γ是0.0521，
市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:
?求
D1:D1=(1N164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959=0.0328
?求D2:D2=0.0328-0.29×0.0959=-0.570
?查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761
?求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803
因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。
3 二叉树期权定价方法
3.1二叉树期权定价模型概述
Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点, 但是它的推导过程难以为人们所接受。在1979年, 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型, 称为二叉树法(Binomial tree)。
二叉期权定价模型由考克斯(J.C.Cox)、罗斯(S.A.Ross)、鲁宾斯坦(M.Rubinstein)和夏普(Sharpe)等人提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。其优点在于比较直观简单，不需要太多数学知识就可以加以应用。
二叉期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。
3.2 二叉树期权定价模型的基本方法
(一) 二叉树模型的方法:
1 单步二叉树模型
1.1无套利定价法:
,构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头
SuuSdfd,,,,,当 则组合为无风险组合
ff,ud此时 ,,
SuSd,,,rt因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得到: SfSufe,,,,,，，u将 代人上式就可得到 ff,,,rtudfepfpf,，,1，，，，,,ud，，r,tSuSd,e,d其中 p,u,d
1.2风险中性定价法
在风险中性世界里:(1)所有可交易证劵的期望收益都是无风险利率;(2)未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现，在风险中性的条件下。参数值满足条件
r,tr,tSe,pSu，(1,p)Sde,pu，(1,p)d
假设证劵价格遵循几何布朗运动，则 22222222S,,t,pSu，(1,p)Sd,S[pu，(1,p)d]
2 222,,,,t,pu，(1,p)d,pu，(1,p)d
1在设定 (第三个条件的设定则可以有所不同。这是Cox、Roxxu,和Rubinstenin所用的条件) d
r,te,d由以上三式可得，当 很小时 ， ， ,,t,,,tp,u,ed,e,tu,d
,,rt从而 fepfpf,，,1，，，，ud，，
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。 2证劵价格的树型结构
4 SuSu3 SuSu22Su Su
SSS Sd Sd22 Sd3Sd一般而言，在 时刻，证劵价格有 种可能，它们可用符号表示i,ti，14 Sd
Sdji,j Sud
为 其中j=0，1,2，……t
1注意:由于 ，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。 u,
d3 倒推定价法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
如果是欧式期权，可通过将 时刻的期权价值的预期值在 时间长度内以,tT无风险利率 贴现求出每一结点上的期权价值;
r 如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。 ,t
(二)二叉树方法的一般定价过程
ji,jSud,t假设把该期权有效期划分成N个长度为 的小区间，同时用 jNj,(i,j)fXSud,,max(,0)表示结点 处的证券价格可，NjjN,0,1,,得: ，其中
,,rtfepfpf,，,[(1)],t假定期权不被提前执行， 后，则: 1,11,ijijij，，，
f(0,i,N,0,j,i)ij
(表示在时间 时第j个结点处的美式看跌期权的价值) i,t
jijrt,,,fXSudepfpf,,，,max{,[(1)]}若有提前执行的可能性，则: 1,11,ijijij，，，(三)二叉树方法的扩展
1有红利资产期权定价
1.1支付连续红利率资产的期权定价
当标的资产支付连续收益率为 q的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为 因此:
(r,q),trq,e,pu，(1,p)d(r,q),t 其中: ， ， ; e,d,,,t,,tp,d,eu,eu,d
注:对于股价期权来说， 为股票组合的红利收益率;对于外汇期来说 为q国外无风险利率;因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。
q1.2支付已知红利率资产的期权定价
可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格;
如果时刻 在除权日之前，则结点处证券价格仍为: ji,ji,tSud,j,0,1,？？,i如果时刻 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为: ji,ji,tS(1,,)udj=0，1,2……t
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 时刻结点的相应的证券价格为: i,t
( 为0时刻到 时刻之间所有除权日的总红利支付率) ji,j,S(1,,)udii,ti
1.3已知红利额
将证券价格分为两个部分:一部分是不确定的;另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。
假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在到之间，则在时刻不确定部分的价值为: 当 时
**(),,,rit,it,,,SitSit()(),,,SitSitDe()(),,,,当 时(表示红利)在 时刻: it,,,it,,,
当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为: *()jijrit,,,,,,,,itSudDe，0j=0，1,2……t;
*jij,当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为: Sudi,t,,0j=0，1,2……t ( 为零时刻的 值) **SS0
2利率是时间依赖的情形
假设 ，即在时刻 的结点上，其应用的利率等于 到 时间rft,，，ttt，,t内的远期利率，则: ， ftt,，，ftt,，，ue,ed,1,,pp,这一假设并不会改变二叉树图的几何形状，改变的是上升和下降的概率，所以ud,ud,我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图。
4 结束语
通过对Black - Scholes定价模型和二叉树期权定价方法的总结，我们可以以此为基础，推导出更实用的期权定价公式，同时也可以借助对以上两
种期权定价公式的理解，加强它们的应用。
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