工程
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数学线性代数第五版
答案
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06
线性代数课后习
题
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答案
第六章 线性空间与线性变换
验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间并写出各个空间的一个基
(1) 2阶矩阵的全体
解 设分别为二阶矩阵则因为
所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间
是S1的一个基.
(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体
因为 解 设
所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间
是S2的一个基
(3) 2阶对称矩阵的全体S3.
解 设则因为
所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间.
是S3的一个基.
验证与向量不平行的全体3维数组向量对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间
解 设与向量不平行的全体三维向量设r1
则但即V不是线性空间.
设U是线性空间V的一个子空间试证若U与V的维数相等则
证明 设为U的一组基它可扩充为整个空间V的一个基由于从而也为V的一个基则对于可以
表
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示为显然故而由已知知有
设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间是Vr的一个基试证
中存在元素使成为Vn的一个基
证明 设则在Vn中必存在一向量它不能被线性表示将添加进来则是线性无关的若则命题得证
否则存在则线性无关依此类推可找
到n个线性无关的向量它们是Vn的一个基
在R3中求向量在基
下的坐标
解 设是R3的自然基则
其中
因为
所以向量在基下的坐标为
在R3取两个基
试求坐标变换
公式
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是R3的自然基则 解 设
其中
设任意向量在基下的坐标为则
故在基下的坐标为
在R4中取两个基
(1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵
解 由题意知
从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为
(2)求向量在后一个基下的坐标解 因为
x
向量在后一个基下的坐标为
5y
(3)求在两个基下有相同坐标的向量. 解 令
解方程组得
为常数
说明xOy平面上变换的几何意义其中
解 因为
所以在此变换下与关于y轴对称
解 因为
所以在此变换下是在y轴上的投影
解 因为
所以在此变换下与关于直线对称
解 因为
所以在此变换下是将顺时针旋转
阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间. 给出
n阶矩阵以A表示V中的任一元素
称为合同变换. 试证合同变换T是V中的线性变换 变换
证明 设则
从而合同变换T是V中的线性变换
函数集合
对于函数的线性运算构成3维线性空间在V3中取一个基
求微分运算D在这个基下的矩阵.
解 设
易知线性无关故为一个基. 由
知即
在基下的矩阵为
阶对称矩阵的全体
对于矩阵的线性运算构成3维线性空间. 在V3中取一个基
在V3中定义合同变换
求T在基下的矩阵.
解 因为
故
下的矩阵从而在基
浙公网安备 33021202002483