高中数学导数

高中数学导数 导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续 的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。 导数(derivative function) 亦名纪数、微商(微分中的概念)，由速度变化问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。又称变化率。 如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米,小时. 但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米,小时。 为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔， 设汽车所在位置s与时间t的关系为 s,f(t) 那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是 [f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 . 自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。 一般地，假设一元函数 y,f(x )在 x0点的附近(x0,a ，x0 ，a)内有定义; 当自变量的增量Δx, x,x0?0时函数增量Δy,f(x), f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的(或变化率). 导数的几何意义 若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数。 函数y,f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义: 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示函数曲线在P0,x0，f(x0), 点的切线斜率 一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则:设y,f(x )在(a，b)内可导。如果在(a，b)内，f'(x)>0,则f(x)在这个区间是单调增加的。。如果在(a，b)内，f'(x)<0,则f(x)在这个区间是单调减小的。所以，当f'(x)=0时，y,f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值。 导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。 导数是微积分中的重要概念。 导数另一个定义:当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数(derivative function)(简称导数)。 y=f(x)的导数有时也记作y'，即(如右图) : 物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。 以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面(比如切向量场)的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。 注意:1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。 2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。(导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f„(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。) 编辑本段 求导数的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 (1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤: ? 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ? 求平均变化率 ? 取极限，得导数。 (2)几种常见函数的导数公式: ? C'=0(C为常数函数); ? (x^n)'= nx^(n-1) (n?Q); ? (sinx)' = cosx; (cosx)' = - sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2 (cotx)'=-1/(sinx)^2=-(cscx)^2 (secx)'=tanxsecx (cscx)'=-cotxcscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) ? (shx)'=chx (chx)'=shx (thx)'=1/(chx)^2 (coth)'=-1/(shx)^2 ? (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数) (Inx)' = 1/x(ln为自然对数) (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=x^(-2) 补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。 (3)导数的四则运算法则(和、差、积、商): ?(u?v)'=u'?v' ?(uv)'=u'v+uv' ?(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 (4)复合函数的导数 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。 导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献～ 编辑本段 导数公式及证明 这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程: 基本导数公式 1.y=c(c为常数) y'=0 2.y=x^n, y'=nx^(n-1) 3.(1)y=a^x ,y'=a^xlna ;(2)y=e^x y'=e^x 4.(1)y=logaX, y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ;(2)y=lnx ,y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/(cosx)^2 8.y=cotx y'=-1/(sinx)^2 9.y=arcsinx y'=1/?1-x^2 10.y=arccosx y'=-1/?1-x^2 11.y=arctanx y'=1/(1+x^2) 12.y=arccotx y'=-1/(1+x^2) 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到: 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变 量』 2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x' 证:1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,Δy=c-c=0,limΔx?0Δy/Δx=0。 2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3.y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx?0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β,a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:Δx=loga(1+β)。 所以(a^Δx-1)/Δx,β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当Δx?0时，β也是趋向于0的。而limβ?0(1+β)^1/β=e,所以limβ?01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把这个结果代入limΔx?0Δy/Δx=limΔx?0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx?0Δy/Δx=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4.y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x 因为当Δx?0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于?，所以limΔx?0loga(1+Δx/x)^(x/Δx),logae,所以有 limΔx?0Δy/Δx,logae/x。 也可以进一步用换底公式 limΔx?0Δy/Δx,logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。 这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所以limΔx?0Δy/Δx=limΔx?0cos(x+Δx/2)•limΔx?0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6.类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。 7.y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8.y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9.y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/?1-sin^2y=1/?1-x^2 10.y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/?1-cos^2y=-1/?1-x^2 11.y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12.y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4.y=u土v,y'=u'土v' 5.y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。 对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。 y=x^n 由指数函数定义可知，y>0 等式两边取自然对数 ln y=n*ln x 等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理可证 导数说白了它其实就是斜率 上面说的分母趋于零,这是当然的了,但不要忘了分子也是可能趋于零的,所以两者的比就有可能是某一个数,如果分子趋于某一个数,而不是零的话,那么比值会很大,可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在. x/x,若这里让X趋于零的话,分母是趋于零了,但它们的比值是1,所以极限为1. 建议先去搞懂什么是极限.极限是一个可望不可及的概念,可以很接近它,但永远到不了那个岸. 并且要认识到导数是一个比值. 导数的应用 1(函数的单调性 (1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想( 一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x),,，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x),,，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减( 如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数( 注意:在某个区间内，f'(x),,是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)?0。 (2)求函数单调区间的步骤 ?确定f(x)的定义域; ?求导数; ?由(或)解出相应的x的范围(当f'(x),0时，f(x)在相应区间上是增函数;当f'(x),0时，f(x)在相应区间上是减函数( 2(函数的极值 (1)函数的极值的判定 ?如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点; ?如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值或极小值. 3(求函数极值的步骤 ?确定函数的定义域; ?求导数; ?在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根; ?检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值( 4(函数的最值 (1)如果f(x)在,a,b,上的最大值(或最小值)是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值(或最小值)同时是个极大值(或极小值)，它是f(x)在(a，b)内所有的极大值(或极小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在,a，b,的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念( (2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ?求f(x)在(a，b)内的极值; ?将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值( 5(生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问 题，优化问题也称为最值问题(解决这些问题具有非常现实的意义(这些问题通常可 以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大(小)值问题( 6(实习作业 本节内容概括 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 了微积分建立的时代背景，并阐述了其历史意义，包括以下六 部分: (1)微积分的研究对象; (2)历史上对微积分产生和发展的 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 ; (3)微积分产生的悠久历史渊源; (4)微积分产生的具体的时代背景; (5)牛顿和莱布尼茨的工作; (6)微积分的历史意义( 7. 注意事项 (1)函数图像看增减，导数图像看正负。 (2)极大值不一定比极小值大。 (3)极值是局部的性质，最值是整体的性质 编辑本段 高阶导数 高阶导数的求法 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 一般用来寻找解题方法。 2.高阶导数的运算法则: 高阶导数运算法则 『注意:必须在各自的导数存在时应用(和差点导数)』 3.间接法: 利用已知的高阶导数公式， 通过四则运算, 变量代换等方法，『注意:代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式』 求出阶导数. 常见高阶导数的公式: 常见高阶导数公式 第十讲 导数 【考点透视】 1(了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念( 2(熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则(了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数( 3(理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值( 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理 解导函数的概念. 13,,例1( 是的导函数，则的值是 ( fx()f(1),fxxx()21,，，3 [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. 22,,[解答过程] fxxf()2,(1)123.,，？,,,，,，， 故填3. xa,'例2.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 {|()0}xfx,{|()0}xfx,fx(),x,1 ( ) A.(-?,1) B.(0,1) C.(1,+?) D. [1,+?) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. xa,[解答过程]由,？,,,,0,,1;,1.当a>1时当xaaxa<1时x,1 /xxa,,,1，，xaxaa,,,1,,/yy,？,,,,,0. ,,22xx,,11,,xx,,11，，，， ？,a1. 综上可得MP时,？,a1. 考点2 曲线的切线 (1)关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的 切线的斜率. (2)关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题 1132例3.已知函数在区间，内各有一个极值点( [11),，(13]，fxxaxbx(),，，32 2(I)求的最大值; ab,4 2A(II)当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过yfx,()Af(1(1))，ab,,48ll AA函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧yfx,()yfx,()l 进入另一侧)，求函数fx()的表达式( 思路启迪:用求导来求得切线斜率. 1132解答过程:(I)因为函数在区间，内分别有一个极值点，[11),，(13]，fxxaxbx(),，，32 2,fxxaxb(),，，所以在，内分别有一个实根， [11),，(13]，,0 2xx，xx,04,,xx?设两实根为()，则，且(于是 xxab,,,412122121 22x,,1，x,3，，且当，即，时等号0416,,ab?044,,ab?a,,2b,,312 2的最大值是16( 成立(故ab,4 ,(II)解法一:由知在点处的切线的方程是 fab(1)1,，，fx()(1(1))，fl 21,，即， yffx,,,(1)(1)(1)yabxa,，，,,(1)32因为切线在点处空过的图象， Afx(1())，yfx,()l 21所以在两边附近的函数值异号，则 x,1gxfxabxa()()[(1)],,，，,,32 不是的极值点( gx()x,1 112132而，且 gx(),，，,，，，，xaxbxabxa(1)3232 22,gxxaxbabxaxaxxa()(1)1(1)(1),，，,，，,，,,,,，，( 若，则和都是的极值点( gx()11,,,ax,1xa,,,1 1232所以，即，又由，得，故( ab,,4811,,,ab,,1a,,2fxxxx(),,,3 21解法二:同解法一得 gxfxabxa()()[(1)],,，，,,32133a2( ,,，，,，(1)[(1)(2)]xxxa322 因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值Af(1(1))，yfx,()gx()x,1l mm，mm,,1异号，于是存在()( 1212 mx,,11,,xm当时，gx()0,，当时，gx()0,; 12 mx,,11,,xm或当时，gx()0,，当时，gx()0,( 12 33aa,,,,2hxxx()12,，，,，设，则 ,,,,22,,,, mx,,11,,xm当时，，当时，; hx()0,hx()0,12 mx,,11,,xm时，，当时，( 或当hx()0,hx()0,12 3a由知是的一个极值点，则， h(1)0,hx()x,1h(1)2110,，，，,2 1232所以，又由，得，故( ab,,48b,,1a,,2fxxxx(),,,34例4.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为( ) llyx,xy，,,480 A( B( 430xy,,,xy，,,450 C( D( 430xy,，,xy，，,430 [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 4[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，yx,lxy，,,48040xym,，, 34而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为. ,yx,4yx,430xy,,,故选A. 22 5例5(过坐标原点且与x+y-4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( ) 2 1111A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 3333[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1:设切线的方程为 ykxkxy,？,,,0. 522又xy,，，,？,21,2,1.圆心为，，，，，， 2 21k，512？,？，,,？,,,,3830.,3.kkkk 223k，1 1？,,,yxyx,3.或 3 故选A. 1331,,解法2:由解法1知切点坐标为由 (,),,,,,,2222,, //52,,2，，xy(2)1,,，，,，，,,，，x2,,x/xyy？,，，,2(2)210,，，x x,2/y？,,.xy，1 1//kyky？,,,,,3,.xx113231,(,)(,)32222 1yxyx？,,,3,.3 故选A. 22例6.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，aCCC:y,x，2x,C:y,,x，a1212 求出此时公切线的方程. 22思路启迪:先对求导数. C:y,x，2x,C:y,,x，a12 22'解答过程:函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为Cx,x，2xy,x，2xy,2x，21111 22，即 ? y,2(x，1)x,xy,(x，2x),2(x，2)(x,x)111111 2曲线在点Q的切线方程是即 Cy,(,x，a),,2x(x,x)(x,,x，a)122222 2 ? y,,2xx，x，a22 是过点P点和Q点的公切线，则?式和?式都是的方程，故得 若直线ll 222x，消去得方程， 2x，2x，1，a,0x，1,,x,,x,x，12111212 11若?=，即时，解得，此时点P、Q重合. 4,4，2(1，a),0a,,x,,122 11?当时，和有且只有一条公切线，由?式得公切线方程为 . CCa,,yx,,1224考点3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题: 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值); 5.构造函数证明不等式. 典型例题 例7(函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数,(a,b)f(x)f(x)f(x)(a,b) 在开区间内有极小值点( ) (a,b) A(1个 B(2个 yy,,yy,,ff((xx)) C(3个 bbD( 4个 OOaaxx[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识 的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点. (,0)a故选A. 32例8 .设函数在及时取得极值( x,1x,2fxxaxbxc()2338,，，， (?)求a、b的值; 2fxc(),(?)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围( x,[03]， 32思路启迪:利用函数在及时取得极值构造方程组求a、x,1x,2fxxaxbxc()2338,，，，b的值( 2,fxxaxb()663,，，解答过程:(?)， ,,因为函数在及取得极值，则有，( fx()f(1)0,f(2)0,x,1x,2 6630，，,ab，,即 ,(241230，，,ab, 解得，( a,,3b,4 32fxxxxc()29128,,，，(?)由(?)可知，， 2,fxxxxx()618126(1)(2),,，,,,( ,当时，; x,(01)，fx()0, ,当时，; x,(12)，fx()0, ,当时，( x,(23)，fx()0, 所以，当时，取得极大值，又，( fx()fc(1)58,，fc(0)8,fc(3)98,，x,1 则当x,03，时，的最大值为( fx()fc(3)98,，,, 2fxc(),因为对于任意的x,03，，有恒成立， ,, 2所以 ， 98，,cc 解得 或， c,,1c,9 c因此的取值范围为( (1)(9),,,，,，， 例9.函数的值域是_____________. yxx,，,，243 思路启迪:求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质 求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。 240x，,,解答过程:由得，，即函数的定义域为. x,,2[,),，,2,x，,30, 112324xx，,， ， y',,,24xx，23，2243xx，,， 28x， 又， 2324xx，,，,2324xx，，， 当时，， ？x,,2y',0 函数在上是增函数，而，？f(),,,21？,，,，yxx243(,),，,2yxx,，,，243 的值域是. [,),，,1 332例10(已知函数，其中为参数，且( x,R,,0,,,2,，，fx,4x,3xcos,，cos,16 (1)当时，判断函数是否有极值; cos,,0，，fx (2)要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围; fx(), (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，，，2a,1,a,，，fx 求实数a的取值范围( [考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法. 3[解答过程](?)当时，，则在内是增函数，故无极值. fxx()4,cos0,,fx()(,),,，, cos,2(?)，令，得. fxxx'()126cos,,,fx'()0,,,xx0,122 由(?)，只需分下面两种情况讨论. ?当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表: cos0,,fx'()fx() cos,cos,cos, (,0),,x 0 ，,(,)(0,)222 fx'()+ 0 - 0 + fx()? 极大值 ? 极小值 ? cos,cos,cos13,3因此，函数在处取得极小值，且 fx(),f()x,,，f()cos,,222416. cos,3132要使，必有，可得. ,,,,f()00cos,,,,,cos(cos)02244 3,,,,311由于，故. ,,,0cos,,,,或,,26226 当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表: fx'()fx()cos0,, cos,cos,cos, (0,)，,x 0 ,,(,0)(,)222 fx'()+ 0 - 0 + fx() 极大值 极小值 3因此，函数处取得极小值，且 fxx()0在,f(0),,f(0)cos.16 若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零. fx()cos0,,cos0,,f(0)0, ,,,,311综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为. (,),,，,fx(),,(,)(,)6226 cos,()解:由()知，函数在区间与内都是增函数。 fx()(,),,，,，,(,)2 由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组 fxaa()(21,)在, 21aa,,21aa,, 或 1a,0,21cosa,,2 31,,,,311由()，参数时时，.要使不等式关于参数恒,,,,0cos,,,21cosa,,(,)(,),226226 343，成立，必有，即. ,a21a,,84 43，综上，解得或. a,0,,a18 43，所以a的取值范围是. (,0)[,1),,,8 ,例11(设函数f(x)=ax,(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间. [考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想 分析问题解决问题的能力 ax,1'[解答过程]由已知得函数的定义域为，且 fx()(1,),，,fxa()(1),,,,x，1 '(1)当时，函数在上单调递减， ,,,10afx()0,,fx()(1,),，, '1(2)当时，由解得 a,0fx()0,,x,.a 'x、随的变化情况如下表 fx()fx() 111 x (,)，,(1,),aaa ' fx()0 + — fx()极小值 从上表可知 11'当时，函数在上单调递减. fx()0,,fx()(1,),x,,(1,)aa '11当时，函数在上单调递增. fx()0,,fx()(,)，,x,，,(,)aa 综上所述:当时，函数在上单调递减. ,,,10afx()(1,),，, 11时，函数在上单调递减，函数在上单调递增. 当a,0fx()fx()(,)，,(1,),aa 32x例12(已知函数在点处取得极大值，其导函数的图5fxaxbxcx(),，，yfx,'()0 象经过点，，如图所示.求: (2,0)(1,0) (?)的值; x0 (?)的值. abc,, [考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与 方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能 力 [解答过程]解法一:(?)由图像可知，在上，在上，在,,,11,2fx'0,2,，,，，，，，，，，fx'0,，，上, fx'0,，， 故在上递增，在上递减， fx()(-,,，1)，(2，+)(1,2)因此在处取得极大值，所以 x,1x,1fx，，0 '2(?) fxaxbxc()32,,，， '''由 fff(1)=0，(2),0，(1),5， 320,abc，，,,,得 1240,abc，，,,,abc，，,5,, 解得 abc,,,,2,9,12. 解法二:(?)同解法一 '2(?)设 fxmxxmxmxm()(1)(2)32,,,,,,， '2又 fxaxbxc()32,,，， m3所以 abmcm,,,,,,232 m332| fxxmxmx()2,,,，32 m3由即得 f(1)5,，m,6,,，,mm25,32 所以 abc,,,,2,9,12 23,x例13(设是函数的一个极值点. ，，，，，，x,3fx,x，ax，bex,R (?)求与的关系式(用表示)，并求的单调区间; aabb，，fx 25,,2x(?)设，.若存在使得成立，求的取值范aa,0,,,,,,0,4，，，，f,,g,,1，，gx,a，e12,,124,, 围. [考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决 问题的能力. ,23x[解答过程](?)f `(x),,[x，(a,2)x，b,a ]e, ,233由f `(3)=0，得 ,[3，(a,2)3，b,a ]e,0，即得b,,3,2a， ,23x 则 f `(x),[x，(a,2)x,3,2a,a ]e ,,23x3x,,[x，(a,2)x,3,3a ]e,,(x,3)(x，a+1)e. 令f `(x),0，得x,3或x,,a,1，由于x,3是极值点， 12 所以x+a+1?0，那么a?,4. 当a<,4时，x>3,x，则 21 在区间(,?，3)上，f `(x)<0， f (x)为减函数; 在区间(3，―a―1)上，f `(x)>0，f (x)为增函数; 在区间(―a―1，，?)上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a>,4时，x<3,x，则 21 在区间(,?，―a―1)上，f `(x)<0， f (x)为减函数; 在区间(―a―1，3)上，f `(x)>0，f (x)为增函数; 在区间(3，，?)上，f `(x)<0，f (x)为减函数. (?)由(?)知，当a>0时，f (x)在区间(0，3)上的单调递增，在区间(3，4)上单 调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， ,31而f (0),,(2a，3)e<0，f (4),(2a，13)e>0，f (3),a，6， 3那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[,(2a，3)e，a，6]. 252x又在区间[0，4]上是增函数， gxae,，()()4 2242525且它在区间[0，4]上的值域是[a，，(a，)e]， 44 2221125由于(a，),(a，6),a,a，,()?0，所以只须仅须 a,424 2253),(a，6)<1且a>0，解得00时，f(0)为极大值 C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值 3211、已知函数y=2x+ax+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) 3) B、(3，+?) C、(2，+?) D、(-?，3) A、(2， 54312、方程6x-15x+10x+1=0的实数解的集合中( ) A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素 二、填空题 ,,f(xk)f(x)0013.若f′(x)=2, =_________. 0lim0k,2k 14.设f(x)=x(x+1)(x+2)„(x+n),则f′(0)=_________. 215.函数f(x)=log(3x+5x,2)(a,0且a?1)的单调区间_________. a 16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题 3217.已知曲线C:y=x,3x+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x,y)(x?0)，求直线l的方程000及切点坐标. 22p18.求函数f(x)=px(1-x)(p?N)，在[0，1]内的最大值. + 219.证明双曲线xy=a上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20.求函数的导数 22x(1)y=(x,2x+3)e; x(2)y=. 31,x 21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度. ,22222n1*22.求和S=1+2x+3x+„+nx,(x?0,n?N). n 323.设f(x)=ax+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间. 224.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值; (2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由. ba25.已知a、b为实数，且b,a,e,其中e为自然对数的底，求证:a,b. 24x,a26.设关于x的方程2x,ax,2=0的两根为α、β(α,β),函数f(x)=. 2x，1 (1)求f(α)?f(β)的值; (2)证明f(x)是,α，β,上的增函数; (3)当a为何值时，f(x)在区间,α，β,上的最大值与最小值之差最小, 【参考答案】 sinx0一、1.解析:y′=e,cosxcos(sinx),cosxsin(sinx),,y′(0)=e(1,0)=1. 答案:B x，9y,402.解析:设切点为(x,y),则切线的斜率为k=,另一方面，y′=()′=,故 002x，5x(x，5)0 2(1)(2)yx，9,400y′(x)=k,即或x+18x+45=0得x=,3,y=,15,对应有00000,,2xx(x，5)(x，5)0000 (1)(2)3,15，93,4y=3,y=,因此得两个切点A(,3，3)或B(,15,),从而得y′(A)= =00,35,15，55(,3，5) x41,,1及y′(B)= ,由于切线过原点，故得切线:l:y=,x或l:y=,. AB,,22525(155),， 答案:A ,,f(0)f(0)3.解析:由=,1,故存在含有0的区间(a,b)使当x?(a,b),x?0时,0,于是当x?limx,0xx(a,0)时f′(0),0,当x?(0,b)时，f′(0),0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减. 答案:B 2n32n-12n-14.解析:?f′(x)=2xn(1,x),nx(1,x)=nx(1,x),2(1,x),nx,,令f′(x)=0,nn 222222得x=0,x=1,x=,易知f(x)在x=时取得最大值，最大值f()=n()(1,123nn2，n2，n2，n2，n nn+122)=4?(). 2，n2，n 答案:D 5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C f[(x，(,k)],f(x)00二、13.解析:根据导数的定义:f′(x)=(这时,x,,k) 0limk,0,k f(x,k),f(x)1f(x,k),f(x)0000？,[,,]limlimk,0k,02k2,k 1f(x,k),f(x)100,,,,,f(x),,1.lim0k,02,k2 答案:,1 14.解析:设g(x)=(x+1)(x+2)„„(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x), f′(0)=g(0)+0?g′(0)=g(0)=1?2?„n=n～ 答案:n! 2loge1(6x，5),logeaa15.解析:函数的定义域是x,或x,,2,f′(x)=.(3x+5x,2)′=, 23(3x,1)(x，2)3x，5x,2 11?若a,1,则当x,时，loge,0,6x+5,0,(3x,1)(x+2),0,?f′(x),0,?函数f(x)在(,+a33 ?)上是增函数，x,,2时，f′(x),0.?函数f(x)在(,?,,2)上是减函数. 11?若0,a,1,则当x,时，f′(x),0,?f(x)在(,+?)上是减函数，当x,,2时， 33 f′(x),0,?f(x)在(,?,,2)上是增函数. 答案:(,?,,2) 16.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么 22h=AO+BO=R+,解得 R,x 2x=h(2R,h),于是内接三角形的面积为 234S=x?h= (2Rh,h),h,(2Rh,h), 1,134342从而 ,,S,(2Rh,h)(2Rh,h)2 12,1h(3R,2h)3423 2,(2Rh,h)(6Rh,4h),32(2R,h)h. 3令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R) 2 333(0, R) R (,2R) h 222 + 0 S′ , S 增函数 最大值 减函数 3由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大. 2 3答案:R 2 32y0三、17. 解:由l过原点，知k=(x?0),点(x,y)在曲线C上，y=x,3x+2x, 0000000x0 222y0=x,3x+2,y′=3x,6x+2,k=3x,6x+2 ?0000x0 2223y0又k=,?3x,6x+2=x,3x+2,2x,3x=0,?x=0或x=. 000000002x0 3由x?0,知x=, 02 3233331y0?y=(),3()+2?=,.?k==,. 022284x0 133?l方程y=,x 切点(，,). 428 2p,118. , f'(x),px(1,x)[2,(2，p)x] 2令f’(x)=0得，x=0，x=1，x= , 2，p p2p，2在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0， . ,f()4()，，2p2p p2，p? . ,[f(x)]4()max，2p 19.设双曲线上任一点P(x，y), 00 2a , ky|,,,x,x02x0 2a? 切线方程 , y,y,,(x,x)002x0 令y=0，则x=2x 0 22a令x=0，则 . y,x0 12? . S,|x||y|,2a2 20.解:(1)注意到y,0,两端取对数，得 22x2lny=ln(x,2x+3)+lne=ln(x,2x+3)+2x, 22,1(x,2x，3)2x,22(x,x，2),？,y,，2,，2,222yx,2x，3x,2x，3x,2x，3. 222(x,x，2)2(x,x，2) 22x,？y,,y,,(x,2x，3),e.22x,2x，3x,2x，322x,2(x,x，2),e. (2)两端取对数，得 1ln|y|=(ln|x|,ln|1,x|), 3 两边解x求导，得 111,111,,y,(,),,313(1)yx,xx,x 111x3,.？y,,,y,3(1)3(1)1x,xx,x,x 221.解:设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5,,当下端移开1.4 m时，25,9t1,47t=, 0,315 1,1221又s′=, (25,9t)?(,9?2t)=9t, 2225,9t 所以s′(t)=9×=0.875(m/s). 710,157225,9，()15 22222122.解:(1)当x=1时，S=1+2+3+„+n=n(n+1)(2n+1),当x?1时，1+2x+3x+„n6 1nn，n-11,(n，1)x，nx+nx=,两边同乘以x,得 2(1,x) 12n，n，22nx,(n，1)x，nxx+2x+3x+„+nx=两边对x求导，得 2(1,x) 222222n-1S=1+2x+3x+„+nx n 22122nn，n，1，x,(n，1)x，(2n，2n,1)x,nx=. 3(1,x) 223.解:f′(x)=3ax+1. 若a,0,f′(x),0对x?(,?,+?)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾. 若a=0,f′(x)=1,0,?x?(,?,+?),f(x)也只有一个单调区间，矛盾. 11若a,0,?f′(x)=3a(x+)?(x,),此时f(x)恰有三个单调区间. 3|a|3|a| 11?a,0且单调减区间为(,?,,)和(,+?)， 3|a|3|a| 11单调增区间为(,, ). 3|a|3|a| a24.解:f′(x)=+2bx+1, x a(1) 由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0, 2 22121解方程组可得a=,,b=,,?f(x)=,lnx,x+x, 3636 -121(2)f′(x)=,x,x+1,当x?(0,1)时，f′(x),0,当x?(1,2)时，f′(x),0,当x?(2,+33 542?)时，f′(x),0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值,ln2. 633 ba25.证法一:?b,a,e,?要证a,b,只要证blna,alnb,设f(b)=blna,alnb(b,e),则 aaf′(b)=lna,.?b,a,e,?lna,1,且,1,?f′(b),0.?函数f(b)=blna,alnb在(e,+?)bb ba上是增函数，?f(b),f(a)=alna,alna=0,即blna,alnb,0,?blna,alnb,?a,b. balnx证法二:要证a,b,只要证blna,alnb(e,a,b,即证,设f(x)=(x,e)，则f′)x1,lnx(x)=,0,?函数f(x)在(e,+?)上是减函数，又?e,a,b, 2x balnalnb?f(a),f(b),即,?a,b. ,ab ,8,826.解:(1)f(α)=,f(β)= ,f(α)=f(β)=4, 22a，16,aa，16，a 2(2)设φ(x)=2x,ax,2,则当α,x,β时，φ(x),0, 222,,(4x,a)(x，1),(4x,a)(x，1)4(x，1),2x(4x,a) ,f(x),,2222(x，1)(x，1) 22(2x,ax，2)2(x), ,,,,,02222(x，1)(x，1). ?函数f(x)在(α，β)上是增函数. (3)函数f(x)在,α，β,上最大值f(β),0,最小值f(α),0, ?|f(α)?f(β)|=4,?当且仅当f(β)=,f(α)=2时，f(β),f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4， 此时a=0,f(β)=2.