【高考必备】高中数学破题致胜微方法（函数的周期性）：抽象函数周期的求法函数模型法Word版含答案

【高考必备】高中数学破题致胜微方法（函数的周期性）：抽象函数周期的求法函数模型法Word版含答案【高考必备】高中数学破题致胜微方法（函数的周期性）：抽象函数周期的求法函数模型法Word版含答案高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家数学模型，在数学学习中有很大的作用，它可以帮助我们解决很多未知的问题。如何有效利用数学模型呢,首先要对基础知识掌握的扎实，其次要在遇到问题时，大胆想象，大胆类比，用已知知识作为铺垫，找到问题的突破口。我们知道，基本初等函数分为，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，而三角函数中大多数都具有周期性，今天我们就利用三角函数作为模型，求抽象函数的周期。先看例...

【高考必备】高中数学破题致胜微方法（函数的周期性）：抽象函数周期的求法函数模型法Word版含答案高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家数学模型，在数学学习中有很大的作用，它可以帮助我们解决很多未知的问题。如何有效利用数学模型呢,首先要对基础知识掌握的扎实，其次要在遇到问题时，大胆想象，大胆类比，用已知知识作为铺垫，找到问题的突破口。我们知道，基本初等函数分为，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，而三角函数中大多数都具有周期性，今天我们就利用三角函数作为模型，求抽象函数的周期。先看例题例:设函数f(x)的定义域为R，且对任意的实数x，y满足，fxyfxyfxfy()()2()()，，,, cf()0,并存在非零实数c，使，证明函数f(x)是周期函数 2 类比 fxx()cos, 因为，通过两角和差的余弦公式展开，有: cos()cos()(coscossinsin)(coscossinsin)xyxyxyxyxyxy，，,,,，， cos()cos()2coscosxyxyxy，，,,即 ,f()0,T,2,而对于余弦函数，而， 2 cf()0,类比原函数，我们可以猜测，T=2c 2 ccccyfxfxfxf,，，,,,,()()2()()0所以，可令 2222 ccfxfx()()，,,,整理得: 22 fxcfx()()，,,所以有 fxcfx(2)()，, www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 1 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家这时可得到结论，原函数为周期函数，且T=2c，与我们猜测一致模型法解题: 我们从剖析题设条件的结构入手，大胆类比，联想出原型函数(主要是从三角公式联想)，通过猜想，进而确定函数的周期性。注意:我们所研究的函数并不一定是，但是可以根据这个模型，给我们的证明提fxx()cos,供帮助。接下来我们再看一个例子，加深印象 11fxfx()()，,,练:函数f(x)是定义在R上的奇函数，且， 22 则fffff(1)(2)(3)(4)(5)()，，，，, 根据已知条件，我们知道函数首先是奇函数 1x,其次，函数关于直线对称 2 1x,所以我们类比fxx()sin,,，它既是奇函数，又满足函数关于对称 2 fxfx()(),,,由奇函数的性质: 1xx,，fxfx()(1),,，令 : 2 fxfx(1)()，,,两式联立:所以， fxfxfx(2)(1)()，,,，,同理所以函数是周期函数，且T=2 进而可以求值因为f(0)=0，所以f(2)=f(0)=0，同理f(4)=f(2)=f(0)=0 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 2 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家再根据， fxfx(1)()，,, 所以f(2)=-f(1)=0所以f(1)=0 所以f(3)=f(1)=0，同理f(5)=f(3)=0 所以 fffff(1)(2)(3)(4)(5)0，，，，, 总结: 1.根据题目本身的特征，找到对应的函数模型，对未知函数进行类比分析 2.所选取的模型函数要满足题目所有条件，要注意定义域，值域等隐含条件 3.模型函数具备参考价值，但并不能说所求的抽象函数一定是模型函数练习: fx()3，1.已知函数f(x)满足，若f02016,，则f2016, fx()，,1，，，， 1(),3fx 1fxf()1,(2),,2.已知y=f(x)对于任何正实数x、y都有，且当x>1时，. fxyfxfy()()(),,9 (1)求证fx()0,; ,,11(2)求证 fxfx()[()], [0,)，,(3)求证y=f(x)在上为单调减函数; (4)若f(m)=9，试求m的值答案: tantan,,，1. tan()，,,,1tantan,,, fx()tan,, ,,tan3，fx(1)tan()，,，, ,313tan,, fxfx(3)()，, www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 3 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 1y,2.分析:由条件可联想到模型函数 fxyfxfy()()(),,2x 证明:(1)对于任意x>0，由已知有 2 fxfxxfx()()[()]0,,,, 用反证法证明 fx()0, 假设存在y>0，使f(y)=0，则对任意x>0， xx有 fxfyffy()()()()0,,,,,yy 与题设矛盾，所以对任意x>0，均有f(x)>0 (2)因为 fxfxfxffx()(1)()(1),()0,,,,, 所以f(1)=1 11fxffxf()()()(1)1,,,,, xx ,,11所以 fxfx()[()], xx22(3)任设，则，由条件知 0,,xx,1f()1,12xx11 xx22所以 fxfxffxfx()()()()(),,,,,2111xx11 [0,)，,所以f(x)在上是单调减函数 1f(2),fm()9,(4)因为， 9 ffm(2)()1,,所以 fmffx(2)1(1)(),,,[0,)，,所以在上是单调减函数 121,mm,,所以 2 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 4 -

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