弦切角定理的统一证明 专题辅导 不分版本.doc弦切角定理的统一证明 专题辅导 不分版本.doc
弦切角定理的统一证明
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结论:如图1，AB是?O的切线，切点为P，弦CD//AB，则 PCPD,
图1
证明:作直径PQ，因为AB是?O的切线，切点为P
所以 PQAB,
因为CD//AB
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故，从而 PCPD,PQCD,
九年义务教育三年制初级中学《几何》第三册分三种情况证明弦切角定理，本文利用上述结论可以得
到弦切角定理的统一证明。
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，BAC 已知如图2，图3，图4所示，AC是?O的弦，AB是?O的切线，是弦切角所夹的弧，AmC
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，P...
弦切角定理的统一证明 专题辅导 不分版本.doc
弦切角定理的统一证明
,,
结论:如图1，AB是?O的切线，切点为P，弦CD//AB，则 PCPD,
图1
证明:作直径PQ，因为AB是?O的切线，切点为P
所以 PQAB,
因为CD//AB
,,
故，从而 PCPD,PQCD,
九年义务教育三年制初级中学《几何》第三册分三种情况证明弦切角定理，本文利用上述结论可以得
到弦切角定理的统一证明。
,
，BAC 已知如图2，图3，图4所示，AC是?O的弦，AB是?O的切线，是弦切角所夹的弧，AmC
,
，P是所对的圆周角。 AmC
，,，BACP 求证:
图2 图3 图4
，,，BADADP 证明:作弦PD//AB交?O于D，连结AD，则
，,，CADCPD 因为
，,，，，,，，，BACBADCADADPCPD 所以
由于AB是?O的切线
,,
APAD, 所以
，,，ADPAPD 从而
，,，，，,，BACAPDCPDAPC 于是
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项。
设ABP是?,的一条割线，PT是?,的一条切线，切点为T，则PT 2=PA?PB 证明:连接AT, BT
? ?PTB=?PAT(弦切角定理)
?P=?P(公共角)
??PBT??PTA(两角对应相等,两三角形相似)
PT=PT:AP 则:PB:
即:PT 2=PB?PA
割线定理:从圆外一点引圆的两条割线则有这点到割线与圆交点的两条线段的积相等。 要证PT 2=PA?PB， 可以证明 ，为此可证以 PA?PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB((图3)(容易证明?PTA=?B又?P=?P，因此?BPT??TPA，于是问题可证。
相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
几何语言:若弦AB、CD交于点P，则PA?PB=PC?PD(相交弦定理)
推论:如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言:
若AB是直径，CD交AB于点P，P为圆心
则PC 2=PA?PB(相交弦定理推论)
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项。 设ABP是?,的一条割线，PT是?,的一条切线，切点为T，则PT 2=PA?PB 证明:连接AT, BT
? ?PTB=?PAT(弦切角定理)
?P=?P(公共角)
??PBT??PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则:PB:PT=PT:AP
即:PT 2=PB?PA
割线定理:从圆外一点引圆的两条割线则有这点到割线与圆交点的两条线段的积相等。 要证PT 2=PA?PB， 可以证明 ，为此可证以 PA?PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB((图3)(容易证明?PTA=?B又?P=?P，因此?BPT??TPA，于是问题可证。
相交弦定理、切割线定理、割线定理三者有什么联系,(图略)
仔细观察这三个定理的条件和结论，再作如下分析。经过圆内一点P作弦AB、CD、…，OP?EF，则PA?PB = PC?PD = …… = PE?PF = PE2 = r2 - OP2(r为圆的半径)。
再如图16，经过圆外一点P作割线PBA、PDC、…，则PA?PB = PC?PD = …… = PT2 =OP2 - r2
于是相交弦定理、切割线定理、割线定理三者可以统一成下面的定理:
设经过定点P的任何一条直线交圆O于两点A、B，且圆O的半径为r，则积PA?PB的值为一常数|OP2 - r2|这个统一的定理叫做圆幂定理。
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