常用旋转体体积的简捷求法

常用旋转体体积的简捷求法 第28卷第9期 2007年9月 湖南科技学院 JournalofHunanUniversityofScienceandEngineering ,b1.28NO.9 Sep.2007 常用旋转体体积的简捷求法 刘新文 (湖南工业科技职工大学,湖南衡阳421008) 摘要:本文利用定积分系统研究求旋转体体积的四种基本模式及其体积公式,并在此基础上探索出了一套关于常用旋 转体体积的简捷求法. 关键词:旋转体;体积;求法 中图分类号:0172.2文献标识码:A文章编号:1673—2219(2007)09-0009—03 旋转体体积的求法是高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 教学中的重点和难点,但令人遗憾的是,笔者在长期的数学教学过程中发现:不少教材只 简单地列出了圆柱,圆锥,圆台和球体这些最常见的旋转体的体积公式,鲜有提及诸如椭球体,球缺,圆筒和抛物旋转体等 稍为复杂的旋转体的体积公式,也没有系统地给出这些旋转体体积的一般求法,更不必说揭示它们之间的规律性.为了弥补 高等数学教材在这方面的缺陷,充分满足广大学生强烈的求知欲望,帮助他们更好地学习高等数学,笔者在概括出旋转体统 一 定义的基础上,系统提出求旋转体体积的四种基本模式及其体积公式,并在此基础上探索出了一套常用旋转体体积的简捷 求法. 1概念 旋转体就是由一个平面图形绕着一条与它同在一个平面内,且不通过该平面图形内部的定直线旋转一周所形成的封闭的 几何体.这条定直线就叫做旋转体的轴,即旋转轴.常用的旋转体有圆柱,圆锥,圆台,圆筒,椭球,球,球缺,球台,抛 物旋转体等. 圆柱,圆锥,圆台,球体可以分别看成是由矩形绕它的一条边,直角三角形绕它的直角边,直角梯形绕它的直角转一周所形成的旋转体的体积公式为:2上xf(x)dx 定理4.由平面图形0(y,oy)绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积公式为::2x广y~(y)dy 3常用旋转体的体积 下面我们利用上述定理来求常用的旋转体的体积. 【例1]计算由矩形0,05_y_<b绕X轴和Y轴旋转一周而形成的 圆柱体的体积. 解:由定理l知,由矩形05_x_<a,0(y绕X轴旋转一周而形成的圆柱体的体积为: = 【刀[,()】dx=l1dx=;’tab 由定理2知,由矩形Ox,O(y绕Y轴旋转一周而形成的圆柱体的体积为: 收稿日期:2007—03—2l 作者简介:刘新文(1970一),湖南祁东人,湖南工学院讲师,研究方向为高等数学与数理统计. 9 = (y)】dy=~lga2dy=,,Tab 【例21计算由矩形a<x<b,c<ysd绕x轴和Y轴旋转一周而形成的圆筒的体积. 解:由定理3知,由矩形ax,cy绕x轴旋转一周而形成的圆筒的体积为: : 2广y)dy:广.),(一a)dy=(一日)(d.一c2vy~(y)dy2rrdy)=2I=I.),(一=(一日)(d一) 由定理4知,由矩形asx,c9sd绕Y轴旋转一周而形成的圆筒的体积 为: : 2r():2xfx(dxf2xx(d-c)dxW---x(b一a)(d—c)=2l()=一)(d一) 【例31计算由直线y=kx(x::y),亢线x---O即Y轴(直线y--O即x轴)及直线x=b(直线y_d)所嘲成的直角三角形绕x k 轴(y轴)旋转.’周构成的圆锥体的体秋. 解:【{1定理I知,II1,线y=lcx,直线x=O及直线x=b所闻成的直角三角形绕x轴旋转一周构成的圆锥体的体积为: =乃川dx=ZCf,(dx=1lrk2b3=等 若令h=b,r=kb,则为通常意义.』二的高为h,底面圆半径为r的圆锥体的体积公式:V:?7cr2h 由定理2知,由直线x-:?Y,直线y=0及y=d所咽成的直角三角形绕y=轴旋转一周构皎的劂锥体的体积为: = )】2dy=刀()dy=3/t”(詈 若令h=d,r==孚,则是常见的高为h,底面网半径为r的圆锥体的体积公式为:V=h 【例41设圆台的上,下底面网的半径分别是rI,r1,面积为SI,s2,高为h,求该圆台的体积V(其中r2_>rlO). 解:以下底面圆的圆心O2为原点0,以两底面圆心Ol02所在的直线为Y轴正方向,过原心0在下底面圆02内做X轴交圆 O,于A点,建立直角坐标系.过t=底面圆的圆心OI做直线OIB交圆O于B点,连接线段AB,易知Ol,02,A,B四点 的坐标分别为OI(0,h),0’(0,0),A(r2,0),B(rl,h),线段AB所在的直线方程为y:(xx2),即x:盟y+ ,i,r2h r2.该圆台可以肴作是赢角样形oIo2AB绕Y轴旋转一周而成的旋转体,那么由定理2知,谈圆台的体积为: = r【()’=r()’+r2)=r【’Tr~-r2).j,+.),+】 三+三+ YZNNNN~~,下底面网的面积分别为S,=err1,S2=,所以该网的体积也可表示为: = B/t+4)h=1(+厨+) 若令rl=r=r,则该圆台的体积公式变为圆柱的体积公式V=m-2h 符令r-=.,r::r,则白的体积公式变为蜊锥的体积公式V=h 【例51计算由椭圆一~12z:. };::l所围成的图形绕x轴和Y轴旋转一周而形成的旋转椭球体的体积. af) 解:(1)这个椭球体如果看作足flI半个椭圆y=皇?二及X轴所嘲成的平面图形绕x轴旋转而成的几何体,那么由定理 1呵求得该椭球体的体秘为: =乃,(圳:=,(皇a 再)= a (口2一 3 )= 3 翮 —n一”‘l (2)这个椭球体如果霸作魁I扫半个椭圆x=,/及Y轴所围成的平面图形绕Y轴旋转而成的几何体,那么由定理2 知可求得该椭球体的体积为: V:!【)]2dy=zd’bfb_/~)2_y2)-dya2(b’-y-y3)lb_ = 三b 若令rd=b:r,则该旋转椭球体就变成半径为r的球体,其体积为:V=詈 f例61设半径为R的球被距球心分别为a,b(o<a<b)的两平行平面所截,求由所截得的球带与上,下底面围成的球台的体 积. 解:(1)若两平行截面位于球心异侧,由定理2易知球台的体积为: :万 ,[(y)]dy=万;(R2_y2)dy=万(臼+b)R一1万(以+6) (2)若两平行截面位于球心同侧,由定理2易知球台的体积为: :万 f[(y)]=万2_y2)ay=万(6一以)尺一1万(b3--a3) 若令a:R.H,b=R,则得到一个半径为R的球被一个平面所截,截得高为H的球缺的体积公式为:V=n’H(尺一) 【例7】计算由抛物线y2=2Px(畦xh)绕X轴旋转一周所得到的抛物旋转体的体积(其中P>O,h>O) 解:由定理1易知该抛物旋转体的体积为: = )】dr=gx(2px)ax=,rcPh 注:抛物y2=-2Px(-hx)绕X轴,x2=2Py(-hsyO)绕Y轴,xZ=-2Py(-hy0) 绕Y轴旋转一周所得到的抛物旋转 体的体积都是:V=,rcPh 参考文献: …刘巍.高等数学[MI.北京:北京理工大学出版社,2006. f2】陈纪修.数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 [MI.北京:高等教育出版社,2004. [31同济大学数学教研室.高等数学IM】.北京:高等教育出版社,1996. (责任编校:何俊华) Thesimpleanddirectfindingmethodonthecubatureof commonsolidofrotation LlUXin-wen (HunanInstituteofTechnology,Hengyang,421008) Abstract:Makinguseofdefinitintegal,thispaperdoesasystematicstudyoffourbasicmathematicmodelstofindthevolume fbrthesolidsofrotations.Onthefoundationofthetheorom,Wehavedeterminedthesimpleanddirectfindingmethodonthe cubatureformulaofcommonsolidofrotation. KeyWOrds:Solidofrotation;Cubature;Finding—method