论文浅谈多项式因式分解的方法.doc

论文浅谈多项式因式分解的方法.doc 浅谈多项式因式分解的方法 重庆师范大学涉外商贸学院 数学与应用数学(师范) 2008级 徐传华 指导教师:赵振华 中文摘要,多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程～是代数式恒等变形的一个 重要组成部分～也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、 解方程等方面有极其广泛的运用.本文通过对因式分解概念的阐述和方法的介绍 来说明它在数学中的应用. 因式分解 转化 方法 应用 关键词:多项式 polynomial factorization of polynomial multiplication is the inverse Chinese Abstract: process, are algebraic identical deformation is an important part of solving mathematical problems, is also the important means and tools.. Factorization in algebraic operations, such as solutions of equations has extremely extensive application. Based on the factorization of concept and method are presented to illustrate its application in mathematics. Factorization of polynomial transformation method and its application. Key words: 在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的 应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整 式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分 第 1页 共22页 解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.在解题过程中，问题变化万千，方法灵活多变.本文归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 因式分解的几种常用方法:提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法、因式定理法、换元法、求根法、综合除法、整除法、图象法、主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、综合法. 1.定义 定义 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式). 因式分解 是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础;学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力. 分解因式与整式乘法为相反变形. 22 (a-b)(a+b) a-b整式乘法 22 (a-b)(a+b) a-b 因式分解 同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤. 2.基本方法 2.1提公因式法 第 2页 共22页 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式. 例1 分解因式 bm-am+cm 分析 在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了. 解 bm-am+cm =m(b-a+c) 例2 分解因式 a(x-y)+b(y-x) 分析 通过适当的变形可以找出公因式(x-y)或(y-x)，再提出就可以了. 解1 a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) =(a-b)(x-y) 解2 a(x-y)+b(y-x) =-a(y-x)+b(y-x) =(y-x)(b-a). 2.2公式法 若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法. 22 例3 分解因式 4a-9b 2222分析 ??4a=(2a),9b=(3b),那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b 即可.?将两项交换后，这两项式是平方差的形式. 22 解 4a-9b 22 =(2a)-(3b) =(2a+3b)(2a-3b) 22 注 为保证解题正确要将中间步骤(2a)-(3b)写上，即先化为公式的左边形式. 例4 分解因式 22 (1)x(x-1)-x+1 第 3页 共22页 22+x+2)(x+x+7)-6 (2)(x 222 分析 (1)可看成二项式:将-x+1变形为-(x-1)则可提取公因式(x-1)再将公因式用平方差公式分解. 9222x，x，(2)题若将此式展开一定繁琐，注意到x+x+2与x+x+7的平均数为，2故可用换元法解: 22 解 (1)x(x-1)-x+1 22 =x(x-1) -1)-(x 2 =(x-1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x-1) 2 =(x+1)(x-1) 229(2)(7)x，x，，x，x，2x，x， (2)设y= = 22 22则(x+x+2)(x+x+7)-6 55(y,)(y，),6 =22252y,,6= 4492y, =477(y，)(y,)= 22979722(x，x，，)(x，x，,) =2222 22=(x+x+8)(x+x+1) 222 注 此题也可以展开式子(x+x)+9(x+x)+8再应用十字相乘法进行. 48 说明 此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是2-1是因式分解的平方差 6公式的基本形式.将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现2+1=656和2-1=63两个因式. 例5 分解因式 22 (1)x+6ax+9a 22 (2)-x-4y+4xy 2 (3)9(a-b)+6(a-b)+1 第 4页 共22页 分析 这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式. 2222=(x)，9a=(3a)，且这两项的符号相同，可写成平方和.这样x和 (1)题的x 3a就为公式中的a和b了.另外6ax正好是2(x)(3a)即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解. 22(2)题中的-x-4y，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即2222-x-4y=-[x+(2y)]，4xy正好是2(x)(2y)是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式.注意提取负号时4xy要变号为-4xy. 222(3)题9(a-b)+1可写成平方和[3(a-b)] +1，就找到公式中的a和b项为3(a-b)和1，6(a-b)正好是2×3(a-b)×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式. 22 解 (1)x+6ax+9a 22 =(x)+2(x)(3a)+(3a) 2 =(x+3a) 22 注 再写第一步的三个项的和时实际上先写x和(3a)项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内;计算出来为6ax，即原题中的中间项. 22 (2)-x-4y+4xy 22 =-(x-4xy+4y) 22 =-[x-2(x)(2y)+(2y)] 2 =-(x-2y) 2 (3)9(a-b)+6(a-b)+1 22 =[3(a-b)]+2×3(a-b)×1+1 2 =[3(a-b)+1] 2 =(3a-3b+1) 22222 例6 分解因式 (m+n+1)-4mn 分析 本题是一个二项式，符合平方差公式.用平方差公式分解后的两个多项 第 5页 共22页 式的因式后，都可分别先用完全平方公式再用平方差公式. 22222+n-1)-4mn 解 (m 2222 =(m+n-1+2mn)(m+n-1-2mn) 2222 =[(m+2mn+n)-1][(m-2mn+n)-1] 2222 =[(m+n)-1][(m-n)-1] =(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1) 例7 把下列多项式分解因式 3 (1)a，8 3 (2)27,8y 33322 分析 (1)因为8=2，故这是形如a，b,(a，b)(a,ab，b)，就完全可以运用立方和公式. 3322(2)通过变形就可以运用立方差公式 a,b,(a,b)(a，ab，b). 3解 (1)a，8 33 =a+2 22=(a+2)(a-2a+2) 2=(a+2)( a-2a+4) 3 (2)27,8y 33 =3-(2y) 22=(3-2y)[(3+6y+(2y))] 2=(3-2y)(9+6y+4y) 注 运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了 2.3分组分解法 能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式:二二分法，三一分法. 第 6页 共22页 例8 把多项式ax+ay+bx+by分解因式 分析 通过观察、分析，发现此题应用二二分法:把ax和ay分一组，bx和 by分一组，利用乘法分配律，两两相配. 解 ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 同样，这道题也可以这样做. ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 例9 把多项式x?-x-y?-y分解因式 分析 利用二二分法，再利用公式法a?-b?=(a+b)(a-b)，然后相合解决. 解 x?-x-y?-y =(x?-y?)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 222-20ax+20axy-5ay分解因式. 例10 把45am 分析 这个多项式的各项有公因式5a,先提取公因式,再观察余下的因式,可 以按“一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式. 222解 45am-20ax+20axy-5ay 222=5a(9a-4x+4xy-y) 222=5a[9a-(4x-4xy+y)] 22=5a[(3a)-(2x-y)] =5a(3a-2x+y)(3a+2x-y). 2.4十字相乘法 第 7页 共22页 十字相乘法的方法简单点来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数. 一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a?0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a×a，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c×c， 1212 把a，a，c，c，排列如下: a c 12121 1 ? a c 按斜线交叉相乘，再相22 2加，得到a×c+a×c，若它正好等于二次三项式ax+bx+c的一次项系数b，1221 即a×c+a×c=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式ax+c与ax+c之积，12211122 2即 ax+bx+c=(ax+c1)(ax+c). 122 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 但十字相乘法只能把某些二次三项式分解因式，而在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号. 2例11 把多项式x+2x-15分解因式 分析 通过观察，此题采用十字相乘法就可以了. 解 1 -3 ? 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x+2x-15=(x-3)(x+5). 例12 把2x?-7x+3分解因式. 分析 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 第 8页 共22页 分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同～ 2=1×2=2×1; 分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 1 1 ? 2 3 1×3+2×1=5 1 3 ? 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ? 2 -3 1×(-3)+2×(-1)=-5 1 -3 ? 2 -1 1×(-1)+2×(-3)=-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数,7. 解 2x?-7x+3 =(x-3)(2x-1) 例13 把多项式(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析 这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解，但用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?通过观察发现第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相 第 9页 共22页 乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 2-3(x-y)-2 =2(x-y) 1 -2 ? 2 1 1×1+2×(-2)=,3 原式=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1). 注 把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法. 2.5 拆项、添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算(在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零(在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项(拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解( 例14 分解因式 x?-9x+8( 分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧( 解法1 将常数项8拆成-1+9( 原式=x?-9x-1+9 =(x?-1)-9x+9 =(x-1)(x?+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x?+x-8)( 解法2 将一次项-9x拆成-x-8x( 原式=x?-x-8x+8 第 10页 共22页 3-x)+(-8x+8) =(x =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x?+x-8)( 解法3 将三次项x?拆成9x?-8x?( 原式=9x?-8x?-9x+8 =(9x?9x)+(-8x?+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x?+x+1) =(x-1)(x?+x-8)( 解法4 添加两项-x?+x?( 原式=x?9x+8 =x?-x?+x?-9x+8 =x?(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x?+x-8)( 说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添 什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、 添项法是因式分解诸方法中技巧性最好的一种( 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)， 使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与 原多项式相等的原则下进行变形. 2 例15 把m-6m+8 分解因式 用添项，拆项法做～ 解法一 m?-6m+8=m?-6m+9-1 =(m-3)?-1? =(m-3+1)(m-3-1) =(m-2)(m-4) 解法二 m?-6m+8 第 11页 共22页 =m?-2m-4m+8 =m(m-2)-4(m-2) =(m-2)(m-4) 2.6 配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 例16 把多项式x?+6x-7分解因式 解 x?+6x-7 =x?+6x+9-16 22=(x+3)-(4) =(x+7)(x-1)( 2.7 应用因式定理 对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a( 例17 分解因式:x?+5x+6 2 分析 令 f(x)=x?+5x+6，则f(-2)=0，故可确定x+2是x+5x+6的一个因式. 解 x?+5x+6=(x+2)(x+3) 注意 1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p(p,q为互质整数时)该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数 2(对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数 2.8 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意:换元后勿忘还元. 42 例18 把x+7x-30分解因式 2 分析 这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x设为y，那么这个多项式就可以转化为y?+7y-30.这是关于y的二次三项式，就可以利用上题的方法分解 第 12页 共22页 2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法. 因式了.这里，设y=x 22 解1 设x=y,则多项式可化为:y+7y-30 2 y+7y-30=(y+10)(y-3) 4222 ?x+7x-30=(x+10)(x-3) 2 说明 通过辅助元，把所给的多项式转化为形如x+px+q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略. 42222 解2 x+7x-30=(x)+7x-30 22 =(x+10)(x-3) 222 例19 把(a+a)-14(a+a)+24分解因式 分析 题目中的多项式有什么特点,含有字母的项可以作什么变换, 22 解 令a+a=u则原式变为u-14u+24 2因为u-14u+24=(u-2)(u-12) 222所以(a+a)+14(a+a)+14 22 =(a+a-2)(a+a-12) =(a+2)(a-1)(a+4)(a-3) 说明 换元法将原多项式化为二次三项式形式，可用十字相乘法分解因式，这是常用方法.换元的步骤可以不写出来. 例20 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式 分析 这个多项式是两个因式之积与另一个因式之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再分解因式.两个乘积的因式有什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便,第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 第 13页 共22页 2-3(x-y)-2 =2(x-y) =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1) 说明 把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这是运用了数学中的“整体”思想方法，当然也可以运用换元法，只是我们在熟悉后就直接把它当做一个整体. 2.9 求根法 ，x，x，„„x，则该多项式可分解为 令多项式f(x)=0,求出其根为x123n f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)„„(x-x) ( 123n 432 例21 把多项式2x+7x-2x-13x+6分解因式 432 解 令2x+7x-2x-13x+6=0， 则通过综合除法或整除法可知， 该方程的根为0.5 ，-3，-2，1( 432 所以2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)( 例22 分解因式 3x?,4x?,13x,6 分析(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定(常数项的因数除以最高次项系数的因数都可能是除的整除商(上例中常数项是6，则因数是?1，?2，?3，?6，最高次项系数是3,则因数是?1，?3，所以根可能是?1，?1/3，?2，?2/3，?3，?6，它们的因式可能是x?1，x?2，x?3，x?6，3x?1，3x?2(试除时先从简单的入手 (2)因式可能重复( 解 3x?,4x?,13x,6 =(x+1)(x,3)(3x+2)( 例23 把多项式2x?+3x?-8x+3分解因式. 解 (有理根定理的使用) 2x?+3x?-8x+3 常数项3的因数:?1，?3 首项系数2的因数:?1，?2 第 14页 共22页 可能的有理根就是常数项的因数除以首项系数的因数. 11331,,1,3,,3,,,,,, 2222 由验算这些可能的根时，得知x=1就是其中的一个根. 2×1?+3×1?-8×1+3=2+3-8+3=0 现在由综合除法可得到下面的结果. 1 2 3 -8 3 2 5 -3 2 5 -3 0 所以 (x-1)(2x?+5x-3)= 2x?+3x?-8x+3 最后,因式分解(2x?+5x-3)=(2x-1)(x+3) 故，可得2x?+3x?-8x+3=(x-1)(2x-1)(x+3). 我们也可以用带余除法的方法来解此题 2 x-1(除式) 2x?+3x?-8x+3(被除式) 2x+5x-3(商式) 2x?-2x? 5x?-8x+ 3 5x?-5x -3x+3 -3x+3 0(余式) 2于是求得商为2x+5x-3，余式为0.所得结果可以写成 23x?+4x?-5x+6=(2x+5x-3)(x-1) 2再对多项式2x+5x-3进行分解为(2x-1)(x+3) 故3x?+4x?-5x+6=(x-1)(2x-1)(x+3). 2.10 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x,x,x,„„123x，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)„„(x-x)( n 123n 第 15页 共22页 与方法9相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确. 例24 分解因式:x? +2x?-5x-6 分析 在分解x? +2x?-5x-6时，可以令y=x? +2x? -5x-6. 作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x?+2x?-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)( 解 x?+2x?-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 2.11主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解. 例25 分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析 此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) =a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 22例26 分解因式 x-8xy-48y 分析 这是多个字母的式子，关键是要确定其中的主要字母，而把其它字母看作这个字母的系数，题中的主要字母是x，它是关于x的二次三项式. 22 解 x-8xy-48y =(x-12y)(x+4y) 说明 如果认定题中的y为主要字母，并把x看作这些字母的系数，用这种分解方法也可以得到同样的分解结果. 2.12 特殊值法 将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式. 第 16页 共22页 例27 把x?+9x?+23x+15分解因式 分析 在分解x?+9x?+23x+15时，令x=2，则 x? +9x+23x+15=8+36+46+15=105， 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ( 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值， 则x?+9x?+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此. 2.13 待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解. 432 例28 把 x-x-5x-6x-4分解因式 432 分析 在分解x-x-5x-6x-4时，由分析可知:这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式. 432于是设x-x-5x-6x-4 22 =(x+ax+b)(x+cx+d) 432=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4( 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4( 43222则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)( 2.14 双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法. 双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: 22 ax+bxy+cy+dx+ey+f x、y为未知数，其余都是常数 用一道例题来说明如何使用. 第 17页 共22页 22+5xy+6y+8x+18y+12( 例29 分解因式 x 分析 这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解. 解 图如下，把所有的数字交叉相连即可 x 2y 2 ? ? ? x 3y 6 ?原式=(x+2y+2)(x+3y+6)( 双十字相乘法其步骤为: 22 ?先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图?中x+5xy+6y=(x+2y)(x+3y) ?先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项.如十字相乘图?中26y+18y+12=(2y+2)(3y+6) ?再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验，如十字相乘图?，这一步不能省，否则容易出错. 22 例30 求证2x-3y-1是多项式4x-4xy-3y+4x-10y-3的一个因式. 22, 分析 先用十字相乘法分解关于x,y的二次齐次式4x-4xy-3y,再把常数项-3分解为(+3)×(-1)，再利用十字相乘法，就可以得出最后结果. 22 证明 4x-4xy-3y+4x-10y-3=(2x+y)(2x-3y)+4x-10y-3=(2x+y+3)(2x-3y-1) 说明 此题是运用双十字相乘，先把多项式前三项用十字相乘法分解，然后再次使用十字相乘法，将多项式分解，命题得证. 2.15 综合法 应用多种方法来因式分解. 例31 分组分解后再用十字相乘 22 把2x-8xy+8y-11x+22y+15分解因式 22 解 原式=(2x-8xy+8y)-(11x-22y)+15 2 =2(x-2y)-11(x-2y)+15 =[(x-2y)-3][2(x-2y)-5] 第 18页 共22页 =(x-2y-3)(2x-4y-5) 说明 分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解. 例32 换元法与十字相乘法 22+x+1)(x+x+2)-6分解因式 把(x 2 分析 观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x+x)看成一个 22“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x+x)的一个二次三项式(或设x+x=u， 2将原式化为(u+1)(u+2)-6=u+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解 22 解 (x+x+1)(x+x+2)-6 22 =[(x+x)+1][(x+x)+2]-6 222 =(x+x)+3(x+x)-4 22 =(x+x+4)(x+x-1) 说明 本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解. 例33 因式分解与十字相乘法 222222 已知(x+y)(x-1+y)=12 求:x+y的值 2222 解 (x+y)(x-1+y)=12 2222 (x+y)[(x+y)-1]-12=0 22222 (x+y)-(x+y)-12=0 2222 [(x+y)-4][(x+y)+3]=0 22 ?x+y?0 22 ?(x+y)+3?0 22 ?(x+y)-4=0 22 ?x+y=4 22 说明 我们把(x+y)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一 第 19页 共22页 个一元二次方程.通过这个题，我们可以发现，二次三项式因式分解是解一元二次方程的方法之一. 例34 先补项后用完全平方 22242-2x(1+y)+x(1-y)( 分解因式(1+y) 2242222 解 原式=(1+y)+2(1+y)x(1-y)+x(1-y)-2(1+y)x(1-y)-2x(1+y)(补项) 22222 =[(1+y)+x(1-y)]-2(1+y)x(1-y)-2x(1+y)(完全平方) 222 =[(1+y)+x(1-y)]-(2x) 22 =[(1+y)+x(1-y)+2x][(1+y)+x(1-y)-2x] 2222 =(x-xy+2x+y+1)(x-xy-2x+y+1) 2222 =[(x+1)-y(x-1)][(x-1)-y(x-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)( 例35 先分组在提公因式用平方差公式 54322345 x+3xy-5xy-15xy+4xy+12y( 54322345 解 原式=(x+3xy)-(5xy+15xy)+(4xy+12y) 4224 =x(x+3y)-5xy(x+3y)+4y(x+3y) 4224 =(x+3y)(x-5xy+4y) 2222 =(x+3y)(x-4y)(x-y) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)( 3.多项式因式分解的一般步骤 3.1步骤 1.如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式; 2.如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解; 3.如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解 4.分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 第 20页 共22页 也可以用一句话来概括:“先看有无公因式，再看能否套公式.十字相乘试一试，分组分解要合适.” 4.注意 4.1 因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下:首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”.现举下例供参考 22 例36 把-a-b+2ab+4分解因式. 22解 -a-b+2ab+4 22=-(a,2ab+b,4) =-(a,b+2)(a,b,2) 这里的“负”，指“负号”.如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号， 2222使括号内第一项系数是正的.防止学生出现诸如,9x+4y=(,3x),(2y)=(,3x+2y)(,3x,2y)=(3x,2y)(3x+2y)的错误 43 例37 把,+2x+x分解因式. 432 解 ,+2x+x 22=x(x+2x+1) 22=x(x+1) 这里的“公”指“公因式”.如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式;这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1. 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.即分解到底，不能半途而废的意思.其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使 4222224每一个括号内的多项式都不能再分解.防止学生出现诸如4xy,5xy,9y=y(4x 2222,5x,9)=y(x+1)(4x,9)的错误. 4.2考试时应注意 第 21页 共22页 在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数～ 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的. 参考文献 [1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组,王萼芳,石生明,高等代数.北京,高等教育出版社,2003(3),8-12. [2] 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中. 八年级上册.人民教育出版社,2008(2):41-176. 第 22页 共22页