基本不等式的证明
课时3 基本不等式的证明
【课前自主探究】
※考纲链接
(1)了解基本不等式及其证明方法;
(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用;
(3)会用
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
法、综合法、比较法证明一些简单的不等式( (※
教材
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回归
◎基础重现:
(不等式的基本性质: 1
(1)(传递性) ;
(2)(
加法
100以内进位加法和退位减法100以内进位加法题100以内进位加法100以内进位加法竖式整数加法运算定律推广到小数说课
性质) ;
(3)(同向不等式可加性) ;
(4)(乘法性质) ;
(5)(正数同向不等式可乘性) ;
(6)(乘方性质) ;
7)(开方性质) ( (
2( 几个重要不等式:
(1) ; 若则aR,,
(2) (当仅当a=b时取等号); 若、则abR,,
(3)如果a，b都是正数，那么 (当仅当a=b时取等号)(
3(证明不等式的基本方法:
(1)比较法:作差比较， ;作商比较，
;
(2)综合法: ;
(3)分析法: ( 基础重现答案:
1.(1)如果ab,，bc,那么(传递性); ac,
(2)如果ab,，那么acbc，,，(加法性质);
a,bc,da，c,b，d(3)如果，，那么(同向不等式可加性);
(4)当c,0时，a,bacbc,;当c,0时，abacbc,,,(乘法性质); ,
ab,,0cd,,0acbd,(5)如果，，那么(正数同向不等式可乘性);
nn*ab,,0(6)如果，那么(乘方性质); abnN,,()
*nnab,,0(7)如果，那么(开方性质)( abnN,,()
1
22((1); 若a,R,则|a|,0,a,0
2222(2)(当仅当a=b时取等号); 若、则或abRababababab,，,，,,,2(2||2)
ab，(3)如果a，b都是正数，那么 (当仅当a=b时取等号)( ab,2
a 3((1) 根据a,b>0a>b，欲证a>b只需证a,b>0;当b>0时，a>b>1; ,,b
(2) 从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形(恒等变形或不等
变形)推导出要求证明的不等式;
(3) 从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件(对于思路不明显，感到无
从下手的问题宜用分析法探究证明途径(
◎思维升华:
(某大商场，在国庆期间举行商品大酬宾销售活动，准备分两次降价，设计了三种实施1
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
:
(A)第一次8折销售，第二次再7折销售;
(B)第一次7折销售，第二次再8折销售;
78，(C)第一次与第二次都折销售( 2
(1)试确定哪一种实施方案最受顾客欢迎,
(2)从这里你能得出一个怎样的一般性的数学结论,
2(已知都是正数，给出下面两个命题:(1)如果积是定值，那么当时，x,yxypxy,
xy，2pxy，和的有最小值;(2)如果和是定值S，那么当时，积有最xy,xy
12大值(这两个命题是否成立,怎样证明,从这里你能得到怎样的启发, S
4
思维升华答案:
M1((1)设商品的原价为元/件，则三种实施方案的销售物价分别是:
(A)M...M，，,0807056(元/件);(B)M...M，，,080705(元/件);
0807..，,,M.M,05625(C)(元/件)，故A和B两种实施方案受顾客欢迎( ,,2,,
(2)一般地，若令第一次打折销售，第二次打折销售，由上述研究我们可以得到ba
2ab，,,，ab,不等式，(当且仅当时取等号)，由于，故上不等a,bR,,ab,,2,,
ab，，ab,式可以变形为(，当且仅当时取等号)，这表明:两a,bR,,ab2
个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(此不等式称为基本不等式，它在
高中数学中有着十分广泛的应用(
xy，,xy 2(正确，可运用基本不等式证明如下:?都是正数，?( x,y2
xy，xyp，,2(1)当积为定值时，有,p，即(上式中，当 时xyp,xy,2
2
取等号，因此，当时，和xy，有最小值( 2pxy,
S12xyS，,(2)当积为定值时，有，即(上式中，当时取xy,xy,xyS,24
12等号，因此，当时，积有最大值( xy,xyS4
ab，，从这里，我们可以认识到:基本不等式ab,(当且仅当 ab,a,bR,2
时取等号)可以用来解决某些具有和或积的结构的函数式的最值问题(
※ 基础自测
1a1((2008?陕西卷改编)“”是“对任意的正数，”的 条件( 21x，?xa,x8
答案:充分不必要条件(
11|a|,|b|2( (2008?河北衡水中学第四次调考改编)若，则下列不等式:? ; ,,0ab
2aba,2a,b?a，b,ab;?;? 中，正确的不等式有 个( ，,2bab
答案:3(
abab,,，,0,0,23((2010?安徽卷文数) 若，则下列不等式对一切满足条件的
ab,恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)(
112233ab，,2ab，,3?ab,1;?;? ; ?; ?( ab，,2，,2ab答案:?，?，?(
解析:令ab,,1，排除??;由，命题?正确; 221,，,,,ababab
112ab，222，命题?正确;，命题?正确( abababab，,，,,,,()2422，,,,2ababab
1,2abc,,,log2,ln2,5abc,,4((2010?全国卷1文数改编)设，则的大3
小关系是 (
答案:cab,,
1,1112解析:a=2=，b=In2=，而，所以a
总结
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、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径.
请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思～ 我的错题:
错因:
反思:
※学以致用
课时3 基本不等式的证明
【基础级】
1(已知三个互不相等的实数、、满足:?若不是最大时，则最小;?若不 bbacac是最小，则最大，则这三个实数的大小关系是 ( a
答案:( b,a,c
2(设，都是实数，给出下列条件:?;?;?;?ba，b,1a，b,2a，b,2a
22a，b,2;?(其中能推出“，中至少有一个数大于1”的条件ab,1ba
是 ((请你把正确的序号都填上)
答案:?(
3(下列不等式的证明过程正确的是 (
babaa,bR,,(1)若则; ，,,,22abab
11，(2)若则; xR,,cosxcosx，,,,22cosxcosx
44,(3)若则; xR,,xx，,,,24xx
ababab，，,,,,,,,,a,bR,,ab,,0(4)若且则( ，,,,，,,,,,,,22,,,,,,,,,,bababa,,,,,,,,，，
答案:(4)(
ab,0ab,0解析:(1)中，只有当才成立，而题设不具备这一条件，因此(1)是
21，xR,cosx,0错误的;(2)中，时，不一定成立，例如，因此(2)x,cosx,,,,,032
8
444,,,,是错误的;(3)中，，则应有，因此(3)是x,0xxx，,,,，,,,,,24，，,,,,xxx,,,,,
错误的;只有(4)正确(
22a,bR,4(当时，下列不等式不正确的是 ((1)abab，,2; (2)
2222ab，abab，，,,,,22;(3);(4)( ,ab,logablogab，,2，，，，,,,,11222,,,,22
答案:(4)(
22222解析: ?，?abab，,2成立，又是ylog,ababab，,,,,20，，12
22减函数，可得，?(4)是错误的，其他都正确( logablogab，,2，，，，11
22
22ab,ab,ab,ab，，220101,,,,a,b,5(已知且，那么中，最大的是ab,
_________(
答案:( ab，
2222ab，解析:?，?只要比较与的大小就可以了( ab，abab,abab，,，,22
2222oa,b,,,,101?，?，?最大( ab，aa,bbabab,,,，,，
ab，2abab,,log,logaba,b,,，,06(若且则，三数从小到大的排log，，2222ab，列顺序为___________________________________(
2abab， 答案:( loglogablog,,222ab，2
ab，222abab,,a,b,,，,0ab,解析:?且?，又，,,,ab，，112ab，1，2abab
2abab，2abab，得，而是增函数，?( ylogx,,,abloglogablog,,2222ab，2ab，2
23xx27((2010年江苏卷12)设实数x，y满足3??8，4??9，则的最大值xy4yy是 (
答案:27(
3223xx1x111x22()[16,81],,[,]解析:，，,,,()[2,27]，的最大值4242yyxy83yyxy
是27(
9
【升华级】
?8(下列四个命题中，不正确的是 (
110,a,1则,1，a,2a(1)若0,a,则cos(1，a),cos(1,a);(2)若; 1,a2
72xylog(2，2)的最小值是(3)若实数x，y满足y = x，则 ; 28
22a,b,R则a，b，ab，1,a，b(4)若( 答案:(3)
解析:用排除法可证(1)(2)(4)成立，故考虑(3)的正确性((3)中
11177，xyxyx，y221，等号log(2，2),log(22),，1,(x，x)，,(x，)，,22222882
不成立(
adbdbcad，，，9(已知求证:( ，,4a,b,c,dR,bdac
adbdbcadacbdabcd，，,,,,，，,，，，,，，，解答:(?， a,b,c,dR,,,,,bdacbdacbadc,,,,
abcdababcdcd,,,,,,，，，,，,224?(?( ，,,,，,,,2222,,,,,,,badcbabadcdc,,,,,,
111,,,,,,，,,,,111810(且abc，，,1，求证:( a,b,cR,,,,,,,abc,,,,,,
12abcacbc，，，，,,,,,,110解答:?且abc，，,1，?(同a,b,cR,aaaa
111222bcacab,,,,,,1212acab理可得(?( ,,,,,,,1118,,,,,,1010,,,,,,,bbccabcabc,,,,,,?原不等式成立(
11，ab，，，,2ab，,111(已知且，求证:( a,bR,22
，解:?且ab，,1， a,bR,
11a，，1b，，1113113,,,,22aa，,,,，1bb，,,,，1?，( ,,,,22242224,,,,
131316131111,,,,,,,,,，，，,，，,，,abab2?abab，，，,，,，，,11( ，，,,,,,,,,242424222222,,,,,,,,
10
?原不等式成立(
我的错题:
错因:
反思:
11
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