金融数学笔记

- 28 - 第一讲 Black-Sholes公式的离散形式证明 一、Black-Sholes的期权定价公式 看张期权的定价公式： 看跌期权的定价公式： 其中 为标的物的价格且 ， 为到期时的股票价格； 为无风险利率;k为敲定价格。 二、证明 (1) 两个基本假设：股票市场有波动，不存在风险套利 (a) 分为N等份，每一段时间为 (b)假设初始财富为1，每一期的期末有两种可能：以p的概率变为1+b；以1-p的概率变为1+a。每一个等份内的利率为 ， (2)易知 。 (3)构造离散形式的二叉数模型 上面的二叉树可以一直延续到第N期，期末的财富为 。N阶段必然有N+1个终点，其中包括： 个 ， 个 ，… 个 …, 个 。 (4)在T时刻有 如果我们令 ，就可以得到下式： (5)期权在N时刻的价值 call: put: (6)看张和看跌期权的平价关系 由步骤（5）可知： (7)收益率的换算 因为 ，所以连续复利 。 又因为 根据无套利均衡原理，平均收益率 令 ，则 (8)二项分布的正态逼近 定理：设 ， 独立同分布。对其中的 有 ， 则： (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 证明：由于 ，将 和 带入可以得到： 取极限有： (Ⅰ) EMBED Equation.DSMT4 (Ⅱ) ； 所以有 (Ⅲ) 的特征函数 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 所以 (9)看跌期权的价值 令 所以 令 再令 ， 所以 又因为当 时 所以 令 有 再令 进一步可得到： (10)由步骤(6)的平价关系可知： 第二讲 证券投资组合理论 一、证券投资组合的收益风险测定 1、单一证券的收益风险的测定 R为某种证券在一段时间内的收益率，是随机变量 E(R)——预期收益率 ——证券风险 2、两个证券收益与风险的测定 EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4 预期收益率 ： 风险 3、两个证券 、 、 、 之间的关系 ① ② ③ 4、多种证券的组合 　　　　 　 EMBED Equation.DSMT4 　　　 二、有效边界和最优投资组合 ⑴可行集 ⑵有效集 ⑶风险偏好，无差异曲线 ⑷最优投资组合 三、无风险资产 无风险资产收益确定，方差为零。 四、有效边界线为双曲线 1、两基金分离定理： 有效边界上的任一点都可以由上面的两个不同点的线性组合表示 2、有效边界线为双曲线的证明: 资产权重： 资产收益（列向量）： 　　　　 资产的协方差矩阵： 　 　　　 约束条件： 构造拉格朗日函数： 　　　　　　　　　　　① 由①得： 记 　 　 (B>0,C>0,D>0) 则： 解得： 记  得： 设 ， 是对应上式的两个点 ， 。第三点 取一 ，使得： 在有效边界上任取一点P, ⑴ ⑵ ⑶ 即： 最小方差集是均值​—方差坐标系中的双曲线的一支。 第三讲 资本资产定价理论 一、资本市场线 ＝ 令 ＝1,其中， 表示无风险， 表示有风险 如果 >0, =1－ <1 如果 <0, =1－ >1 二、证券市场组合点 A,B表示两种股票(有风险)，F表示无风险债券 A：总市值660亿元, B：总市值220亿元， F：总市值120亿元 三、资本资产定价模型（CAPM） 1、 ＝ ＝ ＝ = = （ , ,……， ） ＝ ＝ 2、 ＝ ＝ 有风险的市场组合，与各个资产i和市场组合的风险有关，而与各个风险之间的风险 无关 ，m, i 越大，市场组合的整体风险越大 E(r ) =a +b 四. 证券市场线（SML） E（ ）= = 其中 为贝塔系数。 资本市场线与证券市场线的区别： 资本市场线中，M表示市场组合。 证券市场线表示某一个证券在市场中的风险， 等。 五. 证明 。 证：设有一投资组合P，风险证券i和有风险的市场组合M。 第i个证券的比例为 ，有风险市场组合M的比例为 。 两式相除： 资本市场线的斜率 其中 为均衡市场上第i 个产品的投资收益率。 资本市场线上 P是资本市场线上的点，为投资人期望的投资收益率。 第四讲 随机分析 一、Wiener过程 1、定义如果随机过程 满足 （1） （2） 是齐次的独立增量过程 （3）对于每一个 ，有 则称随机过程 为维纳过程。特别的当σ=1时， ， 称为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的维纳过程。 对于 ， ， 是相互独立且 2、定义 ①均值函数： ②方差函数： ③（自）协方差： ④（自）相关函数： 3、二阶矩过程 定义若随机过程 ，对于任意t，都有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 二、均方极限 1、Z与 相等， ① ② 有上两式知： 2、均方极限 ，记为： 3、 ， 则： a、b为常数则： 三、均方连续 1、设 为二阶矩过程，若 ，则称 在点t除连续， 2、连续的准则 ， ， 在点t处连续 EMBED Equation.DSMT4 在 处连续。 ，不妨令 则： 若： 反之可推，所以 四、均方导数 1、设 为二阶矩过程，如果 存在则称 在点t处可导，记为： ， 2、均方可微准则 ， ， 在点t处可微 EMBED Equation.DSMT4 在 处可混合二阶偏导。即： 存在并且等于 性质：① ② 例子： ，A位随机变量，若 ，则 证明： 两个不等式 五、均方积分 1、定义黎曼积分（Riemann integral） ① ， ② ， ，令 ③ ， 2、均方可积准则 存在 EMBED Equation.DSMT4 存在 3、性质： ① ② ③ 连续则可积 ④ 连续则， 连续可微，且 。 ⑤ ⑥ 则 ， 例：设 为维纳过程，求 解： ， ，令 ， 则有： 因为 所以 所以： 六、斯第尔切斯积分（Stieljes integral） 1、 或者 或者 2、有界变差 ， 七、二次变差 1、 ， 判断 是否成立 2、维纳过程的二次变差并不趋近于0 ，因为 ，所以 ① ② 因为： ， 且因： 所以： 又因为： 所以：上式 八、伊滕积分（Ito） 　 　 　　 　其中 例如：求证 证明： 　　　 又因为 所以： EMBED Equation.DSMT4 所以： 第五讲 鞅及其相关问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 第1节 条件期望 一、条件概率,y 1、离散型 X＝x ,x ,x …Y=y ,y ,y … P{Y=y ︳X=x }= 2、连续型 （x，y） x～f （x）， y～f （y） （x，y）～f（x，y） f（y︱x）= f(x︱y)= 二、条件期望 1、离散型 E [Y︱X=x ] = E [Y︱x ]= y P{Y=y ︱X=x } 2、连续型 E[Y︱X=x ] = E[Y︱x ]= y·f (y︱x ) dy 三、条件期望的性质 1、当随机变量X与Y相互独立时，E [ Y︱X ] = E [ Y ] 2、 E[E(Y︱X)]= E[Y] 证明：∵E[Y︱X]= y· dy ∴E[E(Y︱X)]= [ y· dy ] f (x) dx = y f (x, y) dx dy = y f (y) dy = E [ Y ] 3、E [ E (Y︱X …X ) ] = E [ Y ] 4、E [ g (X …X ) Y︱X …X ] = g (X …X ) E [ Y︱X …X ] 5、E [ aY + bZ︱X ] = a E [ Y︱X ]+ bE [Z︱X ] 6、E [(Y︱X , X )︱X ] = E [ Y︱X ] 7、E [(Y︱X )︱X X ] = E [ Y︱X ] 第二节 鞅的定义及性质 一、离散鞅的定义 若{ X }为随机序列，n=0,1,2… ①E︱X ︱＜ ②E [X ︱X …X ] = X X , X ,…X … Z , Z ,… Z … Z = H (X , X ,…X ) E [X ︱Z , Z ,… Z ] = X 二、连续鞅的定义 X (t) t [0,+ ] ①E [X (t) ] ＜+ ②E [X (t+h) ︱X (s), 0≤s≤t] = X (t) (h＞0) 三、鞅的性质 （1）若{ X }为鞅序列，则m≥1 n≥0有E [X ︱X …X ] = X ① m=1 时，显然成立 ② m＝k时，上式成立 ③当m＝k+1时，上式也成立 ∵E [X ︱X …X ] ＝E [E（X ︱X …X …X ）︱X …X ] ＝E [X ︱X …X ] ＝X （2）若{ X }为鞅，则E（X ）＝E（X ），E（X ）＝E（X ） （3）{ C }，C ＝C。常数序列为鞅序列 （4）鞅的增量的性质 设{ X }为鞅序列，令S = X ﹣X S = X 1 E [S ] = 0 2 E [S ︱S , S , …S ] = 0 3 Cov (S , S ) = 0 4 Var (X ) = VAR (S ) 四、鞅举例 （1）设随机序列{ Y } （n＝0，1，2…）为独立随机序列 Y = 0 E [Y ] =0 E︱Y ︱＜ 则 X = Y （随机和）为鞅序列 S = X + X +…+X 1 E︱X ︱≤ E︱Y ︱＜ ② ∵E [X ︱X …X ] = E [(X + Y )︱X …X ] = E [X ︱X …X ] + E [Y ︱X …X ] = X +E [Y ] = X { X }是鞅序列 推论:{ Y } Y = C E (Y ) = C 则X = (Y –C )是鞅序列 (2)设{ Y }为独立随机序列，Y ＝ 1，E (Y ) =1 则X = Y （随即积）为鞅序列 推论：为{ Y }为独立随机序列，Y = C ≠0 E (Y ) = C ≠0 则X = （Y / C ）为鞅序列 （3）Brown运动式鞅过程 w (t) ～N (0, t) 2 E [w (t+h)︱w (s) 0≤s≤t ] = w (t) = E [w (t+h)- w (t) + w (t)︱w (s) 0≤s≤t ] = E [w (t+h)- w (t) ︱w (s) 0≤s≤t ] + E [w (t)︱w (s) 0≤s≤t ] = E [w (t+h)- w (t) ] + w (t) = w (t) 推论（3）X（t）独立增量正态分布过程，X (t) ～N ( t, t) 则X（t）- t,= Y (t)为鞅过程 第三节 等价鞅测度 一、风险中性概率测度 （1）风险中性：对冒险持无所谓的态度 特点：对风险资产的预期收益率＝无风险利率的收益率 （2）风险中性概率测度 风险中性概率测度能使风险资产的预期收益率等于无风险利率收益率的那种概率测度。 风险资产S ↗S u = S p ↘S d = S 1-p E [S ] = S e 记E [S ] = S up + S d (1-p) e = p p = 1-p= d 协议 离婚协议模板下载合伙人协议 下载渠道分销协议免费下载敬业协议下载授课协议下载 价K=1.5。假设 遵循布朗运动，其波动率为 =10%，求英镑欧式看涨期权价格。 解： 其中 EMBED Equation.DSMT4 ； 2、 提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的 证：假设两资产A、B，其中A为有固定收益的看涨期权资产，B为无收益固定资产。 在不提前执行时： 资产A: 资产B： EMBED Equation.DSMT4 ， 此种情况下不提前执行时看涨期权收益会高于一般资产。 但在时刻 提前执行时： 资产A： 资产B： 因为 ＜0，所以 EMBED Equation.DSMT4 ＞ 因此看涨期权提前执行是不明智的。 但是看跌期权提前执行则是可以的（在此不予以证明）。 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� B A ｒ＝１ ｒ＝－１ ｒ＝0 Rf M m Rf M2 M1 0 Rf σm σ p 1-p ………………………… （1+b）n （1+b）n （1+b）n-k（1+a）k （1+b）n-1（1+a） 1 （1+a） （1+b） （1+a）2 （1+b）（1+a） （1+b）2 p p 1-p 1-p _1162050097.unknown _1162055146.unknown _1162291024.unknown _1162294335.unknown _1162362865.unknown _1162375589.unknown _1162375712.unknown _1162375759.unknown _1162375832.unknown _1162376166.unknown _1162376609.unknown _1162375845.unknown _1162375770.unknown _1162375736.unknown _1162375749.unknown _1162375724.unknown _1162375648.unknown _1162375691.unknown _1162375702.unknown _1162375651.unknown _1162375616.unknown _1162375631.unknown _1162375599.unknown _1162375527.unknown _1162375553.unknown _1162375565.unknown _1162375540.unknown _1162375499.unknown _1162375513.unknown _1162362926.unknown _1162320839.unknown _1162320988.unknown _1162362715.unknown _1162362859.unknown _1162362863.unknown _1162362749.unknown _1162321191.unknown _1162362263.unknown _1162362356.unknown _1162362370.unknown _1162362335.unknown _1162321361.unknown _1162362103.unknown _1162321008.unknown _1162320910.unknown _1162320952.unknown _1162320976.unknown _1162320921.unknown _1162320883.unknown _1162320899.unknown _1162320855.unknown _1162295793.unknown _1162300190.unknown _1162320811.unknown _1162300175.unknown _1162294832.unknown _1162295437.unknown _1162294680.unknown _1162292142.unknown _1162292799.unknown _1162293539.unknown _1162294313.unknown _1162293156.unknown _1162292432.unknown _1162292578.unknown _1162292390.unknown _1162291920.unknown _1162292023.unknown _1162292119.unknown _1162291994.unknown _1162291628.unknown _1162291663.unknown _1162291433.unknown _1162287475.unknown _1162288687.unknown _1162289857.unknown _1162290515.unknown _1162290856.unknown _1162290193.unknown _1162289153.unknown _1162289712.unknown _1162289077.unknown _1162287700.unknown _1162288453.unknown _1162288576.unknown _1162287830.unknown _1162287604.unknown _1162287661.unknown _1162287571.unknown _1162213326.unknown _1162214389.unknown _1162216788.unknown _1162287376.unknown _1162287464.unknown _1162217213.unknown _1162287322.unknown _1162217000.unknown _1162217212.unknown _1162215611.unknown _1162216178.unknown _1162216328.unknown _1162216329.unknown _1162216212.unknown _1162216326.unknown _1162215939.unknown _1162215955.unknown _1162216150.unknown _1162215885.unknown _1162214441.unknown _1162215410.unknown _1162214420.unknown _1162213573.unknown _1162214354.unknown _1162214377.unknown _1162214335.unknown _1162213527.unknown _1162213552.unknown _1162213531.unknown _1162213442.unknown _1162213460.unknown _1162213350.unknown _1162211736.unknown _1162212348.unknown _1162212897.unknown _1162212992.unknown _1162213079.unknown _1162213210.unknown _1162212931.unknown _1162212565.unknown _1162212726.unknown _1162212479.unknown _1162212418.unknown _1162212026.unknown _1162212049.unknown _1162211903.unknown _1162154124.unknown _1162211473.unknown _1162211715.unknown _1162211414.unknown _1162153692.unknown _1162153716.unknown _1162153269.unknown _1162054816.unknown _1162054890.unknown _1162054960.unknown _1162054994.unknown _1162055029.unknown _1162055047.unknown _1162055055.unknown _1162055143.unknown _1162055144.unknown _1162055068.unknown _1162055073.unknown _1162055051.unknown _1162055038.unknown _1162055042.unknown _1162055034.unknown _1162055012.unknown _1162055021.unknown _1162055025.unknown _1162055016.unknown _1162055003.unknown _1162055008.unknown _1162054999.unknown _1162054977.unknown _1162054986.unknown _1162054990.unknown _1162054981.unknown _1162054968.unknown _1162054973.unknown _1162054964.unknown _1162054925.unknown _1162054942.unknown _1162054951.unknown _1162054955.unknown _1162054947.unknown _1162054934.unknown _1162054938.unknown _1162054929.unknown _1162054907.unknown _1162054916.unknown _1162054920.unknown _1162054912.unknown _1162054899.unknown _1162054903.unknown _1162054894.unknown _1162054851.unknown _1162054869.unknown _1162054882.unknown _1162054886.unknown _1162054877.unknown _1162054860.unknown _1162054864.unknown _1162054856.unknown _1162054834.unknown _1162054843.unknown _1162054847.unknown _1162054838.unknown _1162054825.unknown _1162054830.unknown _1162054821.unknown _1162054747.unknown _1162054782.unknown _1162054799.unknown _1162054808.unknown _1162054812.unknown _1162054804.unknown _1162054790.unknown _1162054795.unknown _1162054786.unknown _1162054764.unknown _1162054773.unknown _1162054777.unknown _1162054769.unknown _1162054756.unknown _1162054760.unknown _1162054751.unknown _1162050807.unknown _1162050885.unknown _1162054734.unknown _1162054743.unknown _1162054729.unknown _1162050861.unknown _1162050878.unknown _1162050832.unknown _1162050249.unknown _1162050603.unknown _1162050781.unknown _1162050525.unknown _1162050164.unknown _1162050166.unknown _1162050157.unknown _1161794138.unknown _1161799565.unknown _1161844368.unknown _1161865343.unknown _1161866413.unknown _1161867315.unknown _1162048489.unknown _1162048696.unknown _1162048881.unknown _1162049205.unknown 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