平面向量的坐标表示(第一课时)

平面向量的坐标表示(第一课时) 平面向量的坐标表示(一) 原 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 平面向量的坐标表示(第一课时) 永康二中数学组 陈玲敏 教学目标:1.知识目标: ?使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程 (几何表示---线性表示---坐标表示)，会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会 作出已知坐标表示的向量; ?掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的 坐标运算法则，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于 此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。 2.能力目标: ?通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精 神，增强学生知识的应用意识; ?通过具体问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的分析解决，渗透数形结合的数学思想，提高学生的化归能力。 3.德育目标 在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。 教学重点:平面向量的坐标表示及坐标运算 解决办法:渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想. 教学难点:对平面向量的坐标表示的理解 解决办法:设置铺垫，蓄势成渠，注意过程分析. 教学方法:启发式谈话法 教 具:多媒体课件 授课类型:新授课 教学过程: 一.新课导入 ?借班开课，自我介绍，从姓氏“陈”字引出向量话题 课件展示“向量化”的方块字:笔画顺序---方向 线段长度—大小 CFHD ?提问:是否存在相等的向量,存在，有哪些, T 长度相等且方向相同的向量即为相等的向量 IBJE 强调自由向量---仅由大小和方向确定，与起点位置PKML无关. Q N?引入直角坐标系---x轴、y轴、原点、单位长度 SR 平面内每一个点都可以用一对实数(即它的坐标)来 G表示，那么平面直角坐标系内的每一个向量是否也 可以用一对实数来表示,如果可以，会是如何, 板书课题:平面向量的坐标表示及运算 ?指导老师提议课题提出可以置后，可留到平面向量坐标运算给出之后。维持学生的兴趣，最后让其为之一惊，恍然大悟. ?什么时候达到思维的高潮，思考教学重点、难点在哪里, 1 平面向量的坐标表示(一) 4 二.新课讲授 3 I.平面向量的坐标表示 A2 C1FHD?与x轴方向相同的单位向量---- iTIBJE-551015 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x PKML-1 与y轴方向相同的单位向量--- j QN-2SCD,BE,3i,FH,IJ,i,R-3G -4LK,,i,FG,,4j. AB,?,PQ,?-64 3 与x轴方向平行的向量可以用实数与的积表示 i-82 1b与y轴方向平行的向量可以用实数与的积表示 j-10-551015 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x 提问:对于既不与x轴方向平行也不与y轴方向平行的向-1 c-2量，如:还能用、表示吗,怎么表示, AB,PQji-3 -4?平面向量的基底表示 y 4把单位向量 、作为基底，由平面向量基本定理得 ji-63 A2， b,2i，2jc,2i,2j-81 B a,AB,OM,,2i,2j-551015-10 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x -1?平面向量的坐标表示 N-2 -3AB,,2i,2j,MN,,i,j,PQ,i,j, -4(-2 ，-2) (-1 ，-1) (1 ，-1) y BE,3i，0j,LK,,i，0j,FG,0i,4j -64 3 (3 ，0) (-1 ，0) (0，-4) A2-8由平面向量基本定理得上述的线性表示是唯一确定的. 1FH因此，平面直角坐标系内的每一个向量都可以按上述方法BE-10找到唯一的实数对与之对应. -551015 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x PKML-1试让学生说说是怎样的方法. QN-2自习(教材P110页)向量坐标表示的定义 时间可增补 -3G特殊向量的坐标表示: -4 i,(1,0),j,(0,1),0,(0,0)-6?全面铺垫后学生自习定义，形象思维帮助抽象理解，但淡化了平面向量基本定理的应用。 关于“平面向量坐标表示建立在平面向量基本定理基础之上”这一点体现得不够。基底的选-8 2 -10 平面向量的坐标表示(一) 取，为什么要垂直分解,基底有何特殊性, II.相关练习 y 4 例1.(1)写出向量的坐标，并与的坐标进行比较;OABC3A(2,3) 2的坐标 (2) 写出向量OC,OB1C(5,1) 解:(1)由图知 -551015BC,OA -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x -1 -2 BC,2i，3j,OA,2i，3jB(3,-2)-3 -4 (2) OC,5i，j,OB,3i,2j？BC,OA,(2,3) -6 相等的向量的坐标相同 ？OC,(5,1),OB,(3,,2) 比较向量的坐标与点A,B,C的坐标 -8OA,OC,OB 以原点O为起点的向量的坐标与点A的坐标相同 -10OA III.平面向量的坐标运算 y ?由图可知 4OC,OB，BC 3A(2,3) 平面向量的运算 平面向量的坐标运算 2 如果用坐标表示是如何呢, 1 C(5,1)(5，1)=(3，-2)+(2，3) -551015 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x 观察后，思考:已知 a,(x,y),b,(x,y),求a，b,a,b1122-1 -2 B(3,-2) a,b,(xi，yj),(xi，yj),(x,x)i，(y,y)j11221212-3 -4 a，b,(xi，yj)，(xi，yj),(x，x)i，(y，y)j11221212 -6 ？a，b,(x，x,y，y),a,b,(x,x,y,y)12121212平面向量的坐标的加减运算: -8 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 -10 思考:已知 a,(x,y)以及实数,,求,a11 ,a,,(xi，yj),,xi，,yj,(,x,,y)实数与向量的积的坐标表示: 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 ?运算推导过程板演，适当提示后也可让学生自己进行，结论的得出交给学生完成. 无论难易都让学生试着归纳总结一下. ?渗透了特殊到一般的化归，并注意验证过程. 3 平面向量的坐标表示(一) ? BC,OC,OB 4 (2, 3) = (5, 1) - (3, -1) ,y)A(x113 向量的坐标与点B,C的坐标相同 OC,OB2B(x,y)221 思考:已知,根据平面向量坐标 加减法 十以内的加减法题目100道100以内加减法练习题100以内加减法混合题十以内加减法100道题10以内加减法题目100道 A(x,y),B(x,y)1122 -551015 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x -1的坐标 运算求AB-2 -3 AB,OB,OA,(x,y),(x,y),(x,x,y,y)22112121-4 一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 -6 IV.相关练习 4B(-3,4) -8 例2. 已知a,(2,1),b,(,3,4),求a，b,a,b,3a，4b的坐标3 2-10解:， a，b,(2,1)，(,3,4),(,1,5)a,b,(2,1),(,3,4),(5,,3)1A(2,1) 3a，4b,3(2,1)，4(,3,4),(6,3)，(,12,16),(,6,19)-5510 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x -1 思考:能否在同一坐标系中作出, a,(2,1),b,(,3,4),a，b,a,b-2 -3 先转化为线性表示，如:，再几何表示. a,2i，j -4需注意的是与位置无关，在平面上可以自由移动. 三.课堂小结 内容:平面向量的坐标表示,,平面向量基本定理 平面向量的坐标运算,,向量的加减法、实数与向量的积 ,,,平面向量 几何表示 代数表示 意义:实现了几何问题的代数化，将数与形紧密结合在一起 四.作业布置 教材习题5.4—1、2、3、4 五.板书 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 (辅助教学) 课题:平面向量的坐标表示与运算 a,xi，yj1. 向量的坐标表示 a,(x,y) 2. 向量的坐标运算 板演过程 ?课件运用，共同思考的问题:怎样将多媒体教学与传统教学有机结合起来, 4 平面向量的坐标表示(一) [设计思路] 教材中所处位置:向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。中学数学教材新增向量的内容目的之一是将几何问题的证明转化为学生熟知的数量运算。而向量的坐标运算是实现上述目的的“基础设施建设”。(强调向量应用意识) 课时安排:5.4 平面向量的坐标表示主要三部分内容1.平面向量的坐标表示，2.平面向量的坐标运算，3.平行向量的坐标表示。虽然教材中涉及平面向量坐标表示的笔墨不多，但其中值得体会理解的东西还是比较多，比较有“内涵”。因为之前所学的定义、概念、 定理在这里得到了综合应用，共同作用得出了平面向量的坐标表示。第一课时意图体现知识的形成过程;第二课时向量坐标运算应用以及向量平行的坐标表示。 教学重点、难点:第一课时重点平面向量坐标表示以及平面向量坐标运算，关键是本质的理解与数形的转化。向量坐标表示注意渗透1.自由向量的概念 2.平面向量基本定理的应用;向量运算注意一些结论的得出以及适当的练习。 [评课 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 ] 主评:?自由向量思想由始至终都有体现，但平面向量基本定理强调得不够，基底需要作进 一步说明;可与物理知识联系，正交分解; ?课堂气氛较好，集体提问较多，但个别提问少，学生暴露问题的机会就少了; ?指导学生学习平面向量坐标表示的定义时留的时间可多些，也可让学生自己总结; ?平面向量坐标运算的推导过快; 指导老师:重点--参考教材，难点--分析学生; 引入新颖，共同思考的问题是什么时候达到思维的高潮, 课件运用，共同思考的问题是多媒体教学与传统教学的结合, 多媒体、教材、黑板多种教学工具，教材改动，但速度比较快，有些可以让学生讲. 教材理解，注重学生兴趣以及动脑(思维);学生能参与到课堂中来; 创新意识，重点、难点的突破心中有数;导入生活化，有新意;全面铺垫后学生自习定义，形象思维帮助抽象理解，但平面向量的基本定理有些被淡化了，比如:为什么要垂直分解，可联系物理力的正交分解作说明;渗透了特殊到一般的化归，并注意验证过程. 5 平面向量的坐标表示(一) 反思教案 平面向量的坐标表示(第一课时) 秀州中学数学组 陈女谊 教学目标:1.知识目标: ?使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程 (几何表示---线性表示---坐标表示)，会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会 作出已知坐标表示的向量; ?掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的 坐标运算法则，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于 此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。 2.能力目标: ?通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精 神，增强学生知识的应用意识; ?通过具体问题的分析解决，渗透数形结合的数学思想，提高学生的化归能力。 3.德育目标 在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。 教学重点:平面向量的坐标表示及坐标运算 解决办法:渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想. 教学难点:对平面向量的坐标表示的理解 解决办法:设置铺垫，蓄势成渠，注意过程分析. 教学方法:启发式谈话法 教 具:多媒体课件 授课类型:新授课 教学过程: 一.新课导入 ?借班开课，自我介绍，从姓氏“陈”字引出向量话题 课件展示“向量化”的方块字:笔画顺序---方向 线段长度—大小 CFHD ?提问:是否存在相等的向量,存在，有哪些, T 长度相等且方向相同的向量即为相等的向量 IBJE 强调自由向量---仅由大小和方向确定，与起点位置PKML无关. Q N?引入直角坐标系---x轴、y轴、原点、单位长度 SR 平面内每一个点都可以用一对实数(即它的坐标)来 G表示，那么平面直角坐标系内的每一个向量是否也 可以用一对实数来表示,如果可以，会是如何, 二.新课讲授 I.平面向量的坐标表示 ?与x轴正方向相同的单位向量---- i 与y轴正方向相同的单位向量--- j 6 平面向量的坐标表示(一) CD,BE,3i,FH,IJ,i,4 3LK,,i,FG,,4j. A2 C1FHDAB,?,PQ,?TIBJE-551015 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x PKML与x轴方向平行的向量可以用实数与的积表示 -1i QN-2SR与y轴方向平行的向量可以用实数与的积表示 j-3G -4提问:对于既不与x轴方向平行也不与y轴方向平行的向 量，如:还能用、表示吗,怎么表示, AB,PQji-6 4不能“单独”表示，尝试“合作”表示，由此可链接哪个3-8知识点(涉及一个向量用另两个向量线性表示), 2?平面向量的基底表示 1b-10自习(教材P108页)平面向量的基本定理 -551015 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x 单位向量 、是同一平面内两个不共线的向量，故可ji-1 c-2作为基底，而且还具有不同于一般基底的特殊性--(i)单位-3 向量;(ii).互相垂直 |i|,|j|,1i,j-4 y由平面向量基本定理得 4-6 3， b,2i，2jc,2i,2j A2-8 1 a,AB,OM,,2i,2j B-10-551015 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x 实数对是唯一的 ,,,-112 N-2?平面向量的坐标表示 -3问:在这直角坐标系中，你能否找到分别表示这些向量的-4相应实数对, AB,,2i,2j,MN,,i,j,PQ,i,j, -6y 4(-2 ，-2) (-1 ，-1) (1 ，-1) 3-8 BE,3i，0j,LK,,i，0j,FG,0i,4jA 21FH-10 (3 ，0) (-1 ，0) (0，-4) BE因此，平面直角坐标系内的每一个向量都可以按上述方法-551015 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x PKML-1找到唯一的实数对与之对应. QN-2试让学生说说是怎样的方法. -3G自习(教材P110页)向量坐标表示的定义 -4特殊向量的坐标表示: i,(1,0),j,(0,1),0,(0,0)-6 -8 7 -10 平面向量的坐标表示(一) II.相关练习 y 4 例1.(1)写出向量的坐标，并与的坐标进行比较;OABC3A(2,3) 2的坐标 (2) 写出向量OC,OB1C(5,1) 解:(1)由图知 -551015BC,OA -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x -1 -2 BC,2i，3j,OA,2i，3jB(3,-2)-3 -4 (2) OC,5i，j,OB,3i,2j？BC,OA,(2,3) -6 (1)比较与的坐标， ？OC,(5,1),OB,(3,,2)OABC(2)比较向量的坐标与点A,B,C的坐标， 你能得出什么结论, -8OA,OC,OB 你又能得到什么结论, 相等的向量的坐标相同 -10 “必然”还是“偶然”, “偶然”之中的“必然”又是什么, 以原点O为起点的向量的坐标与点A的坐标相同 OA III.平面向量的坐标运算 y 4 ?由图可知 OC,OB，BC 3A(2,3) 平面向量的运算 平面向量的坐标运算 2 如果用坐标表示是如何呢, 1C(5,1) (5，1)=(3，-2)+(2，3) -551015 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x 观察后，思考:已知 -1a,(x,y),b,(x,y),求a，b,a,b1122 -2 B(3,-2)-3 a,b,(xi，yj),(xi，yj),(x,x)i，(y,y)j11221212 -4 a，b,(xi，yj)，(xi，yj),(x，x)i，(y，y)j11221212 -6 ？a，b,(x，x,y，y),a,b,(x,x,y,y)12121212 -8平面向量的坐标的加减运算: 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 -10 思考:已知 a,(x,y)以及实数,,求,a11 ,a,,(xi，yj),,xi，,yj,(,x,,y)实数与向量的积的坐标表示: 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 注意渗透特殊到一般，猜想到证明的数学思想; 8 平面向量的坐标表示(一) 注意板书推导过程，减法以及实数与向量的积运算可让学生自己证明. ? BC,OC,OB 4 (2, 3) = (5, 1) - (3, -1) ,y)A(x113 向量的坐标与点B,C的坐标相同 OC,OB2B(x,y)221 思考:已知,根据平面向量坐标加减法A(x,y),B(x,y)1122 -551015 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x -1的坐标 运算求AB-2 -3 AB,OB,OA,(x,y),(x,y),(x,x,y,y)22112121-4 一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 -6 IV.相关练习 4B(-3,4) -8 例2. 已知a,(2,1),b,(,3,4),求a，b,a,b,3a，4b的坐标3 2-10解:， a，b,(2,1)，(,3,4),(,1,5)a,b,(2,1),(,3,4),(5,,3)1A(2,1) 3a，4b,3(2,1)，4(,3,4),(6,3)，(,12,16),(,6,19)-5510 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x -1 思考:能否在同一坐标系中作出, a,(2,1),b,(,3,4),a，b,a,b-2 -3 先转化为线性表示，如:，再几何表示. a,2i，j -4需注意的是与位置无关，在平面上可以自由移动. 课堂练习 教材P114页 练习1、2、3 让学生体会通过坐标表示向量的几何运算转为小学的算术. 三.课堂小结 内容:平面向量的坐标表示,,平面向量基本定理 平面向量的坐标运算,,向量的加减法、实数与向量的积 ,,,平面向量 几何表示 代数表示 意义:实现了几何问题的代数化，将数与形紧密结合在一起 四.作业布置 教材习题5.4—1、2、3、4 五.板书设计(辅助教学) 课题:平面向量的坐标表示与运算 a,xi，yj3. 向量的坐标表示 a,(x,y) 4. 向量的坐标运算 板演过程 9