7146数学物理方程模拟
试卷
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数学物理方程模拟试卷 一、写出定解问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(10分)
设枢轴长为l，建立枢轴纵振动在下列情形下的运动方程: (a) 在x=0固定，在x=l作用力F，在t=0时刻作用力突然停止 (b) 在x=l一端是平衡位置，而从t=0时刻作用力F(t)
22,,,uu2,,0,,,,0axlt，，,22,,tx,F,(,0),,(,0),0,0,, 解:(a)uxux，，xl ,tE,,，，，，(0,),0,,,0,,0utulttx,
,,
22,uu,,2，，,a,0,x,l,t,0,22,t,x,，，u(x,0),0,u(x,0),0,0,x,l(b) ,t
,，，Ft,，，，，utultt(0,),0,,,,,0x,E,
其中E为扬氏系数。
二、判定方程的类型并化简(20分)
222,u,u,,u,u例. 化简 ，2,3，2，6,022,x,y,x,y,x,y
(1)
a,1,b,1,c,,3解:已知
特征方程为
212dyb,b,ac,,, 1dxa
dy ？,,1,y,,x，c1dx
dy ,3,y,,x，c1,dx
,,x，y, 令 ,,3x,y,,
,,,,,,1,,1,,,,0,xyxxxyyy ？ (2) ,,3,,,1,,,,0,,,,,xyxxxyyy,
,,,,u,u，u,u,u，u,,,,,xxxyyy,22,,,,,,u,u，2u，u，u，u,,,,,,,,,xxxxxxxxx (3) ,,,,,,,,,,,,，，，，，uuu()uuu,,,,,,,,xyxyxyyxxyxyxy,22,u,u,，2u,,，u,，u,，u,yy,,y,,yy,,y,yy,yy,
将(2)代入(3)，可得
,,u,u，3u,2,,,uuu,,y,,u,u，6u，9u (4) ,,,,,,,xx
,u,u，2u,3u,,,,,,xy,
uu2uu,,，,yy,,,,,,,
把(4)代入(1)，可得
u，6u，9u，2u，4u,6u,3u，6u,3u，2u，6u，6u,6u,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
？16u，8u,0 ,,,
1即 u，u,0,,,2
这就是我们所求的
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
的双曲型方程。
三、(每小题10分，共20分)
22,y,yy(x,t),F(2x，5t)，G(2x,5t)4,25?
证明
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:为方程的通解。 22,t,x
y(0,t),y(,,t),0y(x,0),sin2x ?求满足条件:，，的特解。 y(x,0),0t
2x，5t,u,2x,5t,v解:?设，得
y,F(u)，G(v) ，
,y,F,u,G,v ,，,F'(u),5，G'(v),(,5),t,u,t,v,t
,5F'(u),5G'(v) ， (1)
2,y,,F',u,G',v,[5F'(u),5G'(v)],5,5 2,t,u,t,v,t,t
,25F"(u)，25G"(v) 。 (2)
,y,F,u,G,v ,，,F'(u),2，G'(v),2,x,u,x,v,x
,2F'(u)，2G'(v) ， (3)
2,y,,F',u,G',v,[2F'(u)，2G'(v)],2，2 2,x,u,x,v,x,x
,4F"(u)，4G"(v) ，(4) 由(2)与(4)，可得
22,y,y4,25 。 22,t,x
故满足方程，因为原方程为二阶方程，所以含有二个任意函数的解是通解。
y(x,t),F(2x，5t)，G(2x,5t),?由:
,y' 。 y(x,t),,5F'(2x，5t),5G'(2x,5t)t,t
可得
y(x,0),F(2x)，G(2x),sin2x ， (5)
' y(x,0),5F'(2x),5G'(2x),5G'(2x),0 (6) t
F'(2x),G'(2x)故 。
1 ， ？F'(2x),G'(2x),cos2x2
1 ， ？F(2x),sin2x，c12
1 ， G(2x),sin2x，c22
11即 。 y(x,t),sin(2x，5t)，sin(2x,5t)，c，c1222
利用 。 y(0,t),0或y(,,t),0知c，c,012
11故 y(x,t),sin(2x，5t)，sin(2x,5t)22
,sin2x,cos5t 。
代入可验证这是所求的解。
四(求方程的一般解(20分)
222,u,u,u,u,u22 1、 ， x,2xy，y，x，y,022,x,y,x,y,x,y
解:特征方程为
dyy ,,，。 ？xy,cdxx
2,,xy,,,u1,u 令， 代入方程得 ， ,,,2,,y.,,,,,,
,,,u,u()？ln,,ln，ln(),,,？, ， 。 ,,,,,
u,,(,)ln,，,(,)？u(x,y),,(xy)lny，,(xy)，。 (一般解)
2、求下面方程的初值问题的解:
222,,,,uuu，,,230,22,,xy,,xy,,2, u3x ,y,0
,u,0yy,0,,,
,,x，y,, 解:作变换: ,,,3x,y.,
2u,,0,可得方程 ,,,,
？u,(,,),,,()，,(,),,(x，y)，,(3x,y),
2,,,,，,u(x)(3x)3x,y,0, ,u,,,'(x),,'(3x),0.y,0,,y,
3c,22,,,(),，,xx,(x)，(3x),3x,,,44 ？1,,2,x,xc(),(3),.9xc,,,(3),,,x3,44,
3c,2,,,(),，,312244 ？u(x,y),,(,)，,(,),(x，y)，(3x,y).,2,c44,(),,.,,44,
22 ？u(x,y),3x，y.
五、用分离变量法求解(30分)
E,22u,au,(a,).ttxx,,,u(0,t),0,,', u(l,t),0,(t,0)x,
u(x,0),f(x),,
,'u(x,0),F(x).(0,x,l).t,
其中是坐标为的截面的位移，l是杆长，为单位长度的质量，E是杨氏系数。 ,ux
解:应用分离变量法:
u(x,t),X(x),T(t),令
X(x),Ccos,x，Dsin,x.即得
T(t),Acos,at，Bsin,at. 由边条件:
X(0),0,,C,0,
2n，1X'(l),0,,, 。 ,,2l
,,(21)21(21)n，n，n，(,)(cossin)sinuxtaatb,at,x？,， 。 ,nn222llln0,
由初条件:
,2n，1 u,asin,x,f(x),,t0n,2ln0,
,2n，12n，1 ， u,b(,a)sin,x,F(x),tt0n,2l2ln1,
故得:
l221n，()sin ， afx,xdx,,n,02ll
l421n，()sinbFx,xdx, ， n,0(21)2nal，,
u(x,t) 代入中，即得我们所要求的解。
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