Faraday定律的相对论形式

Faraday定律的相对论形式 第 14 卷第 4 期纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报V o l. 14, N o. 4 . , 20012001 年 12 月D ec BA S IC SC IENCES JO URNAL O F TEXT IL E UN IVERS IT IES 定律的相对论形式 F a raday 浦天舒 ()东华大学 理学院, 上海 200051 Ξ 摘要: 推导了相对论形式的 F a raday 定律, 举例说明了静止和运动参照系下感应电动势的 计算. 相对论; 感应电动势关键词: F a raday 定律; () 文献标识码: A 中图分类号: 441文章编号: 100628341 20010420342204 O 定律的参照系问题, 是电磁学教学中的一个难点. 因为在一定程度上可以把感应电动势F a raday 区分为动生电动势和感生电动势, 但正如赵凯华先生在《电磁学》中所指出的, 在普遍情况下它们不可 1 能通过坐标变换彼此归结. 事实上, 由于电磁问题本质上是相对论现象, 涉及的坐标变换是 L o ren tz 变换, 所以讨论这一问题最好从推导相对论形式的 F a raday 定律入手. 1 变换下的电磁场变换关系L o ren tz δ 设两个直角坐标系在 t = t’= 0 时重合, 带“撇”的坐标系以恒速 v = v z相对于不带“撇”的坐标系沿正 z 方向运动. 那么这两个坐标系之间的 L o ren tz 变换为 x ’= x , y ’= y ,()1 () z ’= Βz - v t, 2 (( ) ) t’= Βt - v cz .ƒ 2 2 128 ƒ() 其中 Β = 11 - v c; c = 真空中的光速? 3 × 10m s. ƒƒƒ () 1式意味着有微分变换关系 5 5 5 5 =, = ,5x ’ 5x 5y ’ 5y v 5 5 5 ()+Β 2 = , 2 z 5t 55z ’ c 5 5 5 = +v . Β 5z 5t’ 5t 其反变换关系为 Ξ 收稿日期: 2001207228 () 作者简介: 浦天舒 19602, 男, 江苏省吴江县人, 东华大学理学院副教授. 5 5 5 5 = , = ,5x x ’ 5y 5y ’ 5 5 v 5 5 ( ) = Β ,3 -2 5z 5t’ 5z ’ c 5 5 5 Β =- v . 5t 5t’ 5z ’ 因而 5E 5E 5E 5E z 5E yx 5E zy xδ δ δ x+y+zA × E = --- 5y 5z 5z 5x 5y 5x 5E 5E 5E 5E 5E 5E 5E 5E zy xz x v xy v yδ δ δ = Β x+ Β - y+-z,--- 2 2 5x’5y ’ 5z ’ 5t’ 5z ’ 5t’ cc5x ’ 5y ’ 5B 5B 5B 5B 5B 5B 5B x y yz zxδ δ δ -- v - v Β Β x+y+ Β= vz. 5t 5t’5z ’ 5t’ 5z ’ 5t’ 5z ’ 由 2方程 F a radayM axw e ll 5B (),4 A × E = - 5t 可得 5E 5E 5E y5B 5B z y v x xδ δ ()5 x= -x,Β -Β --v 2 5y ’ 5z ’ c5t’ 5t’ 5z ’ 5E 5B 5E 5B 5E zy x yv x δ δ ()6 Β - Β --y= - vy, 2 5x’5z ’ 5t’ c5t’ 5z ’ 即 5E 5 z 5 v δ δ ()(B +7 ) x y x= -Β Ex,-y x Β% +vB 2 c5y ’ 5z ’ 5t’ 5E 5 5 zv δ δ () ()B -Β- vB 8 Β y Ex E -y= - y. x y 2 c’t’ 55x5z ’ 假定在两个坐标系中M axw e ll 方程是协变的, 即在带“撇”的坐标系中的场有 5B ’ ()9 , A ’ × E ’= 5t’ ()() 将其分量与 7、8二式比较可见 ) ()( 10 E x ’= vB y ,ΒE x - (() ΒE +) 11y vB ,E y ’=x ()E ,12 z E z ’= v ()E 13 , B x ’= Β B x + y2 c v ()Β B - 14 B ’=y E x. y 2 c () () ()() 由方程 9并利用微分变换关系 2式和 10, 14式, 以及A ?= 0, 有 B () 15 B ’= B .z z 2 F a raday 定律 考虑积分形式的 F a raday2M axw e ll 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 , 在带“撇”的坐标系中的表示式是 5B ’ ()E ’ dS ’= -dS ’.16 rr κ ?C ’5t’ S ’ () () () () 令积分路径在 x ’2y ’平面, 所以 dS ’= dS. 利用变换 2式及 13, 14, 15式, 得 ? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. B ’ 5B ’5 E ’r dS ’= -Β + Βv r dS κ ?C ’5z 5t S 5E 5E 5B x5E 5B yB x5 v x5B z v y v y 2 δ 2 δ 2 δ δ= - Βx + x + + Β - y + Β z + Β v + 2 2 2 5t κ5t 5t 5t 5t 5z 5z cccS 5B 5B 5E x z y v 2 δ δ Βv Βv zr dS-y+2 5z 5z 5z c 5 5 55 δδ δδ δ 2 2 δ ) () (yBvByx+ vBz+= - ΒB+ Β z+ ΒvB+ Β x x+ y z x y z B 5t 5t 5z 5z κS 5 51 δ 2 δ ()Β+ v E yv E y x-v x dS r 2 5t 5z c 5 52 δδ δ 2 ) () = - Β(yBx x+ By z z- ΒA × v × B -B+ Β κ 5t 5t S 1 5 52 ()+ Β17 r dS. v ×v E 2 5t 5z c δδ δδ δδ() 如果定义一个并矢算子 Β = Βxx+ Βyy+zz, 则可把 17式缩写成 5 5B 5 1 ()() - +18 E ’ dS ’= - ΒΒ A × v × B v ×rE v dS. r - 2 5t 5t 5z ?C ’κ c S () () 当含有 v c 的项可以忽略时, 17或 18式变成 ƒ 5B ()()E ’r dS ’= -r dS. 19 - A × v × B κ ?C ’5t S 这是运动回路的 定律形式, 式中右边第一项是由磁场随时间的变化而产生的感应电动势, 称F a raday 为感生电动势; 第二项是回路运动所产生的感应电动势, 称为动生电动势. 但从相对论的观点来看, () () () 19式只是一个近似公式. 按照更精确的 17或 18式, 感应电动势不仅由磁场变化或导体切割磁力 线所产生, 而且还有电场随时间和空间的变化所产生的项的贡献. 在日常问题中, 后者的贡献当然可 以忽略. () () 从以上推导可以得出这样的结论: 所谓导体 回路的感应电动势, 这是对导体 回路所在的坐标() () ( ) ( 系 带“撇”而言的, 这是由 16式所确定的. 当整个导体 回路以同一速度 运动时, 站在导体 回 v ) () 路上看, 感应电动势是感生电动势, 而这时在不带“撇”的坐标系中的观测者看来, 导体 回路的感应 ( 电动势的大小由三部分合成: 一是由他所在的不带“撇”的坐标系中的磁场随时间变化而 [ 在导体 回 ) 路中 ] 产生的感生电动势; 二是在不带“撇”的坐标系的磁场中以速度 相对于该坐标系运动的导体v ( ) 回路产生的动生电动势; 此外还包括一项不带“撇”的坐标系中的电场随时间和空间的变化对感应 () () 电动势的贡献. 但当导体 回路各部分的运动速度不一致时, 则对站在导体 回路上不同速度处的观 () () 测者观测到的导体 回路某处的感应电动势, 将各自由所观测到的 相对于某一坐标系的不同的感 () 生和动生电动势 及电场随时间和空间的变化所组成. 下面举一个简单的例子进行分析. δ 如图 1 所示系统, 导线 a , b, c 静止, 导线L 以速度 v = v z δ 移动. 系统处在恒定的磁场B = B y中. 求L 上的感应电动势 ()EM F . 在静止坐标系 x , y , z 中, 5 E = 0, B x = B z = 0, B y =0, 5t () 但面元 dS ? dS ’随L 运动的坐标系 x ’, y ’, z ’中的面元, 而 () 是 dS = dy dz = dy ’Βdz ’= ΒdS ’, 所以由 17式 EM F 应为 图 1 系统示意图 2 () () EM F = - - ΒA × v × B dS ’= ΒA × v × B dS ,r r κ κ S S ’ 为避免整个积分面 S 各部分的速度不连续带来的麻烦, 可以利用 S to k e s 公式把面积分化成回路的线 积分, 则 L δ δ δ () () EM F = Βv × B dS = Βv z × B y dx x = - ΒB vL .r r ?C ?0 注意在解本题时积分回路 C 的取向如图 1 所示. 以上结果与通常未考虑相对论效应的结果的不同之 处是多了一个因子 Β. 本例也可以直接在 x ’, y ’, z ’系中进行积分计算, 因现在 E ’= - ΒvB , E ’=x y E ’=0, 所以z L L EM F = ’r dS ’= E ’dx ’= -E x ΒvB dx = - ΒvB L . ???C ’ 0 0 参考文献: 1 ) 北京: 人民教育出版社, 1978. 30.(赵凯华, 陈熙谋. 电磁学, 下册 数学七年级下册拔高题下载二年级下册除法运算下载七年级下册数学试卷免费下载二年级下册语文生字表部编三年级下册语文教材分析 [. M ’The f orm of Faradays law in the theory of re la t iv ity 2PU T ia osh u (), , 200051, Sc ience Co llegeD o ngh ua U n ive r sitySh angh a i C h ina ’: . A bstra c tT h e fo rm o f F a raday s law h a s b een de r ived f rom th e re la t iv ist ic po in t o f v iewA n EM F ex am p le is g iven fo r show in g th e ca lcu la t io n o f in du ced in th e sta t io n a ry refe ren ce sy stem an d .in th e m o v in g sy stem Key word s: F a raday’s law ; th e th eo ry o f re la t iv ity ; in du ced EM F 本刊加入“万方数据——数字化期刊群”的声明 为了实现科技期刊编辑、出版发行工作的电子化, 推进科技信息交流的网络化进 程, 我刊现已入网“万方数据—— 数字化期刊群”. 所以, 向本刊投稿并录用的稿件文章,将由编辑部统一纳入“万方数据—— 数字化期刊群”, 进入因特网提供信息服务. 凡有不 同意者, 请来函告知, 本刊将作适当处理. 本刊所付稿酬包含刊物内容上网服务报酬, 不 再另付. “万方数据—— 数字化期刊群”是国家“九五”重点科技攻关项目. 本刊全文内容按 照统一 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 制, 读者可上网查询浏览本刊内容, 并征订本刊. 《纺织高校基础科学学报》编辑部 2001 年 12 月 1 日 ? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.