用公式法求解一元二次方程

用公式法求解一元二次方程 一、公式法 公式法：求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是：．   上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.   【知识拓展】(1)求根公式专指一元二次方程的求根公式，只有确定方程是一元二次方程时，才可以使用．   (2)应用公式法解一元二次方程时，要先把方程化成一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项，且要注意它们的符号．   (3)b2－4ac≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．   一元二次方程的求根公式的推导：   一元二次方程的求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的过程．   ∵a≠0，∴方程的两边同除以a得．   配方得，，   ∵a≠0，∴a2＞0，∴4a2＞0．   ∴当b2－4ac≥时，是一个非负数．   此时两边开平方得，   ∴   【知识拓展】(1)被开方数b2－－4ac必须是非负数，否则没有意义．   (2)由求根公式可知一元二次方程的根是由其系数a，b，c决定的，只要确定了a，b，c的值，就可以代入公式求一元二次方程的根．   【新课导读·点拨】因为a＝1，b＝－1，c＝－90，所以 ．故x1＝10，x2＝－9(不符合实际，舍去)．所以全校有10个队参赛．   【例1】解下列方程． (1)x2－2x＝0；  (2)3x2＋4x＝－1；  (3)2x2－4x＋5＝0． 分析：   解：(1)x2－2x－2＝0，   ∵a＝1，b＝－2，c＝－2，∴b2－4ac＝(－2)2－4X1×(－2)－12＞0，   ∴，∴，.   (2)原方程可化为3x2＋4x＋1＝0，   ∵a＝3，b＝4，c＝1，∴b2－4ac＝42－4×3×1＝4＞0，   (3)2x2－4x＋5＝0，   ∵a＝2，b＝－4，c＝5，∴b2－4ac＝(－4)2－4×2×5＝－24＜0，   ∴该方程没有实数根． 二、一元二次方程根的判别式   定义：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定.我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，读作：“delta(德尔塔)”．   对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，   当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；   当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；   当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．   反之亦成立．   【知识拓展】(1)根的判别式是△＝b2－4ac，而不是．   (2)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况，要注意方程中各项系数的符号．   (3)如果一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0． 探究交流   已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，当m取最大值时，求该一元二次方程的根．   分析：根据根的判别式的意义可得△＝4－4m≥0，解得m≤1，所以m的最大值为1，此时方程为x2＋2x＋1＝0，然后运用公式法解方程．   解：∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，   ∴△＝4－4m≥0，∴m≤1，∴m的最大值为1，   当m＝1时，一元二次方程变形为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1．   【例2】一元二次方程x2＋x＋3＝0的根的情况是(  )   A．有两个不相等的实数根  B．有两个相等的实数根   C．没有实数根  D．无法确定   分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2－4ac的值的符号就可以了．∵a＝1，b＝1，c＝3，∴△＝b2－4ac＝12－4×1×3＝－11＜0，∴此方程没有实数根．故选C． ##整理归纳## $$练习$$ ## 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型## 单选 ##题干## (2013·珠海中考)已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，x2－2x－－3＝0．下列说法正确的是(  ) A．99帮有实数解 B．①无实数解，②有实数解 C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解 ## 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ## B ##解析##   方程①的判别式△=4-12=－8，则①没有实数解；②的判别式△=4+12=16，则②有实数解.故选B. $$更多练习$$ ##题型## 主观填空题 ##题干## (2011·上海中考)如果关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实数根，那么c的取值范围是______． ##答案## c＞9 ##解析## ∵关于xx2－6x＋c＝0(c是常数)没有实数根，∴△＝(－6)2－4c＜0，即36－4c＜0，c＞9 ##题型## 主观题 ##题干## (2012·珠海中考)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0．   (1)当m＝3时，判断方程的根的情况；   (2)当m＝3时，求方程的根． ##答案## 解：(1)当m＝3时，△＝b2－4ac＝22－4×3＝－8＜0，∴原方程无实数根. (2)当m＝－3时，原方程变形为x2＋2x－3＝0.∵b2－4ac＝4＋12＝16，，∴x1＝1，x2＝－3. ##题型## 主观题 ##题干## (2013·乐山中考)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0．   (1)求证方程有两个不相等的实数根；   (2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． ##答案## (1)证明：∵△＝(2k＋1)2－4(k2+k)＝1＞0，∴方程有两个不相等的实根.(2)解：一元二次方程x2－(2k+1)x＋k2＋k＝0的解为，即x1＝k，x2＝k＋1，不妨设AB＝k，AC＝k＋1，当AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＝5；当AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＋1＝5，解的k＝4.所以k的值为5或4. $$典型$$ ##典例精析## 类型一　用公式法解一元二次方程   【例1】用公式法解下列方程． （1）x2＋2x－2＝0；  (2) ；  （3）   分析：方程(1)(3)可直接确定a，b，c的值，方程(2)需先化为一般形式，再确定a，b，c的值．   解：(1)∵a＝1，b＝2，c＝－2，   ∴b2－4ac＝22－4×1×(－2)＝12＞0，   ∴，∴，   (2)将方程化为一般形式，得．   ∵a＝1，，c＝3，∴   ∴原方程没有实数根．   （3）∵a＝1，，，∴，   ∴，∴. 规律方法小结：   (1)用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．   (2)b2－4ac≥0是公式中的一个重要组成部分，b2－4ac＜0时，原方程没有实数根．   (3)当b2－4ac＝0时，应把方程的根写成，的形式，用以说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根． 类型二　不解方程判定根的情况   【例2】不解方程，判断下列方程的根的情况．   (1)x2－x－1＝0；  (2)2x2＋3x＝－2；  (3)－2x2－3x＋4＝0．   解：(1)∵a＝1，b＝－1，c＝－1，∴△＝b2－4ac＝1＋4＝5＞0，   ∴该方程有两个不相等的实数根．   (2)原方程可变形为2x2＋3x＋2＝0，   ∵a＝2，b＝3，c＝2，   ∴△＝b2－4ac＝9－16＝－7＜0，   ∴原方程没有实数根．   (3)原方程可变形为2x2＋3x－4＝0，∵a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴原方程有两个不相等的实数根． 类型三　几何图形中的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 设计问题   【例3】(2012·湘潭中考)如图2所示，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2．(所备材料全部用完)   分析：设未知数，将矩形的长和宽表示出来，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．   解：设AB＝x m，则BC＝(50－2x)m．   根据题意可得x(50－2x)＝300，解得x1＝10，x2＝15．   当x＝10时，BC＝50－2×10＝30＞25，不符合题意，舍去，   当x＝15时，BC＝50－2×15＝20＜25，符合题意，   故AB＝15 m，BC＝20 m.   答：可以围成AB的长为15 m，BC的长为20 m的矩形．   【解题策略】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列方程求解，注意围墙MN最长可利用25 m，舍掉不符合题意的数据． 类型四　用公式法解含字母系数的一元二次方程   【例4】解关于x的方程x2－2mx＋m2－2＝0．   解：∵a＝1，b＝－2m，c＝m2－2，   ∴ ，   ∴，   【解题策略】要熟练运用公式法求一元二次方程的解，准确确定a，b，c的值是解题的关键． 类型五　根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围．   【例5】k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0．   (1)有两个不相等的实数根?   (2)有两个相等的实数根?   (3)没有实数根?   分析：(1)当△＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当△＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；(3)当△＝b2－4ac＜0时，方程没有实数根．分别求出是的取值范围即可．解题时注意二次项系数k≠0．   解：方程是一元二次方程，则k≠0．   (1)若方程有两个不相等的实数根，   则△＝ b2－4ac＝144－36k＞0，解得k＜4．所以k＜4且k≠0．   (2)若方程有两个相等的实数根，   则△＝b2－4ac＝144—36k＝0，解得k＝4．   (3)若方程没有实数根，   则△＝b2－4ac＝144－36k＜0，解得k＞4． 类型六　 设计方案 关于薪酬设计方案通用技术作品设计方案停车场设计方案多媒体教室设计方案农贸市场设计方案 解决几何图形面积问题   【例6】(2013·连云港中考)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．   (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪?   (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2．”他的说法对吗?请说明理由．   分析：(1)设剪成的较短的一段长x cm，则较长的一段长(40－x)cm，这样就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58 cm2建立方程求出其解即可；(2)设剪成的较短的一段长优咖，则较长的一段长(40－m)cm，这样就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48 cm2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确．   解：(1)设剪成的较短的一段长x cm，则较长的一段长(40－x)cm，   由题意，得，解得x1＝12，x2＝28．   当x＝12时，40－x＝40－12＝28，   当x＝28时，40－x＝40－28＝12＜28(舍去)．   ∴较短的一段长12 cm，较长的一段长28 cm.   (2)设剪成的较短的一段长m cm，则较长的一段长(40－m)cm，   由题意，得，整理，得m2－40m＋416＝0，   ∵△＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无解．   ∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2． 类型七　分类讨论求方程的根   【例7】解关于x的方程(k－1)x2＋(k－2)x－2k＝0．()   分析：解含有字母系数的方程，往往要按字母的取值分类讨论．此题有两种情况，k＝1和k≠1，当且仅当k≠1时，二次项系数不为零，才能用一元二次方程的求根公式来解．   解：当k＝1时，原方程为－x－2＝0，∴x＝－2．   当k≠1时，∵a＝k－1，b＝k－2，c＝－2k，   ∴b2－4ac＝(k－2)2－4(k－1)(－2k)＝9k2－12k＋4＝(3k－2)2≥0，   ∴，∴，   【解题策略】当二次项系数中含有参数时，要讨论；次项系数是否为零． 类型八　应用根的判别式判断三角形的形状   【例8】已知a，b，c分别是伽c的三边长，当m＞0时，关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则△ABC是什么形状的三角形?   分析：由方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，得到与m有关的等式，由m＞0得a，b，c之间的关系，从而判定三角形的形状．   解：将方程化为一般形式．   因为原方程有两个相等的实数根，   所以 ，即4m(a2＋b2－c2)＝0，   又因为m＞0，所以a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2．   根据勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形． 类型九　探索含字母系数的一元二次方程的根的情况   【例9】已知关于z的一元二次方程ax2＋bx＋c＝o(a≠0)．   (1)当a，c异号时，试说明该方程必有两个不相等的实数根；   (2)当a，c同号时，该方程要有实数根，还需要满足什么条件?请你写出一个a，c同号，且有实数根的一元二次方程，并解这个方程．   分析：(1)只需说明b2－4ac＞0即可．(2)是一个开放性问题，写出的方程满足a，c同号，且b2－4ac≥0即可．   解：(1)因为a，c异号，所以ac＜O，所以－4ac＞0，所以b2－4ac＞0，   所以，当a，c异号时，该方程必有两个不相等的实数根．   (2)当a，c同号时，该方程要有实数根，还需满足条件b2－4ac≥0．   例如方程x2－4x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝1．   【解题策略】(2)中并不是任意的方程都可以，它满足的条件是a，c同号且b2－4ac≥0，而这样的方程有无数个，我们可以选取一些解答较方便的方程。 ##中考链接## 考点透视   用公式法求一元二次方程的解历来是中考的考查重点，重点考查对求根公式的运用，其中对根的判别式的考查比例较大，题型以选择题、填空题为主，往往与方程的应用等其他知识进行综合考查． 真题剖析   【例1】(2013·上海中考)下列关于x的一元二次方程有实数根的是(  )   A．x2＋1＝0  B．x2＋x＋1＝0   C．x2－x＋1＝0  D．x2－x－1＝0   分析：A．这里a＝1，b＝0，c＝1，∵△＝b2－4ac＝－4＜0，∴方程没有实数根，本选项不符合题意；B．这里a＝1，b＝1，c＝1，∵△＝b2－4ac＝1－4＝－3＜0，∴方程没有实数根，本选项不符合题意；C．这里a＝1，b＝－1，c＝1，∵△＝b2－4ac＝1－4＝－3＜0，∴方程没有实数根，本选项不符合题意；D．这里a＝1，b＝－1，c＝－1，∵△＝b2－4ac＝1＋4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，本选项符合题意．故选D．   【例2】(2013·兰州中考)解方程x2－3x－1＝0．   分析：利用求根公式来解方程．   解：∵a＝1，b＝－3，c＝－1，∴△＝ b2－4ac＝9＋4＝13＞0，   ∴，即，．   【例3】(2013·南充中考)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0．   (1)求出方程的根；   (2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数?   分析：(1)利用求根公式求解；(2)利用(1)中x的值来确定m的值．   解：(1)根据题意，得m≠1．   △＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，   则，x2＝1．   (2)由(1)知，   ∵方程的两个根都为正整数，∴是正整数，   ∴m－1＝1或m－l＝2，解得m＝2或3．   ∴m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．   【例4】(2013·北京中考)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．   (1)求是的取值范围；   (2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．   分析：(1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于是的不等式，求出不等式的解集即可；(2)根据忌的取值范围确定出正整数志的值，经检验即可得到满足题意的k的值．   解：(1)根据题意得△＝4－4(2k－4)＝20－8k＞0，解得．   (2)由k为正整数得到k＝1或2，   利用求根公式表示出方程的解为，   ∵方程的解为整数，∴5－2k为完全平方数，则k的值为2．   【例5】(2013·威海中考)要在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．   (1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；   (2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同，直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半．)   分析：(1)根据方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可(2)求得甬路的宽后利用平行四边形面积的计算方法求得两个阴影部分面积的和即可得出绿地的总面积．   解：(1)根据小亮的设计方案列方程得(52－x)(48－x)＝2300．   解得x＝2或x＝98(舍去)．   ∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m．   (2)分别过点A，H作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为I，J．   ∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠ADI＝60°．   ∵BC∥AD，AB∥CD，∴四边形ADCB为平行四边形，∴BC＝AD．   由(1)得x＝2，∴AD＝BC＝HE＝2．   在Rt△ADI中，AD＝2，DI＝1，由勾股定理得.同理，.   ∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为 m2