2011年数学建模集训小题目[整理版]

2011年数学建模集训小题目[整理版] 2011年数学建模集训小题目1.求下列积分的数值解 ，,dx(1) ,322x,x,3x，2 2222(2)，; 1,x,yd,D,{(x,y)|x，y,x},,D2222zln(x，y，z，1)22,,,,(x,y,z)|0,z,1,x,y(3)，。dv222,,,x，y，z，1, 10t，h22.已知，g(h),f(t,h)dt，画出f(t,h),ecos(t，h)，(t，h)sin(t，h),0 h,[,10,10]g(h)时，的图形。 3.画出由椭圆 22xy，,1 22ab 所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体(叫做旋转椭球体)的图形，并计算它的体x 积。 224.画出绕轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。x，(y,5),16x x,1,,400yexx,,，，,30sin(25)130,[0,600]5. 有一外表面母线为的旋转体,,100,,(绕轴旋转)工件，画出该工件并计算工件的体积。 x 6.画出下列曲面的图形 222x，yz,,1(1)旋转单叶双曲面; 94 222xy，z,,1(2)旋转双叶双曲面; 94 2(3)抛物柱面; y,x 22xy2，,z(4)椭圆锥面; 94 222xyz，，,6(5)椭球面; 946 (6)马鞍面; z,xy 22xy，,1(7)椭圆柱面。 94 sinx，cosy,17.画出隐函数的图形。 x，2y,ln8.(1)求函数的三阶导数; 1,x (2)求向量的一阶向前差分。 a,[00.524] 9.求解非线性方程组 2,x，y,6,0,(1) ,2,y，x,6,0, x，siny,，,ecosy10(2) ,tanx，10lny,5, 3210.求函数的极值点，并画出函数的图形。f(x),x，6x，8x,1 22,x,y[,2,2]，[,2,2]11(画出函数在上的等值线和相应的梯度方向。z,xe 22xy，,112.曲线是椭圆在第一象限部分，求曲线积分。LI,xyds22,Lab 222213.曲线是圆周的上半部分，求积分。Lx，y,axI,(x，y)dx，4xydy,L 222S14.被积曲面为球面在第一卦限部分的外侧，计算曲面积分x，y，z,1 I,xyzdxdy,,S22x，y,12f(x,y),e15. 是一个二维随机变量的概率密度函数，绘出这一分布的联合2, 分布函数图像和概率密度函数图像。 22216.判别二次型的正定性，并求正交变换把二次型化成标f,2x，4x，5x,4xx12312 准型。 17.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1m的圆钢各一根。已知原料长6.9m，问应如何下料，使用的原材料最省。 18. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知: 项目，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115,;A 项目B，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125,，但规定最大投资额不超过4万元; C项目，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140,，但规定最大投资额不超过3万元; 项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6,。 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大, 19.已知某工厂 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 生产?，?，?三种产品，各种产品需要在A，B，C三种设备上加工生产，具体相关数据如表1。试研究下列问题。 (1)如何充分发挥已有设备的能力，使生产盈利最大, (2)如果为了增加产量，可租用其他厂家设备B，每月可租用60台时，租金为1.8万元，试问租用设备B是否合算, (3)如果该工厂拟增加生产两种新产品?和?，其中产品?需用A设备12台时，B设备5台时，C设备10台时，单位产品盈利21000元;产品?需用A设备4台时，B设备4台时，C设备12台时，单位产品盈利1870元。假如A，B，C三种设备台时不增加，试分别考虑这两种新产品的投产在经济上是否合算, 表1 生产计划的相关数据 ? ? ? 设备有效台时/每月 A 8 2 10 300 B 10 5 8 400 C 2 13 10 420 单位产品利润/元 3000 2000 2900 20.某市政府拟投入一笔资金和一定数量的劳动力建设两类公益项目A和B，目的是方便市民的生活，提高城市的生活质量。根据预测投入1万元资金和1百个劳动力?h(即每个劳动力用1h),分别可以建成1个项目A和两个项目B。如果投入1个劳动力?h需要支付10元，市政府为了用有限的资金和劳动力，并用最快的时间建成这批项目，服务于社会，服务于人民。市政府依次提出下面的四条要求。 (1)至少要建50个项目A; (2)至多建设60个项目B; (3)至少要利用80万元资金和10000个劳动力?h; (4)总投入资金不超过预算120万元。 试为该市政府制定一个满意的项目建设 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 。 [1,10]21.在10个顶点的无向图中，每对顶点之间以概率0.6存在一条权重为上随机整数的边，首先生成该图。然后求解下列问题 (1)求该图的最小生成树。 (2)求顶点到顶点的最短距离及最短路径。 vv101 (3)求所有顶点对之间的最短距离。 i,1,？,9j,i，1,？,1022. 在10个顶点的有向图中，顶点()和v()之间存在vji [1,10]前向弧的概率为0.8，存在后向弧的概率为0.2，各弧上的容量是上的随机整数，求起点到终点的最大流量。 vv101 30.求微分方程组初值问题 dx,,rx,axy,dt,dy, ,,sy，bxy,dt, x(0)x,y(0)y,,,00,, s,1a,1b,2式中，，，，。 r,2 ,5,61010选用ode45函数计算，其相对误差限为，绝对误差限为，分别画出初值 [1,0.5][1,0.7][1,0.9][1,1.1]条件为，，，，解的相平面轨迹图。[x,y],[1,0.3]00 31.J(H(Engel用第二次世界大战末期美日硫磺岛战役中的美军战地 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 ，对Lanchester作战模型进行了验证，发现模型结果与实际数据吻合得很好。 硫黄岛位于东京以南660英里的海面上，是日军的重要空军基地。美军在1945年2月开始进攻，激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日方守军21500人全部阵亡或被俘，美方投入兵力73000人，其中第1天登陆54000人，第2天未增援，第3天增援6000人，第4、5天未增援，第6天增援13000人，以后未增援。战斗结束时，战斗结束时，美军伤亡20265人，战争进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。美军的战地记录有按天统计的战斗减员情况。日军没有后援，战地记录则全部遗失。 x(t)y(t)用和表示美军和日军第天的人数，忽略双方的非战斗减员，则t dx,,,ax，u(t),dt,dy, (1),,bx,dt, x(0),0,y(0),21500, ,, u(t)美军战地记录给出增援为 54000,0,t,1, ,6000,2,t,3,u(t), ,13000,5,t,6, ,0, 其它, x(t)t,1,2,？,36并可由每天伤亡人数算出()的实际值。 a,b模型求解的主要工作是对参数进行估计。对(1)式两边积分，并用求和来近似代替积分，有 tt x(t),x(0),,ay(,)，u(,) (2),,,,,,11 t y(t),y(0),,bx(,) (3),,,1 y(36),0x(t)bt,36为估计在(3)式中取，因为，且由的实际数据可得36 x(t),2037000(Engle根据Morehouse所给的数据算出来的)，于是从(3)式估,t,1 y(t)t,1,2,？,36b,0.0106计出。再把这个值代入(3)式即可算出，。 t,36然后从(2)式估计。令，得 a 36 ,u(),x(36),,,1a, (4)36 y(,),,,1 y(t)其中分子是美军的总伤亡人数，为20265人，分母可由已经算出的得到，为372500 a,0.0544人，于是从(4)式有。把这个值代入(2)式得 tt x(t),,0.0544y(,)，u(,) (5),,,,,,11 x(t)由(5)式就能够算出美军人数的理论值，与实际数据吻合得很好。 a,b根据上述求得的参数的值，求微分方程组(1)的数值解，并画出美军人数、日军人数的按时间变化曲线和微分方程组的轨线。 32.某地区用水管理机构需要对居民的用水速度(单位时间的用水量)和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水。按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水;当水位升高到最高水位，约10.8m时，水 泵停止工作。 表2给出的是28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有4个时刻无法测到水位(表1中为-)。 表2 水塔中水位原始数据 时刻(t)/h 水位/m 时刻(t)/h 水位/m 时刻(t)/h 水位/m 时刻(t)/h 水位/m 试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日总用水量。 222233(求两个圆，所围公共部分的面积。x，y,100(x,3)，(y,4),100 (X,Y)34.已知二维正态分布的随机变量的概率密度函数为 22,,1xy,,,，,,121625,,(,)fxy,e， 40, 计算，并求使得.p,f(x,y)dxdyp,f(x,y)dxdy,0.9r12,,,,22222x，y,25x，y,r 0,y,48000,x,560035.已知平面区域，的高程数据见表3(单位:m)。 表3 4800 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 150 4400 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210 4000 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 350 3600 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 500 3200 1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 1550 2800 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 1200 2400 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100 2000 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 936 950 1600 830 980 1180 1320 1450 1420 400 1300 700 900 850 810 380 780 750 1200 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550 800 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 350 400 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320 0 370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600 Y/X 试用二维插值求方向间隔都为10的高程，画出该区域的等高线和三维视图，并求x,y 该区域的表面积。 145x，，，，1,,,,TA,426x,x36. 已知矩阵，，求二次型在单位球面f(x,x,x),xAx2123,,,, ,,,,563x3，，，， 222x，x，x,1上的最小值。 123 37. 求解线性规划问题 max Z,20x，90x，80x，70x，30x112345 x，x，x,30,125,x，x,3034,, s.t. 3x，2x,120,13 ,3x，2x，x,48245, ,x,0, i,1,？,5i, 38(求解数学规划问题 1000 maxx ,ii,1 ,Ax1,500，1s.t. ,x0,, 其中，这里是服从均值为5， 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差为2的正态分布的随机数;A,(a)a1ij500，1000ij500，1表示500个元素全部为1的列向量。 421，， ,,T39. 均值向量为，协方差矩阵为的3维正态分布的联合概,,293,,[1,2,3],, ,,138，， 1T,1,(x,,),(x,,)1T2,(,,),率密度函数为yfxxxe，其中。生x,[x,x,x]12312331222,,() i,1,2,？,1000成上述三维正态分布的1000对随机数()，把(x,x,x)(x,x,x)i1i2i3i1i2i3 i,1,2,？,1000代入求得()。反过来用y,f(x,x,x)(x,x,x,y)y123i1i2i3ii i,1,2,？,1000()来拟合三维正态分布的均值向量和协方差矩阵。,, 40. 根据表4某猪场24头育肥猪4个胴体性状的数据 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 ，试进行瘦肉量y对眼肌面积(x)、腿肉量(x)、腰肉量(x)的多元回归分析。 123 表4 某养猪场数据资料 序 序瘦肉量 眼肌面积 腿肉量 腰肉量 瘦肉量眼肌面积腿肉量腰肉量22y(kg) x(cm) x(kg) x(kg) y(kg) x(cm) x(kg) x(kg) 号 号 1231231 15.02 23.73 5.49 1.21 14 15.94 23.52 5.18 1.98 2 12.62 22.34 4.32 1.35 15 14.33 21.86 4.86 1.59 3 14.86 28.84 5.04 1.92 16 15.11 28.95 5.18 1.37 4 13.98 27.67 4.72 1.49 17 13.81 24.53 4.88 1.39 5 15.91 20.83 5.35 1.56 18 15.58 27.65 5.02 1.66 6 12.47 22.27 4.27 1.50 19 15.85 27.29 5.55 1.70 7 15.80 27.57 5.25 1.85 20 15.28 29.07 5.26 1.82 8 14.32 28.01 4.62 1.51 21 16.40 32.47 5.18 1.75 9 13.76 24.79 4.42 1.46 22 15.02 29.65 5.08 1.70 10 15.18 28.96 5.30 1.66 23 15.73 22.11 4.90 1.81 11 14.20 25.77 4.87 1.64 24 14.75 22.43 4.65 1.82 12 17.07 23.17 5.80 1.90 13 15.40 28.57 5.22 1.66 要求 (1)求关于的线性回归方程 yx,x,x123 ， y,c，cx，cx，cx0112233 计算的估计值; c,c,c,c0123 (2)对上述回归模型和回归系数进行检验(要写出相关的统计量); (3)试建立关于的二项式回归模型，并根据适当统计量指标选择一个yx,x,x123 较好的模型。 (4)利用表4的数据分别利用Matlab的命令lsqcurvefit和nlinfit拟合非线性函数 ax31 y,asinx，aecosx，tan(ax)112342 41.对于表7中的数据，求三次样条插值函数(要求写出具体的插值函数)，并求插值函数与x,1x,4，及轴所围曲边梯形的面积。 x 表5 3 4 x, , y1.5 1 2 2.5 42. 用Matlab符号求解命令求微分方程的精确解，并用龙格—库塔方法求微分方程数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较。 ,,12,,,,222xy，xy，x,ny,y,y,,n,'''()0,2,'，其中，,,,,,222,,,, 2,y,sinx它的精确解( x 43. 某核心企业需要在5个待选的零部件供应商中选择一个合作伙伴，各待选供应商有关数据见表6。 表6 某核心企业待选供应商的指标评价有关数据 待选供应商 评价指标 1 2 3 4 5 0.83 0.90 0.99 0.92 0.87 产品质量 326 295 340 287 310 产品价格(元) 21 38 25 19 27 地理位置(千米) 3.2 2.4 2.2 2.0 0.9 售后服务(小时) 0.20 0.25 0.12 0.33 0.20 技术水平 0.15 0.20 0.14 0.09 0.15 经济效益 250 180 300 200 150 供应能力(件) 0.23 0.15 0.27 0.30 0.18 市场影响度 至少要用三种方法建模，对供货商进行评价。 44. (设备更新问题)某企业使用一台设备，在每年年初，企业领导部门就要决定是购置新的，还是继续使用旧的。若购置新设备，就要支付一定的购置费用;若继续使用旧设备，则需支付更多的维修费用。现在的问题是如何制定一个几年之内的设备更新计划，使得总的支付费用最少。我们用一个五年之内要更新某种设备的计划为例，若已知该种设备在各年年初的价格为: 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 11 11 12 12 13 还已知使用不同时间(年)的设备所需要的维修费用为: 使用年限 0,1 1,2 2,3 3,4 4,5 5 6 8 11 18 维修费用 如何制定使得总的支付费用最少的设备更新计划呢, 45. 要铺设一条的输送天然气的主管道, 如图1所示。经筛选后A,A,？,A1215 可以生产这种主管道钢管的钢厂有。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，S,S,？S127 双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。 图1 交通网络及管道图 为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂在指定期限Si内能生产该钢管的最大数量为个单位，钢管出厂销价1单位钢管为万元，见表7;spii1单位钢管的铁路运价见表8。 表7 各钢管厂的供货上限及销价 1 2 3 4 5 6 7 i s800 800 1000 2000 2000 2000 3000 i p160 155 155 160 155 150 160 i 表8 单位钢管的铁路运价 里程(km) ?300 301,350 351,400 401,450 451,500 运价(万元) 20 23 26 29 32 里程(km) 501,600 601,700 701,800 801,900 901,1000 运价(万元) 37 44 50 55 60 1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元(不足整公里部分按整公里计算)。钢管可由铁路、公路运往铺设地点(不只是运到点，而是管道全线)。 A,A,？,A1215 求7个钢管厂到15个铺设节点的最小运费。 46. 某公司计划推出一种新型产品，需要完成的作业由表9所示。 表9 计算网络图的相关数据 作业 名称 计划完成时间(周) 紧前作业 最短完成时间(周) 缩短1周的费用(元) 设计产品 6 , 4 800 A 市场调查 5 , 3 600 B 原材料订货 3 1 300 CA 原材料收购 2 1 600 CD 建立产品设计规范 3 A,D 1 400 E 产品广告宣传 2 1 300 FB 建立产品生产基地 4 2 200 GE G,F 产品运输到库 2 2 200 H (1)画出产品的计划网络图; (2)求完成新产品的最短时间，列出各项作业的最早开始时间、最迟开始时间和计划网络的关键路线; (3)假定公司计划在17周内推出该产品，各项作业的最短时间和缩短1周的费用如上表所示，求产品在17周内上市的最小费用; (4)如果各项作业的完成时间并不能完全确定，而是根据以往的经验估计出来的，其估计值如表10所示。试计算出产品在21周内上市的概率和以95,的概率完成新产品上市所需的周数。 表10 作业数据 作业 CGABDEFH最乐观的估计 2 4 2 1 1 3 2 1 最可能的估计 6 5 3 2 3 4 4 2 最悲观的估计 10 6 4 3 5 5 6 4 47. 已知各年度的税收数据见表11，预测第15年的税收，要求至少用4种以上的方法。 表11 各年度的税收数据 1 2 3 4 5 6 7 年份 15.2 15.9 18.7 22.4 26.9 28.3 30.5 税收 8 9 10 11 12 13 14 年份 33.8 40.4 50.7 58 66.7 81.2 83.4 税收