【原创精品】新课标(人教版A)高中数学必修5教案第一章解三角形

【原创精品】新课标(人教版A)高中数学必修5 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 第一章解三角形 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 从容说课 本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系(教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题―在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?‖在引入余弦定理内容时，提出探究性问题―如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题‖(这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构( 教学重点1.正弦定理的概念; 2.正弦定理的证明及其基本应用( 教学难点1.正弦定理的探索和证明; 2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数( 教具准备直角三角板一个 三维目标 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法; 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题( 2. 二、过程与方法 1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系; 2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理; 3.进行定理基本应用的实践操作( 三、情感态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一( 教学过程 导入新课 师如右图，固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动( 师思考:?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系, 1 生显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而增大( 师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来, 师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系(如右图，在Rt?ABC中，设BC =A,AC =B,AB =C,根据锐角三角函数中正弦函数 abccab的定义，有=sinA， =sinB，又sinC=1=,则.从而在直角,,,ccccsinAsinBsimC三角形ABC中， abc,,. sinAsinBsimC 推进新课 [合作探究] 师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立,(由学生讨论、分析) 生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如右图，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义， abcb,,有CD=AsinB=BsinA,则，同理，可得.从而sinAsinBsinCsinBabc,,. sinAsinBsinC (当?ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成) 正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 abc,,. sinAsinBsinC 师是否可以用其他方法证明这一等式, 生可以作?ABC的外接圆，在?ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直 abc,,角以及同弧所对的圆周角相等，来证明这一关系( sinAsinBsinC 师很好～这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在?ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作?ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′, 2 设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ?BAB′=90?，?C =?B′， c,?sinC=sinB′=sinC,sinB,. 2R c?. ,2RsinC ab同理,可得. ,2R,,2RsinAsinB abc?. ,,,2RsinAsinBsinC 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式 abc,,. sinAsinBsinC 点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的―向量方法证明正弦定理是唯一途径‖这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. [知识拓展] 从定理内容可以看出,定理师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理. 反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 体现边角关系呢? 向量的数量积的定义式A?B=|A||B|Cosθ,其中θ为两向量的夹角. 生 师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢? 生 可以通过三角函数的诱导 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 sinθ=Cos(90?-θ)进行转化. 师这一转化产生了新角90?-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90?-θ这一形式,这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因. 师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得 AC，CB,AB ACCBACAB而添加垂直于的单位向量j是关键,为了产生j与 、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了. 师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中 3 所用到的向量知识点. 点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用. (2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用. 向量法证明过程: ACAB(1)?ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90? -A,jCB的夹角为90?-C. 与 由向量的加法原则可得 AC，CB,AB, 为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到 j,(AC，CB),j,AB 由分配律可得 AC，j,CB,j,AB. ACCBAB?|j|Cos90?+|j|Cos(90?-C)=|j|Cos(90?-A). ?AsinC=CsinA. ac,?. sinAsinC ACCBAB另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90?+C,j与的夹角为 cb,90?+B,可得. sinCsinB AC(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与的夹角为90?-C,j AB与的夹角为90?-B) abc,,?. sinAsinBsinC ACAB(2)?ABC为钝角三角形,不妨设A,90?,过点A作与垂直的单位向量j,则j与 CB的夹角为A-90?,j与的夹角为90?-C. 4 ACCB由,得j? +j?=j?AB, AC，CB,AB 即A?Cos(90?-C)=C?Cos(A-90?), ?AsinC=CsinA. ac?, sinAsinC CBACAB另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90?+C,j与夹角为 90?+B. bc同理,可得,. sinBsinC abc,,?(形式1). simAsinBsinC 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立. 师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用. [教师精讲] (1)正弦定理 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC; abc,,(2) sinAsinBsinC abcbac,,,,,等价于 (形式2). sinAsinBsinCsinBsinAsinC 我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. bsinAa,?已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如.这类问题由于两角已sinB知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P的例1就属于此类问题. 4 a?已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如(此sinA,sinBb类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件( 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形( 师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结. ,例题剖析, 【例1】在?ABC中，已知A=32.0?,B=81.8?,A=42.9 cm,解三角形. 分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B,若求边C,再利用正弦定理即可. 解:根据三角形内角和定理， C=180?-(A+B)=180?-(32.0?+81.8?)=66.2?; 根据正弦定理， 5 oasinB42.9sin81.8,b=?80.1(cm); osinAsin32.0 oasinC42.9sin66.2,c=?74.1(cm). oAsinsin32.0 [方法引导] 如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角 (1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握, 和180?求出第三角,再利用正弦定理. (2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器. 【例2】在?ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40?，解三角形(角度精确到1?，边长 cm)( 精确到1 分析:此例题属于BsinA,a,b的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性. 解:根据正弦定理， obsinA28sin40,sinB =?0.899 9. a20 因为0?,B,180?，所以B?64?或B?116?. (1)当B?64?时， C =180?-(A+B)=180?-(40?+64?)=76?， oasinC20sin76,C =?30(cm). osinAsin40 (2)当B?116?时， =180?-(40?+116?)=24?， C=180?-(A+B) oasinC20sin24,C=?13(cm). osinAsin40 [方法引导] 通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会. 变式一:在?ABC中,已知A,60,B,50,A,38?,求B(精确到1?)和C(保留两个有效数字). 分析:此题属于A?B这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形. 解:已知BB的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B后,利用三角形内角和为180?排除角B为钝角的情形. obsinA20sin120,解:?sinB=?0.618 6, a28 ?B?38?或B?142?(舍去). ?C =180?-(A+B)=22?. asinC28sin22:,? C =?12. sinAsin120: [方法引导] (1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到. (2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形. (3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解. 为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习: 师 1.在?ABC中(结果保留两个有效数字)， (1)已知C =,A =45?,B=60?，求B; 3 (2)已知B,12,A,30?,B,120?,求A. 解:(1)?C=180?-(A+B)=180?-(45?+60?)=75?， bc,， sinBsinC csinB3sin60:,?B =?1.6. sinCsin75: ab,(2)?， sinAsinB 7 bsinA12sin30:?A =,?6.9. sinBsin120: 点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的 学生进行在黑板上解答,以增强其自信心. 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1?,边长精确到1): (1)B=11,A=20,B=30?;(2)A=28,B=20,A=45?; (3)C =54,B=39,C=115?;(4)A=20,B=28,A=120?. ab解: (1) ?,. sinAsinB asinB20sin30:?sinA =,?0.909 1. b11 ?A?65?，A?115?. 12 当A?65?时，C=180?-(B+A)=180?-(30?+65?)=85?， 111 bsinC11sin85:1,?C=?22. 1sinsinBsin30: 当A?115?时，C=180?-(B+A)=180?-(30?+115?)=35?, 222 bsinC11sin35:2,?C=?13. 2sinBsin30: bsinA20sin45:,(2)?sinB=?0.505 1, a28 ?B?30?，B?150?. 12 由于A+B=45?+150?,180?,故B?150?应舍去(或者由B,A知B,A,故B应为锐角). 22 C=180?-(45?+30?)=105?. ? asinC28sin105:,?C=?38. sinAsin45: bc,(3)?, sinBsinC bsinC39sin115:,?sinB=?0.654 6. c54 ?B?41?,B?139?. 12 由于B,C,故B,C,?B?139?应舍去. 2 ?当B=41?时，A=180?-(41?+115?)=24?, csinA54sin24:,A=?24. sinCsin115: bsinA28sin120:,(4) sinB= =1.212,1. a20 ?本题无解. 点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知 角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍. 8 课堂小结 通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形. 布置作业 (一)课本第10页习题1.1 第1、2题. (二)预习内容:课本P,P余弦定理 5 8 [预习提纲] (1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识. (2)余弦定理如何与向量产生联系. (3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题. 板书设计 正弦定理 1.正弦定理: 2.证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题: abc,, (1)平面几何法 (1)已知两角和一边 sinAsinBsinC (2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角 9 1.1.2 余弦定理 从容说课 课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题―如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题‖(这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构(设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学(比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力( 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题―勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系,‖并进而指出，―从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广‖(还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的. 启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系. 教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 与向量知识的联系过程; 教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用, 2.余弦定理在解三角形时的应用思路; 3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用( 教具准备 投影仪、幻灯片两张 第一张:课题引入图片(记作1.1.2 A ) 222如图(1),在Rt?ABC中,有A+B=C 问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a? 第二张:余弦定理(记作1.1.2B) 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 222222222形式一: a=b+c-2bccosA，b=c+a-2cacosB,c=a+b-2abcosC, 10 222222222bcacababc，,，,，,形式二:cosA=,cosB=,cosC=. 2bc2ca2ab 三维目标 一、知识与技能 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法; 会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题; 2. 3.能利用计算器进行运算. 二、过程与方法 1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论; 2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 三、情感态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一( 教学过程 导入新课 师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题. 在?ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A. 师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt?BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt?ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt?ADC内求解. 解:过C作CD?AB,垂足为D,则在Rt?CDB中,根据勾股定理可得 222A=CD+BD. 222?在Rt?ADC中,CD=B-AD, 2222又?BD=(C-AD)=C-2C?AD+AD, 2222222?A=B-AD+C-2C?AD+AD=B+C-2C?AD. 又?在Rt?ADC中,AD=B?COsA, 222?a=b+c-2abcosA. 222类似地可以证明b=c+a-2cacosB. 11 222c=a+b-2abcosC. 222另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a+b=c也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B) 推进新课 1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式: 形式一: 222a=b+c-2bccosA, 22b=c+a-2cacosB, 222c=a+b-2abcosC. 形式二: 222bca，,cosA, ,2bc 222cab，,cosB, ,2ca 222abc，,cosC. ,2ab 222,这时cosC=0,所以c师 在余弦定理中,令C =90?时=a+b,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用. [合作探究] 2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析 师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题, 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C(由于余弦定理中涉及到的角是 从而可以考虑用向量来研究这个问题(由于涉及边长问题，那么可以与哪以余弦形式出现, 些向量知识产生联系呢? 生 向量数量积的定义式a?b=|a||b|cosθ,其中θ为A、B的夹角. 师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通 12 过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含 CB,CA有角C,则构造这一数量积以使出现COsC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提. (2)向量法证明余弦定理过程: 如图，在?ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b. 由向量加法的三角形法则，可得, AC,AB，BC ? 2222AC,AC,(AB，BC),(AB，BC),AB，2AB,BC，BC,AB，2ABBCcos(180:,B)，BC 22,c,2accosB，a, 222即B=C+A-2AC COs B. BC,AC,AB由向量减法的三角形法则，可得, ? 2222BC,BC,(AC,AB),(AC,AB),AC,2AC,AB，AB,AC,2AC,ABcosA，AB 22,b,2bccosA，c222即a=b+c-2bccosA. AB,AC，CB,AC,BC由向量加法的三角形法则,可得, ? 2222AB,AB,(AC,BC),(AC,BC),AC,2AC,BC，BC,AC,2AC,BCcosC，BC 22,b,2bacosC，a, 222即c=a+b-2abcosC. [方法引导] (1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则. ACAB(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,与属于同起点向量,则 BCBCAC夹角为A;与是首尾相接,则夹角为角B的补角180?-B;与是同终点,则AB 夹角仍是角C. 13 [合作探究] 师 思考:这个式子中有几个量,从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角, 生(留点时间让学生自己动手推出)从余弦定理，又可得到以下推论: 222222222bcaacbbac，,，,，,cosA,cosB,cosC. ,,,2bc2ac2ba 师 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系, 222生(学生思考片刻后会总结出)若?ABC中，C =90?，则cosC=0，这时c=a+b.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例( 师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广(现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了( 师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B) 通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角. 这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P例4属这类情况. 8 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题. 接下来,我们通过例题来进一步体会一下. ,例题剖析, 【例1】在?ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41?，解三角形(角度精确到1?，边长 cm). 精确到1 解:根据余弦定理， 22222a=b+c-2bccosA=60+34-2?60?34cos41??3 600+1 156-4 080×0.754 7?1 676.82 ,所以A?41 cm. csinA34，sin41:34，0.656,由正弦定理得sinC=??0.544 0, a4141 因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用计数器可得C?33?, B=180?-A-C=180?-41?-33?=106?. 【例2】在?ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形. 解:由余弦定理的推论,得 222222b，c,a87.8，161.7,134.6,cosA=?0.554 3,A?56?20′; 2bc2，87.8，161.7 14 222222c，a,b134.6，161.7,87.8,cosB=?0.839 8,B?32?53′; 2ca2，134.6，161.7 C =180?-(A+B)=180?-(56?20′+32?53′)=90?47′. [知识拓展] 补充例题: ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(精确到1?) 【例1】在? 分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二. 222222b，c,a10，6,7解:?cosA,,,0.725, 2bc2，10，6 ?A?44?. 2222227106113a，b,c，,,,?cosC=?0.807 1, 22710140ab，， ?C?36?. ?B=180?-(A+C)=180?-(44?+36?)=100?. [教师精讲] (1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180?,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出. (2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算. ,已知a=2.730,b=3.696,c=82?28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,【例2】在?ABC中 角度精确到1′). 分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在 二是第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0?,180?之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好. 22222解:由c=a+b-2abcosC=2.730+3.696-2×2.730×3.696×cos82?28′, 得c?4.297. 222222b，c,a3.696，4.297,2.730,?cosA=?0.776 7, 2bc2，3.696，4.297 ?A?39?2′. ?B=180?-(A+C)=180?-(39?2′+82?28′)=58?30′. [教师精讲] 通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦. 【例3】在?ABC中,已知A=8,B=7,B=60?,求C及S. ?ABC 15 分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用 1正弦定理求出边C,而三角形面积由公式S=acsinB可以求出. ?ABC2222若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b=c+a-2cacosB建立关于C的方程,亦能达到求C的目的. 下面给出两种解法. 87解法一:由正弦定理得,, sinAsin60: ?A=81.8?,A=98.2?, 12 ?C=38.2?,C=21.8?. 12 7c由,,得c=3,c=5, 12sin60:sinC 11?S=或S=. acsinB,63acsinB,103??ABCABC122222解法二:由余弦定理得b=c+a-2cacosB, 22?7=c+8-2×8×ccos60?, 2整理得c-8c+15=0, 11解之,得c=3,c=5.?S=或S= . acsinB,63acsinB,103??12ABCABC1222 [教师精讲] 在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程 的观点去解决,故解法二应引起学生的注意. 综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之. 课堂练习 1.在?ABC中: (1)已知c=8,b=3,b=60?,求A; (2)已知a=20,bB=29,c=21，求B; (3)已知a=33,c=2,b=150?,求B; (4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A. 222222解: (1)由a=b+c-2bccosA，得a=8+3-2×8×3cos60?=49.?A=7. 222222cab20，21,29，,cosBcosB,,0(2)由,,得.?B=90?. 2ca2，20，21 222222(3)由b=c+a-2cacosB,得b=(33)+2-2×33×2cos150?=49.?b=7. 222222(2)(31)22bca，,，，,cosAcos,(4)由,得.?A=45?. A,,2bc222(31)， 16 评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率. 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1?). (1)a=31,b=42,c=27; (2)a=9,b=10,c=15. 222222bca42，27,31，,cosAcosA,解:(1)由,得?0.675 5,?A?48?. ,2bc2，42，27 222222c，a,b31，27,42cosB,,由?-0.044 2,?B?93?. 2ca2，31，27 C=180?-(A+B)=180?-(48?+93?)?39?. ? 222222b，c,a10，15,9cosA,,(2)由得?0.813 3, bc2，10，152 ?A?36?. 222222c，a,b15，9,10cosB,,由?0.763 0, 2ca2，9，15 ?B?40?. ?C=180?-(A+B)=180?-(36?+40?)?104?. 评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力. 课堂小结 通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具 并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题: 性作用, (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例; (2)余弦定理的应用范围:?已知三边求三角;?已知两边、一角解三角形( 布置作业 课本第8页练习第1(1)、2(1)题. 板书设计 余弦定理 1.余弦定理 2.证明方法: 3.余弦定理所能解决的两类问题: (1)平面几何法; (1)已知三边求任意角; (2)向量法 (2)已知两边、一角解三角形 4.学生练习 17 1.1.3 解三角形的进一步讨论 从容说课 本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理;应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然(但解题的时候，应有最佳选择(教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下: 解斜三角形时可用的定理和适用类型 备注 公式 余弦定理 (1)已知三边 类型(1)(2)有解时只有一222a=b+c-2bccosA (2)已知两边及其夹角 解 222b=a+c-2accosB 222c=b+a-2bacosC 正弦定理 (3)已知两角和一边 类型(3)在有解时只有一解，abc(4)已知两边及其中一边的类型(4)可有两解、一解或 ,,,2R对角 无解 sinAsinBsinC 三角形面积公式 (5)已知两边及其夹角 1 S,bcsinA,2 1 acsinB,2 1 absinC2 同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条:(1)化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题;(2)化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决(一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理;若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便(总之，关键在于灵活运用定理及公式( 教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形; 2.三角形各种形状的判定方法; 3.三角形面积定理的应用( 教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向; 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求; 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用( 教具准备 投影仪、幻灯片 第一张:课题引入图片(记作1(1(3A) abc正弦定理:; ,,,2RsinAsinBsinC 18 222222222余弦定理:a=b+c-2bccosA,b=c+a-2cacosB,c=a+b-2abcosC， 222222222bcacababc，,，,，,cosAcosBcosC, ,. ,,,2bc2ca2ab 第二张:例3、例4(记作1(1(3 B ) [例3]已知?ABC, BD为角B的平分线,求证: AB?BC,AD?DC. 22 [例4]在?ABC中,求证:asin2B+bsin2A=2absinC. 1(3C) 第三张:例5(记作1( [例5]在?ABC中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状. 三维目标 一、知识与技能 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形; 2.三角形各种形状的判定方法; 3.三角形面积定理的应用( 二、过程与方法 通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题( 三、情感态度与价值观 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系( 教学过程 导入新课 师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片1.1.3A).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用. 推进新课 思考:在?ABC中，已知A=22cm，B=25cm,A=133?，解三角形((由学生阅读课本第9页解答过程) 从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形(下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题( 【例1】在?ABC中，已知A,B,A，讨论三角形解的情况. 19 asinCbsinAc,师 分析:先由sinB,可进一步求出B;则C =180?-(A+B),从而. asinA一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况( 1.当A为钝角或直角时，必须a,b才能有且只有一解;否则无解( 2.当A为锐角时， 如果a?b，那么只有一解; b，那么可以分下面三种情况来讨论: 如果a, (1)若a,bsinA，则有两解; (2)若a=bsinA，则只有一解; (3)若a,bsinA，则无解( (以上解答过程详见课本第9到第10页) 师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinA,a ,b时，有两解;其他情况时则只有一解或无解( (1)A为直角或钝角 (2)A为锐角 【例2】在?ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断?ABC的类型( 分析:由余弦定理可知 222a=b+cA是直角?ABC是直角三角形， ,, 222a,b+cA是钝角?ABC是钝角三角形， ,, 22a,b+cA是锐角/?ABC是锐角三角形。 , (注意:A是锐角/ ?ABC是锐角三角形 ) 222222解:?7,5+3,即a,b+c， ??ABC是钝角三角形( 20 [教师精讲] 1(利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题( ?已知两角和任一边，求其他两边和一角( ?已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)( 2(正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化(例如:在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替( 余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现3. 边角之间的转化( (1)已知三边，求三个角( (2)已知两边和夹角，求第三边和其他两角( 2224(用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式a=b+c-2bccosA中含有未知数时，这便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求A或B或C或 cosA( 师 下面,我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片1.1.3B) ,例题剖析, 【例3】分析:前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而角B的平分线BD将?ABC分成了两个三角形:?ABD与?CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式: AB?BC,AD?DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值 BCDC,的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为,再根据相等角正弦值sin，BDCsin，DBC 相等,互补角正弦值也相等即可证明结论. ABsin，ADBABAD,,证明:在?ABD内,利用正弦定理得,即, sin，ADBsin，ABDADsin，ABD BCDCBCsin，BDC,,在?BCD内,利用正弦定理得,即, sin，BDCsin，DBCDCsin，DBC?BD是角B的平分线,??ABD=?DBC ?sin?ABD=sin?DBC. ??ADB+?BDC=180?, ?sin?ADB=sin(180?-?BDC)=sin?BDC. ABsin，ADBsin，BDCBC,,,?. ADsin，ABDsin，DBCDC ABAD,?. BCDC 评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用. 21 ,例题剖析, 【例4】分析:此题所证结论包含关于?ABC的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理. 另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如sin2B=2sinbcosB 等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形. 证明一: (化为三角函数) 22222asin2B+bsin2A=(2RsinA)?2sinB?COsB+(2RsinB)?2sinA?cosA=8RsinA?sinB(sinA cosB+cos 2AsinB)=8RsinasinbsinC =2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC. 所以原式得证. 证明二: (化为边的等式) 2222222bacb2abca，,，,2222ab左边=A?2sinBcosB+B?2sinAcosA= = ,,，,,2R2ac2R2bcababc2222222= (a，c,b，b，c,a),2c,2ab,,2absinC2Rc2Rc2R [教师精讲] 由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC,在转化为角的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA?cosA,正弦两角和公式sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二. 三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看, 这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题. 【例5】分析:三角形形状的判断,可以根据角的关系,也可根据边的关系,所以在已知条件的运用上,可以考虑两种途径,将边转化为角,将角转化为边,下面,我们从这两个角度进行分析. 解法一:利用余弦定理将角化为边. 222222bcaacb，,，,22222222ba?bcosA=acosB,?.?b+c-a=a+c-b.?a=b. ,,,2bc2ac ?a=b. 故此三角形是等腰三角形. 解法二:利用正弦定理将边转化为角. ?bcosA=acosB,又B=2RsinB，A=2RsinA,?2RsinbcosA=2RsinAcosB. ?sinAcosB-cosAsinB=0.?sin(A-B)=0.?0,A,B,π,?-π,A-B,π. ?A-B=0,即A=B. 故此三角形是等腰三角形. 评述: (1)在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用;另一方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理. 22 (2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式sinBcosA=sinAcosB两端同除以sinAsinB,得cotA=cotB,再由0,A,B,π,而得A=B. 课堂小结 通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其中,要求大家重点体会正、 余弦定理的边角转换功能. (1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形; (2)三角形形状的判定方法. 布置作业 sinAsin(A,B)222,1.在?ABC中,已知,求证: a、b、c成等差数列. sinCsin(B,C) 证明: 由已知得sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B), cos2B-cos2C=cos2A-cos2B, 2221cos1cos1cos,B,A,B2cos2B=coOs2A+cos2C,2?= ,，222 222?2sinB=sinA+sinC. 222由正弦定理,可得2b=a+c, 222即a、b、c成等差数列. 在?ABC中,A=30?,cosB=2sinB-3sinC. 2. (1)求证:?ABC为等腰三角形;(提示B =C =75? ) (2)设D为?ABC外接圆的直径BE与边AC的交点,且AB,2,求AD?CD的值. (1)略;(2)1?3. 答案: 板书设计 解三角形的进一步讨论 一、三角形形状判定 二、三角形问题证明思路 三、学生练习 1.等腰三角形:a,b或 1.向边转化利用正、余弦定理 四、布置作业 A,B 2.向角转化 利用正弦定理 2222.直角三角形:a+b=c或C =90? 3.钝角三角形:C,90? 23 1.2 应用举例 1.2.1 解决有关测量距离的问题 从容说课 解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识(对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决(学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力( 本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题.例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题.对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用 B之间的距离转化为应用余弦定正弦定理去解决(对于例2首先把求不可到达的两点A、 理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题( 教学重点 分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法. 教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图( 教具准备 三角板、直尺、量角器等 三维目标 一、知识与技能 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、方位角等. 二、过程与方法 1.首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫(其次结合学生的实际情况，采用―提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练‖的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题(对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，引导学生从多角度发现问题并进行适当的指点和矫正( 2.通过解三角形的应用的学习,提高解决实际问题的能力. 三、情感态度与价值观 1.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值; 2.通过解斜三角形在实际中的应用,要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题,以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力( 教学过程 导入新课 师 前面引言第一章―解三角形‖中，我们遇到这么一个问题，―遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢,‖在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么 24 神奇的方法探索到这个奥秘的呢,我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施(如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性(于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的(今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离( 推进新课 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解. ,例题剖析, 【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，?BAC=51?，?ACB=75?(求A、B两点的距离.(精确到0.1 m ) 师(启发提问)1:?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当, 师(启发提问)2:运用该定理解题还需要哪些边和角呢,请学生回答( 生 从题中可以知道角A和角C，所以角B就可以知道，又因为AC可以量出来，所以应该用正弦定理( 生 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边( 解:根据正弦定理，得 ABAC,， sin，ACBsin，ABC ACsin，ACB55sin，ACB55sin75:55sin75:?65.7(m). AB,,,,sin，ABCsin，ABCsin(180:,51:,75:)sin54:答:A、B两点间的距离为65.7米. [知识拓展] 变题:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于A km,灯塔A在观察站C的北偏东30?，灯塔B在观察站C南偏东60?，则A、B之间的距离为多少, 老师指导学生画图，建立数学模型( 25 解略:km. 2a 【例2】如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法 [教师精讲] 这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题(首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点(根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出A、B的距离( 解:测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=A，并且在C、D两点分别测得?BCA=α,?ACD =β,?CDB=γ,?BDA=δ，在?ADC和?BDC中，应用正弦定理得 ,,,,asin(，)asin(，)AC,,， sin[180:,(,，,，,)]sin(,，,，,) ,,asinasinBC,,. sin[180:,,(，,，,)]sin(,，,，,) 计算出AC和BC后，再在?ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离 22AB,AC，BC,2AC，BCcos,. [活动与探究] 还有没有其他的方法呢,师生一起对不同方法进行对比、分析( [知识拓展] BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?若在河岸边选取相距40米的C、D两点，测得? BDA=60?,略解:将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206. [教师精讲] 师 可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式( 〔学生阅读课本14页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子〕 师 解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力. 下面,我们再看几个例题来说明解斜三角形在实际中的一些应用. 【例3】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A0 在A处，设连杆AB长为340 mm，曲柄CB长为85 mm，曲柄自CB按顺时针方向旋转00 80?，求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离AA).(精确到1 mm) 0 26 师 用实物模型或多媒体动画演示，让学生观察到B与B重合时，A与A重合，故AC=AB000CB,425 mm，且AA=AC-AC( ，00 师 通过观察你能建立一个数学模型吗, 生 问题可归结为:已知?ABC中， BC,85 mm，AB,34 mm，?C,80?，求AC( 师 如何求AC呢, 生 由已知AB、?C、BC，可先由正弦定理求出?A，再由三角形内角和为180?求出?B， 最后由正弦定理求出AC( 解:(如图)在?ABC中，由正弦定理可得 BCsinC85，sin80:sinA,,?0.246 2. AB340 因为BC,AB，所以A为锐角. ?A=14?15′，? B,180?-(A，C),85?45′. 又由正弦定理， ,ABsinB340，sin85:45AC,,?344.3( mm ). sinC0.9848 ?AA =AC –AC =(AB +BC)-AC =(340+85)-344.3=80.7?81(mm). 00 答:活塞移动的距离为81 mm( 师 请同学们设AC=x，用余弦定理解之，课后完成. [知识拓展] 变题:我舰在敌岛A南偏西50?相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10?的方向以10海里/时的速度航行(问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰, 师 你能根据方位角画出图吗, 生(引导启发学生作图) 师 根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型( 生 例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角. 27 解:如图，在?ABC中,由余弦定理得 222BC=AC+AB-2?AB?AC?cos?BAC 122=20+12-2×12×20×(-)=784, 2 BC =28, ?我舰的追击速度为14海里/时. 又在?ABC中,由正弦定理得 320，ACBCACsinA53532,,即sinB,,,，ABC,arcsin?. sinBsinABC281414 53答:我舰航行的方向为北偏东50?-arcsin. 14 [方法引导] 师 你能归纳和总结解斜三角形应用题的一般方法与步骤吗, 生 ?分析:理解题意，分清已知与未知，画出示意图( ?建模:根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型( ?求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解( ?检验:检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解( 生 即解斜三角形的基本思路: 师 解斜三角形应用题常见的会有哪几种情况, 生 实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理 28 或余弦定理解之( 生 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解( 生 实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理( 某人在M汽车站的北偏西20?的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶(公路的走向是M站的北偏东40?(开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米(问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站, 解:由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处(在?ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得 22223AC，BC,ABcosC,, 231AC,BC 43222sinC,1,cosC,,则, 231 123353sinC,,所以sin?MAC=sin(120?-C)=sin120?cosC -cos120?sinC =. 3162?MAC中，由正弦定理得 在 ACsin，MAC31353MC,,，,35，从而有MB= MC-BC=15. sin，AMC623 2 答:汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站( 课堂小结 通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌握由实际问题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力. 布置作业 课本第14页练习 1、2. 板书设计 解决有关测量距离的问题 1.提出问题 29 2.分析问题 演示反馈 3.解决问题 总结提炼 30 1.2.2 解决有关测量高度的问题 从容说课 本节的例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题(由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决,但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题(在例3中是测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出点C观察A的仰角;在例4中是计算出AB的长;在例5中是计算出BC的长，然后转化为解直角三角形的问题( 本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角的意义，二是要会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题( 教学重点 1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题; 画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操2. 作中加强这方面能力(日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程( 教学难点 能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件; 教具准备 直尺和投影仪 三维目标 一、知识与技能 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题. 二、过程与方法 本节课是解三角形应用举例的延伸(采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架(通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法(教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯(作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间. 三、情感态度与价值观 进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力. 教学过程 导入新课 师 设问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢,又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢,今天我们就来共同探讨这方面的问题. 推进新课 31 【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法( [合作探究] 师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢, 生 要求建筑物AB的高，我只要能把AE的长求出来，然后再加上测角仪的高度EB的长就行了. 师 对了，求AB长的关键是先求AE，那谁能说出如何求AE, 生 由解直角三角形的知识，在?ADC中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长( 师 那现在的问题就转化成如何去求CA的长，谁能说说, 生 应该设法借助解三角形的知识测出CA的长( 生 为了求CA的长，应该把CA放到?DCA中，由于基线DC可以测量，且β也可以测量，这样在?DCA中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出CA的长( 解:选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上(由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α、β，CD = A，测角仪器的高是h，那么，在?ACD中，根据正 ,,,asinasinsinAC,弦定理可得,AB=AE+h=acsinα+h=+h. sin(,,,)sin(,,,) 师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢, 生 要测量某一高度AB，只要在地面某一条直线上取两点D、C，量出CD=A的长并在C、 ,,asinsinD两点测出AB的仰角α、β，则高度AB,，h，其中h为测角器的高( ,,sin(,) 【例2】如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=54?40′，在塔底C处测得A处的俯角β=50?1′(已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m). 32 [合作探究] 师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗,(给出时间让学生讨论思考)要在?ABD中 求CD，则关键需要求出哪条边呢, 生 需求出BD边( 师 那如何求BD边呢, 生 可首先求出AB边，再根据?BAD=α求得( 在?ABC中,?BCA=90?+β,?ABC=90?-α,?BAC =α-β,?BAD =α. 解: 根据正弦定理, ,,BCsin(90:，)BCcosBCABAB,,,=，所以. sin(,,,)sin(90:，,)sin(,,,)sin(,,,) ,,BCcossin在Rt?ABD中,得BD =ABsin?BAD=. sin(,,,) 将测量数据代入上式,得 ,,,,27.3cos50:1sin54:4027.3cos50:1sin54:40BD,,?177(m), ,,,sin(54:40,50:1)sin4:39 CD =BD -BC?177-27.3=150(m). 答:山的高度约为150米. 师 有没有别的解法呢, 生 要在?ACD中求CD，可先求出AC( 师 分析得很好，请大家接着思考如何求出AC, 生 同理，在?ABC中，根据正弦定理求得((解题过程略) 【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶 ,测得此山顶在东偏南25?的方向上,仰角为D在东偏南15?的方向上,行驶5 km后到达B处 8?,求此山的高度CD. [合作探究] 师 欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢, 生 在?BCD中. 师 在?BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长, 生BC边. 解:在?ABC中, ?A=15?,?C=25?-15?=10?,根据正弦定理, 33 BCABABsinA5sin15:,,BC,,,? 7.452 4(km), sinAsinCsinCsin10: CD=BC×tan?DBC=BC×tan8??1 047(m). 答:山的高度约为1 047米. 课堂练习 用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD间的距离为A,测角仪的高度为B,求气球的高度. 分析:在Rt?EGA中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而?EAC中有较多已知条件,故可在?EAC中考虑EA边长的求解,而在?EAC中有角β, ?EAC=180?-α两角与AC=BD=A一边,故可以利用正弦定理求解EA. 解:在?ACE中,AC=BD=A,?ACE=β,?AEC=α-β,根据正弦定理,得 ,,,asinasinsinAE,.在Rt?AEG中，EG=AEsinα=. sin(,,,)sin(,,,) ,,asinsin?EF=EG+b=. ，b,,sin(,) ,,asinsin答:气球的高度是，b. ,,sin(,) 评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设EG=x,在Rt?EGA中,利用cotα表示AG,而Rt?EGC中,利用cotβ表示CG,而CG-AG=CA=BD=A,故可以求出EG,又GF=CD=B,故EF高度可求. 课堂小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工，抽取主要因素，进行适当的简化( 布置作业 课本第17页练习第1、3题. 板书设计 解决有关测量高度的问题 例1 练习 例2 课堂练习 小结 例3 布置作业 34 1.2.3 解决有关测量角度的问题 从容说课 本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维(借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法( 教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系( 教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题. 教具准备 三角板、投影仪(多媒体教室) 三维目标 一、知识与技能 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 二、过程与方法 本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力(除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的1,2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透(课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三( 三、情感态度与价值观 培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神. 教学过程 导入新课 设置情境设问 师 前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题(然而在实际的生活中,人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗, 生 像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向. 生 飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标. 师 实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题( 推进新课 【例1】(幻灯片放映)如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75? 的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32?的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1?,距离精确到0.01 n mile) [合作探究] 学生看图思考( 35 师 要想解决这个问题，首先应该搞懂―北偏东75?的方向‖( 生 这是方位角( 生 这实际上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角?ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角?CAB，就可以知道AC的方向和路程( 师 根据大家的回答，我们已经很清楚解题思路(下面请同学写一下解题过程. 生解:在?ABC中，?ABC=180?- 75?+ 32?=137?，根据余弦定理， 2222AC,AB，BC,2AB，BC，cos，ABC,67.5，54.0,2，67.5，54.0，cos137:,?113.15. BCAC根据正弦定理, , ,,sin，CABsin，ABC BCsin，ABC54.0sin137:sin，CAB,,?0.325 5, AC113.15 所以?CAB?19.0?,75?-?CAB=56.0?. 答:此船应该沿北偏东56.0?的方向航行,需要航行113.15 n mile. 师 这道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位( 【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45?相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75?的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追,需要多少时间才追赶上该走私船, [合作探究] 师 你能否根据题意画出方位图,(在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面示意图，图画的好坏有时也会影响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面) 生甲 如右图( 师 从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边，还需要什么呢? 生 引入时间这个参变量,可以设x小时后追上走私船. 生 如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,?ACB=75?+45?=120?,则由余弦定理，可得 932222(14x)=9+(10x)-2×9×10xcos120?,?化简得32x-30x-27=0，即x=或x=- (舍去). 216 36 所以BC = 10x =15,AB =14x =21. BCsin120:15353,，,又因为sin?BAC =,??BAC=38?13′,或?BAC=141?47′(钝AB21214 角不合题意，舍去). ?38?13′+45?=83?13′. 巡逻艇应该沿北偏东83?13′方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船. 答: 师 这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不能都用余弦定理来解决呢, 生 同上解得BC=15,AB=21, 在?ABC中，由余弦定理，得 2228144122511AC，AB,BC，,cos，CAB,,,?0.785 7, 2292114AC,AB，， ??CAB?38?13′,38?13′+45?=83?13′. ?巡逻艇应沿北偏东83?13′的方向追赶，经过1.4小时追赶上该走私船( 课堂练习 课本第18页练习. 答案:运用余弦定理求得倾斜角α约为116.23 ? . [方法引导] 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况:(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之((2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解( [知识拓展] 1.如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30?，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45?，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险, 解:在?ABC中，BC=30，B=30?， ?ACB=180?-45?=135?, ?A=15?. BCAC30AC,,由正弦定理知,?. sinAsinBsin15:sin30: 30sin30:?.?A到BC所在直线的距离为 AC,,60cos15:,156，152sin15: 37 2AC?sin45?=(15+15)?=15(+1)?40.98,38(海里)， 6322 ?不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险( 答:不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险( 2.如图，有两条相交成60?角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行， (1)起初，两人的距离是多少, (2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离; (3)什么时候两人的距离最短, 解:(1)因甲、乙两人起初的位置是A、B， 122222则AB=OA+OB-2OA?OBcos60?=3+1-2×3×1×=7, 2 ?起初，两人的距离是千米( 7 (2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q， 则AP=4t,BQ=4t, 32222当0?t?时，PQ=(3-4t)+(1+4t)-2(3-4t)(1+4t)cos60?=48t-24t+7; 4 32222当t,时,PQ=(4t-3)+(1+4t)-2(4t-3)(1+4t)cos120?=48t-24t+7, 42所以，PQ =48t-24t+7( 1222(3)PQ=48t-24t+7=48(t-)+4, 4 1?当t=时，即在第15分钟末，PQ最短( 4 答:在第15分钟末，两人的距离最短( 课堂小结 在实际问题(航海、测量等)的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用(应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解(应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤:?根据题意作出示意图;?所涉及的 38 三角形，搞清已知和未知;?选用合适的定理进行求解;?给出答案( 布置作业 课本第22页习题1.2第9、10、11题. 板书设计 解决有关测量角度的问题 例1 例2 课堂练习 布置作业 备课资料 一、备用例题 1.如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30?处，甲船自A以50海里/时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/时的速度沿方位角150?方向航行(问航行几小时，两船之间的距离最短, 解:设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在?BCD中，BC =(100-50x)海里，BD=30x 海里(0?x?2)，?CBD=60?，由余弦定理得 2222CD=(100-50x)+(30x)-2?(100-50x)?30x?cos60?=4 900x-13 000x+10 000. 1300065162x,,,1?当(小时)时，CD最小，从而得CD最小. 2，49004949 16?航行1小时，两船之间距离最近( 49 2(我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6 000米，?ACD=45?,?ADC=75?,目标出现于地面点B处时，测得?BCD=30?,?BDC=15?(求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)( 解:在?ACD中，?CAD=180?-?ACD-ADC=60?,CD=6 000,?ACD=45?, CDsin45:2AD,CD根据正弦定理，有. sin60:3 39 同理，在?BCD中，?CBD=180?-?BCD-?BDC=135?, CD=6 000,?BCD=30?. CDsin30:2BD,,CD根据正弦定理,有. sin135:2 又在?ABD中，?ADB=?ADC+?BDC=90?. 214222AB,AD，BD,，CD,CD,100042根据勾股定理,有. 326所以炮兵阵地到目标的距离为1 000米. 42 二、常用术语与相关概念 (1)坡度(亦叫坡角):坡与水平面的夹角的度数( (2)坡比:坡面的铅直高度与水平宽度之比，即坡角的正切值( (3)仰角和俯角:与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视 线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角( (4)方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角( (5)方位角:从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角( 40 1.2.4 解决有关三角形计算的问题 从容说课 本节的例7和例8说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法，即在不同已知条件下求三角形面积的问题，与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识,求出需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个重要的问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的―三斜求积公式‖,教科书在阅读与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明(例9是关于三角形边角关系恒等式的证明问题,课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题. 关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形的高和面积的问题,教科书直接给出了计算三角形的高的公式 h=bsinC=csinB,h=csinA=asinC,h=asinB=bsinA. ABC 这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到，教科书证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式 111S= absinC,S= bcsinA,S=casinB. 222 教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目. 教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题. 教具准备 三角板、投影仪等 三维目标 一、知识与技能 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题; 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用( 2. 二、过程与方法 1.本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型; 2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解(只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点( 三、情感态度与价值观 让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力; 1. 2(进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦. 教学过程 导入新课 [设置情境] 师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式(在?ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表ABC 示, 生h=bsinC=csinB, A 41 h=csinA=asinC, B h=asinB=BsinA. C 1师 根据以前学过的三角形面积公式,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，S,ahA2 1可以推导出下面的三角形面积公式:，大家能推出其他的几个公式吗, S,absinC2 11生 同理，可得,. S,bcsinAS,acsinB22 师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢, 生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解. 推进新课 2【例1】 在?ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1 cm). (1)已知A=14.8 cm,C =23.5 cm,B=148.5?; (2)已知B=62.7?,C =65.8?,B =3.16 cm; (3)已知三边的长分别为A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 cm. 师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积( 〔生口答，师书写过程〕 112解:(1)应用，得 S=×14.8×23.5×sin148.5??90.9(cm). S,acsinB22 bcbsinC,,c,(2)根据正弦定理，, sinBsinCsinB 11sinCsinA2SbcsinAb. ,,22sinB A = 180?-(B + C)= 180?-(62.7?+ 65.8?)=51.5?, 1sin65.8:sin51.5:22,，3.16，?4.0(cm). S2sin62.7: 222222c，a,b38.7，41.4,27.3cosB,,(3)根据余弦定理的推论，得?0.769 7, 2ca2，38.7，41.4 22sinB,1,cosB,1,0.7697?0.638 4, 112应用得S=×41.4×38.7×0.638 4?511.4(cm). S,acsinB22 生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式( 【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到 42 这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少,(精确到0.1 2cm), 师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗, 生 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解( 〔由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕 解:设A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论， 222222c，a,b127，68,88cosB,,?0.753 2, 2ca2，127，68 2sinB,1,0.7532?0.657 8, 112应用S= acsinB,S=×68×127×0.657 8?2 840.38(m). 222答:这个区域的面积是2 840.38 m( 【例3】在?ABC中，求证: 2222a，bsinA，sinB,(1); 22csinC 222(2)a+b+c=2(bccosA+cacosB+abcosC). [合作探究] 师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边有什么样的特点? 生 等式左边是三边的平方关系，而等式的右边是三个角的正弦的平方关系，可以联想到用正弦定理来证明. 师 等式两边分别是边和角，所以我们可以选正弦定理来证明，这样我们可以把一边的边或角都转化成两边一样的边或角，即―化边为角‖或―化角为边‖，这也是我们在证明三角恒等式时经常用的方法( 证明:(1)根据正弦定理，可设 abc, ,,,ksinAsinBsinC 显然 k?0，所以 22222222a，bksinA，ksinBsinA，sinB,,左边==右边. 2222cksinCsinC 师 那对于第二小题又该怎么化呢, 生 等式左边仍然是三边的平方关系，而等式的右边既有角又有边，而且是两边和两边夹角的余弦的积的关系，所以联想到用余弦定理来证明. 师 很好，哪位来板演一下, 43 生 证明:(2)根据余弦定理的推论， 222222222b，c,ac，a,ba，b,cbc，ca，ab2()右边= bccaab222 222222222222=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边. 1.已知在?ABC中，?B=30?,B=6,C=6,求A及?ABC的面积S. 3 提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数(同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯,但应用余弦定理会免去讨论. ;A=12,S=18. 答案:A=6,S=933 2.判断满足下列条件的三角形形状， (1)acosA = bcosB; sinA，sinB(2)sinC =. cosA，cosB 提示:利用正弦定理或余弦定理，―化边为角‖或―化角为边‖，正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向. (1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明( 222222bcacab，,，,ab生(余弦定理)得, ，,，2bc2ca 222442222c?(a-b)=a-b=(a+b)(a-b). 22222?a=b或c=a+b. ?根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形. (正弦定理)得 生 sinAcosA=sinBcosB.?sin2A=sin2B.?2A=2B.?A=B. ?根据角的关系易得是等腰三角形. 师 根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢, 生 第一位同学的正确(第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180?，A+B=90?. (2)(解略)直角三角形. [知识拓展] 如图，在四边形ABCD中，?ADB=?BCD=75?，?ACB=?BDC=45?，DC =，求: 3 44 (1)AB的长; (2)四边形ABCD的面积. 略解:(1)因为?BCD=75?,?ACB=45?， 所以?ACD=30?. 又因为?BDC=45?， ?DAC=180?-(75?+ 45?+ 30?)=30?.所以AD=DC =. 所以3 在?BCD中，?CBD=180?-(75?+ 45?)=60?，所以 BDDC3sin75:6，2,,BD,,. sin75:sin60:sin60:2 222在?ABD中，AB=AD+ BD-2×AD×BD×cos75?= 5,所以,得AB=. 5 3，233，31(2)S=×AD×BD×sin75?=.同理，S=. ??ABDBCD442 6，33S,所以四边形ABCD的面积. 4 课堂练习 、2题. 课本第21页练习第1 课堂小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状(特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用(正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式(解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数(同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯( 布置作业 课本第22页习题1.2第12、14、15题. 板书设计 解决有关三角形计算的问题 例1 例2 例3 变题1 补充练习: 变题2 45 1.3 实习作业 从容说课 本节适当安排了一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践的能力(教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题( 教学重点 数学模型的建立. 教学难点 解斜三角形知识在实际中的应用. 教具准备 测量工具(三角板、测角仪、米尺等)、实习报告 三维目标 一、知识与技能 1.解斜三角形应用; 2.测角仪原理; 3.数学建模. 二、过程与方法 1.进一步熟悉解斜三角形知识; 2.巩固所学知识,提高分析和解决简单实际问题的能力; 3.加强动手操作的能力; 4.进一步提高数学语言表达实习过程和实习结果的能力; 5.增强数学应用意识. 三、情感态度与价值观 1.认识数学在生产实际中的作用; 2.提高学习数学兴趣,树立建设祖国的远大理想. 导入新课 师 前面几节课，我们一起学习了解斜三角形的应用举例,具备了一定的解斜三角形的能力,并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用. 这一节,我们将一起动手应用解斜三角形的知识来研究实际问题. 推进新课 (1)提出问题:问题(一):测量学校锅炉房的烟囱的高度. 问题(二):如图(1)，怎样测量一水塘两侧A、B两点间的距离? 问题(三):如图(2)，若要测量小河两岸A、B两点间的距离，应怎样测量, (1) 46 (2) (2)分析问题: 师 问题(一)中的学校锅炉房的烟囱的高度无法用皮尺直接量出，那应该怎么去解决, 生 根据实际情况，应该采取下列措施: 1.根据地形选取测量点;2.测量所需要数据;3.多次重复测量,但改变测量点;4.填写实习报告;5.总结改进方案. 实习报告(1) 年 月 日 题目 测量底部不能到达的烟囱AB的高度 测量目标 测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 EF长(m) ED长(m) α 1 α 2 计算 ?α=α-α， 321 ,sin1ED,， AD,sin,3 AC =AD?sinα， 2 ?AB=AC +BC=AC+EF 减少误差措施 负责人及参加人 计算者及复核者 指导教师审核意见 备注 师 对于问题二、问题三中的A、B两点都不能直达，无法用皮尺直接量出，如何间接量出,应再取点C，借助?ABC来测量计算( 在?ABC中要计算AB的长，应采集哪些数据,如何采集, 生 问题二中，先选适当位置C，用经纬仪器测出角α，再分别量出AC、BC的长B、A，则可求出A、B两点间的距离( 47 生 问题三中，可在小河的一侧，如在点B所在的一侧，选择点C，为了算出AB的长，可先测出BC的长A，再用经纬仪分别测出α、β的值，那么，根据A、α、β的值，就可算出AB的长( 生 数据运算: 问题二 计算方法如下: 22AB,a，b,2abcos,在?ABC中，已知AC=B，BC=A,C=α,则由余弦定理得 问题三 计算方法如下: ,ABBCaasin,,AB,在?ABC中，由正弦定理可得，所以. sin,sinAsin(,，,)sin(,，,) 实习报告(2) 题目 测量一水塘两侧A、B两点间的距离 测量目标(附图) 测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 42.3 41.9 42.1 AC的长(m) 34.8 35.2 35 BC的长(m) α 109?2′ 108?58′ 109? 计算 A、B两点间距离 (精确到0.1m)， AC=42.1 m， BC =35 m， α=109? 22AB,AC,，BC,2AC,BCcos,? 2242.1，35,2，42.1，35，cos109:.= 算得AB?62.9(m) 负责人及参加人 计算者及复核者 指导教师审核意见 备注 实习报告(3)是对一小河两岸两点实际测量的情况( 实习报告(3) 题目 测量一小河两侧A、B两点间的距离 测量目标(附图) 测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 48.3 47.9 48.1 a的长(m) α 42?54′ 43?6′ 43? β 70?7′ 69?53′ 69? 计算 A、B两点间距离 (精确到0.1m): A=48.1 m， 48 α=43?， β=69? ? ,sin48.1，sin69:48.1，sin60:a,,,ABsin(,，,)sin(43:，69:)sin112: 算得AB?48.4(m) 负责人及参加人 计算者及复核者 指导教师审核意见 备注 课堂小结 通过本节实习,要求大家进一步熟悉解斜三角形知识在实际中的应用,在动手实践的过 程中提高利用数学知识解决实际问题的能力,并认识数学在生产、生活实际中所发挥的作用, 增强学习数学的兴趣. 布置作业 完成实习报告 板书设计 实习作业 提出问题 分析问题 实习报告 课堂小结 布置作业 49 50