第一节多元函数的极限与偏导数

第一节多元函数的极限与偏导数 江苏财经职业技术学院 教 案 课 程 高等数学 课 型 讲授 课 时 2 第八章 多元函数微分学 章节名称 第一节 多元函数的极限与偏导数 1. 了解多元函数、二元函数定义域 教学目的 2.掌握简单二元函数极限的求法与连续性的判断 3. 掌握二元函数偏导数的求法 1. 二元函数极限的求法与连续性 教学重点 2. 二元函数偏导数的求法 1. 二元函数极限的求法与连续性 教学难点 2. 二元函数偏导数的求法 补充、删 无 除、更新 课外作业 复习本次课内容 教 具 粉笔、三角尺 课后体会 本课能把握住重点、难点，教学效果好。 授课主要内容 第八章 多元函数微分学 第一节 多元函数的极限及偏导数 一、多元函数 ,(二元函数的定义 2.二元函数的几何 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 二、二元函数的极限与连续性 1. 二元函数的极限 2. 二元函数的连续性 三、偏导数 1.偏导数的定义 ,,zf ,,z或f(x,y),,,xxxxxxxx00000,,xx,,,yyyyyy000 2. 偏导数的求法: 从偏导数的定义可以看到，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二 元函数z,f(x,y)看成是另一个自变量的一元函数的导数(因此，求二元函数 的偏导数,只须用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量，而对另一个 自变量进行一元函数求导即可 3(偏导数的几何意义 4、高阶偏导数 22,,z,z,,z,z(),,f(x,y), , (),,f(x,y)xxxy2,x,x,x,y,x,x,y 22,,z,z,,z,z(),,f(x,y), (),,f(x,y)yyyx2,y,y,y,x,y,y,x 内容复习 复习一元函数极限、连续性及求导法则，导入新课 新课讲授 第八章 多元函数微分学 第一节 多元函数的极限及偏导数 一、多元函数 实例分析 y例 1 设矩形的边长分别和则矩形的面积 为 xS,xyS yy在此，当和每取定一组值时，就有一确定的面积值(即依赖于和xxSS的变化而变化( 2 具有一定质量的理想气体，其体积为，压强为，热力学温度之间具例 VPT RT有下面依赖关系(R是常数). P,V 在这一问题中有三个变量，当和每取定为一组值时，按照上面P，V，TVT 的关系，就有一确定的压强P ,(二元函数的定义 xy,xy,定义1 (二元函数) 设有三个变量 和如果当变量 在它们的z, D变化范围中任意取定一对值时，变量z按照一定的对应规律都有惟一确定的值 xy,y与它们对应，则称z为变量 的二元函数，记为，其中与称为z,f(x,y)x Dy自变量，函数也叫因变量(自变量与 的变化范围 称为函数z的定义域( z,x xy,xy,定义1 (二元函数) 设有三个变量和如果当变量在它们的变z, D化范围 中任意取定一对值时，变量z按照一定的对应规律都有惟一确定的值 xy,yz与它们对应，则称为变量的二元函数，记为z,f(x,y)，其中x与称为 Dyzz自变量，函数也叫因变量(自变量 x与 的变化范围 称为函数的定义域( DMD如果一个区域内任意两点之间的距离都不超过某一常数，则称为有 D界区域，否则称 为无界区域( 定义2. 222P(x,y)圆域一般称为平面上点的 邻域，而称,,(x,y)|(x,x)，(y,y),,,00000 P不包含点的邻域为无心邻域 0 注:二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义域的图形一般由平面曲线围成 y222a例 3 求二元函数z,a,x,y的定义域 222x，y,a 解 由根式函数的定义容易知道， aO x222x，y,ax,y,该函数的定义域为满足的 222,,D,(x,y)|x，y,a即定义域为. D这里在面上表示一个以原点为圆心a为半径的圆域(它为有界闭区域(如xOy 图所示) y 例 4 求二元函数的定义域 z,ln(x，y) x,y 自变量所取的值必须满足不等式, 解x，y,0x O 即定义域为 ,,D,(x,y)|x，y,0. D点集在面上表示一个在直线上方的半平面(不包含边界)，如下图xOyx，y,0所示，此时D为无界开区域 2.二元函数的几何表示 x,y把自变量及因变量z当作空间点的直角坐标，先在平面内作出函数xOy D的定义域(如下图)再D域中的任一点作垂直于平面的z,f(x,y)M(x,y)xOy MPPD有向线段，使点的竖坐标为与对应的函数值z(当M点在中变动时，(x,y) P对应的 点的轨迹就是函数的几何图形，它通常是一张曲面，而其定z,f(x,y) z D义域 就是此曲面在 xOy平面上的投影 P O Y y X 二、二元函数的极限与连续性 M D 1. 二元函数的极限 x (x,y)z,f(x,y)(x,y)定义 2 设二元函数，如果当点 以任意方式趋向点00 AA时，f(x,y)总趋向于一个确定的常数，那么就称是二元函数f(x,y)当 (x,y) (x,y)时的极限，记为 ,00 limf(x,y),A或. limf(x,y),A(x,y),(x,y)x,x000y,y0同一元函数的极限一样，二元函数的极限也有类似的四则运算法则 2. 二元函数的连续性 P(x,y)定义 3 设函数在点的某邻域内有定义，如果 z,f(x,y)000 limf(x,y),f(x,y)00x,x0y,y0 P(x,y)则称二元函数在点处连续(如果在区域D内的每一点z,f(x,y)f(x,y)000都连续,则称在区域D上连续 f(x,y) x,x，,x,y,y，,y若令，则式 00 , limf(x,y),f(x,y)00x,x0y,y0 可写成 即 . ,,limf(x，,x,y，,y),f(x,y),0lim,z,00000,x,,x,00,y,0,y,0 三、偏导数 1.偏导数的定义 (x,y)定义 设函数 在点的某一邻域内有 z,f(x,y)00 yyx定义，当 固定在 而 在 处有改变量 时相应地函数有改变量x,x00 f(x，,x,y),f(x,y)如果极限 0000 fx，,xy,fxy(,)(,)0000 lim,x,0,x (x,y)存在，则称此极限为函数z,f(x,y)在点处对x的偏 00导数，记为 ,,zf ,,z或f(x,y),,,xxxxxxxx00000,,xx,,,yyyyyy000 xyy类似地，当 固定在 ，而 在 处有改变量 ，如果极限x,y00 fxy，,y,fxy(,)(,)0000lim存在，则称此极限为函数z,f(x,y)在点(x，y)处对 00,y,0,y y的偏导数，记为 ,,zf ,,z或f(x,y),,,xxxxyxxy00000,,yy,,,yyyyyy000 D如果函数在区域 内每一点 处对 的偏导数都存在，且z,f(x,y)(x,y)x ,z,f这个偏导数仍是的函数，称为函数对自变量xy,z,f(x,y),,z或f(x,y)xxx,x,x 的偏导数. y类似地，可以定义函数对自变量的偏导数，记为 z,f(x,y) ,z,f,,z或f(x,y) yy,y,y 2. 偏导数的求法: 从偏导数的定义可以看到，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元 函数看成是另一个自变量的一元函数的导数(因此，求二元函数的偏z,f(x,y) 导数,只须用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量，而对另一个自变 量进行一元函数求导即可 2z,xsiny例1. 求的偏导数 ,zy解 把 看作常量对 求导数,得( x,2xsiny,x ,z2y,xcosy把 看作常量对求导数，得 x,y ,z,zyz,x的偏导数,例 2 求 ,x,y ,zy,1y解 对 求导时，把 看作常量对 求导，得. xx,yx,x ,zy,xlnxyy对求导时，把看作常量对求导，得 x,y yarctan22xf(1,0)例 3 设=，求 f(x,y)eln(x，y)x f(x,y)解 如果先求偏导数，运算是比较繁杂的，但是若先把函数中的 yx 固定在y,0，则有 2,2f(1,0)f(x,0)f(x,0),2lnx，从而 =， xxx 3(偏导数的几何意义 (x,y)z,f(x,y)从偏导数的定义可知，二元函数在点处对x的偏导数00 df(x,y)z,f(x,y)xf(x,y)，就是一元函数处的导数 (设 x00000x,x0dx MM(x,y,f(x,y))为曲面上的一点，过 作平面，这个平面z,f(x,y)yy,0000000 ,zf(x,y),,在曲面上截得一曲线(由一元函数的导数的几何意义可知,,yy0, df(x,y)0f(x,y)MMCT.即就是这条曲线 在点 处的切线对x 轴的x0000xx,xx0dx 斜率，即 . fxy(,)tan,,x00 4、高阶偏导数 ,z,z对于二元函数的两个偏导数 ，，一般说来，它们仍然是z,f(x,y),y,x ,z,zyxy,的函数(如果，的偏导数存在，可以继续对 或求偏导数，自变量x,y,x 则称这两个偏导数的偏导数为函数的二阶偏数(这样的二阶偏导数共z,f(x,y)有四个，分别表示为 22,,z,z,,z,z(),,f(x,y), , (),,f(x,y)xxxy2,x,x,x,y,x,x,y 22,,z,z,,z,z(),,f(x,y), (),,f(x,y)yyyx2,y,y,y,x,y,y,x 其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数(它们求偏导数的先后次序不同， yy前者是先对后对求导，后者是先对后对求导(类似地可以定义三阶、四xx阶、……、阶偏导数(二阶及二阶以上的偏导数都称为高阶偏导数( n 323z,xy,3xy,例 8 设函数求它的二阶偏导数 解 函数的一阶偏导数为 ,z,z32223,x,9xy ， ,3xy,6xy,y,x 二阶偏导数为 2,z,,z,323,6xy,6y, , (),(3xy,6xy)2,x,x,x,x 2,z,,,z22233x,18xy,(),(3xy,6xy) =, ,y,x,y,x,y 2,z,,,z223223x,18xy =, ,(),(x,9xy),x,y,x,y,x 2,,z,,z2322,,18xy (),(x,9xy) ,2,y,y,y,y 333z,xy,3xy从上例看到，的两个二阶偏导数是相等的，但这个结论并不是对任意可求二阶偏导数的二元函数都成立，不过当两个二阶混合偏导数满足如下条件时，结论就成立 定理 若的两个二阶混合偏导数在点连续，则在该点有 z,f(x,y)(x,y) 22,z,z ,,y,x,x,y 对于三元以上函数也可以类似地定义高阶偏导数，而且在偏导数连续时，混合偏导数也与求偏导的次序无关( 思考题 偏导数、全微分与连续偏导数三者之间关系如何?