初中数学辅导资料70

初中数学辅导资料70 初中数学竞赛辅导资料(70) 正整数简单性质的复习 一. n位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数 2从100到999共9×10个，那么 n位数的个数共__________.(n是正整数) 练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个. 2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数； 100110021003……19881989是_______位数. 3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n位数有_______个. 4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个； 从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个. n二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×. 2 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和. 练习：5.计算2+4+6+……+100=__________. 6. 1+3+5+……+99=____________. 7. 5+10+15+……+100=_________. 8. 1+4+7+……+100=____________. 9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______ 10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________. 11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________. 三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和 整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45； 1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901. 练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________. 13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止： 这个数用9除的余数是__________. ？？,,,,,,,,,,,198位 (1987) 14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中： ? 它是一个________位数； ? 它的各位上的数字和等于________； ? 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十 位是___________________________. 四.连续正整数的积： ? 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n的阶乘. ? n个连续正整数的积能被n!整除. 如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n－1). a为整数. 271 nnn，，，，，，? n! 中含有质因数m的个数是++…+. 2i,,,,,,mmm，，，，，， i[x]表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3… m?n 1010，，，，如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：=3+1=4 ，2,,,,33，，，，练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：____ 16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个 (1988) 494 17. 求证：10| 1989! 218. 求证：4! | a(a－1)(a+2) a为整数 五. 两个连续正整数必互质 练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之. －nn1一. n+1位的正整数记作：a×10+a×10+……+a×10+a －nn110 其中n是正整数，且0?a?9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位a?0. in432例如：54321=5×10+4×10+3×10+2×10+1. 例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A能被99整除. 42403842证明：A=12×10+13×10+14×10+……+31×10+32×10+33 2120192 =12×100+13×100+14×10+……+31×100+32×100+33. n n ? 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100=(99+1)?1 (mod 9) ? A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 ) =99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23) =99k+45×11 =99k+99×5. ?A能被99整除. 练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除 二. 常见的一些特例 11 nn n？,=10－1, =(10 －1), (10－1). 99993333？？1111,,,,,,,,,,,93n个1n个9n个3 例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正 整数的积. 12 nn n证明：第n个数是=(10,1)×10+(10,1) 11112222？？,,,,,,,,99n个1n个2 1 n n =(10,1)(10+2) 9 nn10,110,1，3=， 33 272 nn10,110,1，(，1)= 33 =×. 证毕. 333343333？？,,,,,,(n,1)个3n个3 练习：21. 化简 ×+1=_______________________________. 999999999999？？？,,,,,,,,,,,,,,,n个9n个9n个9 22. 化简 =____________________________________________. 1111-2222？？,,,,,,,,2n个1n个2 23. 求证 是合数. 1111？,,,1990个1 24. 已知：存在正整数 n,能使数被1987整除. 1111？,,,n个1 求证：数p=和 7？？？？,,,,,,,,,,,,,,,,n个1n个9n个8n个7 数q=都能被1987整除. 7？？？？,,,,,,,,,,,,,,,,n，1个1n，1个9n，1个8n，1个7 (1987) 25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数 的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除. 26. 求证：×15+1是完全平方数. 11110000？？,,,,,,,,n个1n,1个0 .一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3. 4k+rr 1. N (a)=N (a) a和k都是整数，r=1,2,3,4. 特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是 4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身. 2. N (a)=N (b)N (a－b)=010 |(a－b). ,, nn3. 若N (a)=a, N (b)=b 则N (a)=N (a)； N (ab)=N (ab). 00.000 77100 例题1：求?53； 和 ?7的个位数. ×100424+44解：?N (53)=N (3)=N (3)=1 7?先把幂的指数7化为4k+r形式，设法出现4的因数. 7767=7－7+7=7(7－1)+4+3 242=7(7－1)(7+7+1)+4+3 42 =7×4×12× (7+7+1)+4+3 =4k+3 774k+33?N(7)=N(7)=N(7)=3. 991989练习：27. 1989的个位数是______，9的个位数是_______. 1989199128. 求证：10 | (1987－1993). 1015202529. 22×33×77×55的个位数是______. 273 二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9； 连续整数平方的个位数的和，有如下规律： 22221，2，3，……，10的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45. 1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和 2222 例题1. 填空：1，2，3，……，123456789的和的个位数的数字是_______. (1991) 2222解：?1，2，3，……，10的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45. 11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个 位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是： (1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5. 2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法 例题2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数. 证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作： (n－2)222222 +(n－1)+n+(n+1)+(n+2)=k (n, k都是整数) 225(n+2)=k . 2? k是5的倍数，k也是5的倍数. 22设k=5m, 则5(n+2)=25m. 22n+2=5m. 22n+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n的倍数是8或3. 但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3. ?假设不能成立 ?任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数. 3.判断不是完全平方数的其他方法 例题3. 已知：a是正整数. 求证： a(a+1)+1不是完全平方数 证明：?a(a+1)+1=a2+a+1，且a是正整数 222 ? a< a(a+1)+1=a+a+1<(a+1)， ?a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平方之间 ?a(a+1)+1不是完全平方数 例题4. 求证： (n>1的正整数) 不是完全平方数 1111？,,,n个1 2 证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)=4(k+1)+1. 但 ==4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3 1111111？100，11？,,,,,,n个1n-2个1 即除以4余数为3，而不是1， 1111？,,,n个1 ?它不是完全平方数. 例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数. 证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数. 2222?(2a+1)+(2b+1)=4a+4a+1+4b+4b+1 22=4(a+b+a+b)+2. 这表明其和是偶数，但不是4的倍数， 故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数. 274 三. 魔术数：将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N 整除，那么N称为魔术数.常见的魔术数有： a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5 (即10的一位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数 也是魔术数))c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的 三位正约数也是魔术数) 练习：30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_________. (1986) 四. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 2练习：31. 已知：n是自然数，且9n+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n的值是：___________________. (1985) 丁. 质数、合数 1；, ,质数 (除1和本身外不能被其他自然数整除)；.1. 正整数的一种分类： , ,合数(除1和本身外还能被其他自然数整除)., 2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数. 3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数. 例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数. 解：答案不是唯一的，其中的一种解法是： 令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11 那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个 连续数，且个个都是合数. 一般地，要写出n个连续自然数，个个是合数，可用 令m=n+1, 那么m!+2, m!+3, m!+4, +……+ m!+n+1 就是所求的合数. ?m!+i (2?i?n+1) 有公约数i. 练习：32. 已知质数a， 与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___. 33. 两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于 ____，____. 34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m!=22! 那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,…… 35. 写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11. (这里11=10+1，即N是不大于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，…… N+11就是所求的合数.这是为什么？如果 要写15个呢？ 4m+24n36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：2+x 是合数. 戊.奇数和偶数 偶数：能被2整除的整数；(即除以2，余数为0),1.整数的一种分类： ,奇数：不能被2整除的整数.(即除以2，余数为1), 275 2. 运算性质：奇数+奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+偶数=奇数. 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数. 正整数正整数(奇数)=奇数，(偶数)=偶数. 4. 其他性质： ? 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数. ? 奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数 不是平方数. n a) 2(n为正整数)不含大 于1的奇因数. b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必一奇一偶. c) 若n个整数的积是奇数，则它们都是奇数. 33例1. 设m 与n都是正整数，试证明m－n为偶数的充分必要条件是m－n为偶数. 3322证明：?m－n＝（m－n）(m+mn+n). 2233当m－n为偶数时，不论m+mn+n是奇数或偶数，m－n都是偶数； 33?m－n为偶数是m－n为偶数的充分条件. 22当m－n为奇数时，m, n必一奇一偶，m，mn，n三个数中只有一个奇数， 2233?m+mn+n是奇数，从而m－n也是奇数. 33?m－n为偶数，是m－n为偶数的必要条件. 33综上所述m－n为偶数的充分必要条件是m－n为偶数. 22例2. 求方程x－y=1990的整数解. 解：(x+y)(x－y)=2×5×199. 若x, y同是奇数或同是偶数，则 x+y，x－y都是偶数，其积是4的倍数，但1990 不含4的因数，?方程左、右两边不能相等. 若x, y为一奇一偶，则x－y，x+y都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数， ?方程两边也不能相等. 综上所述，不论x, y取什么整数值，方程两边都不能相等. 所以 原方程没有整数解 本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性. 练习：37. 设n为整数，试判定n2－n+1是奇数或偶数. 38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？ 39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由. 240. 求证：方程x+1989x+9891=0没有整数根. xxx？x；，，，，,0,123n41. 已知： 求证：n是4的倍数. ,xxx？xn，，，，,.123n, n,,1(1)2242. 若n是大于1的整数，p=n+(n－1)试判定p是奇数或偶数，或奇偶数都有 可能. (1985) 已. 按余数分类 1. 整数被正整数 m除，按它的余数可分为m类，称按模m分类. 如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k为整数，下同 模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}. …… 模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}. 276 2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同. 如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6. 3. 按模m分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质. 如：若a=5k+1, b=5k+2. 12 则a+b除以5 余数 是3 (1+2)； ab除以5余2 (1×2)； 22b 除以5余4 (2). 1989例1. 求1989除以7的余数. 19891989解：?1989=(7×284+1)， 19891989 ?1989?1 ?1 (mod 7). 1989即1989除以7的余数是1. 9练习：43. 今天是星期一，9天之后是星期________. 44. n 个整数都除以 n－1, 至少有两个是同余数，这是为什么？ a45. a 是整数，最简分数化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几7 位？ 4. 运用余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进行检验 例2. 下列演算是否正确？ ? 12625+9568=21193 ； ? 2473×429=1060927. 解：?用各位数字和除以9，得到余数： 12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7. ? 7+1?7， ?演算必有错. ? 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7. 而7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错. 注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确. 练习：46. 检验下列计算有无差错： ?372854－83275=289679 ； ?23366292?6236=3748. 5. 整数按模分类，在证明题中的应用 例3. 求证：任意两个整数a和b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数. 证明：把整数a和b按模3分类，再详尽地讨论. 如果a, b除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b的差是3的倍数； 如果a, b除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么a, b的积是3的倍数； 如果a, b除以3，余数分别是1和2，那么a, b的和是3的倍数. 综上所述任意两个整数a，b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数. (分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏) 例4. 已知： p?5，且 p和2p+1都是质数. 求证：4p+1是合数. 证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k为整数)三类讨论 ?p是质数，?不能是3的倍数，即p?3k； 当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ? 2p+1不是质数，即p?3k+1； 只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5. ?2 p+1也是质数， 符合题设. 这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕 277 2练习：47. 已知：整数a不能被2和3整除 . 求证：a+23能被24整除. 48. 求证：任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6. 8449. 若正整数a不是5的倍数. 则a+3a－4能被100整除. nn50. 已知：自然数n>2求证：2－1和2+1中，如果 有一个是质数，则另一个必是 合数. 33333351.设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证 ab－ab,bc－bc,ca－ca三个数中，至 少有一个能被10整除. (1986) 庚. 整数解 x,x,01. 二元一次方程 ax+by=c的整数解：当a,b互质时，若有一个整数的特解那么,yy,0, x,x，bk,0可写出它的通解 (k为整数),y,y,ak0, 2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质 整数?整数=整数， 整数×整数=整数， 自然数整数?(这整数的约数)=整数， (整数)=整数 3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解. 4. 根据已知条件讨论整数解. 例1. 小军和小红的生日.都在10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小 军比小红早出生，求小军的生日. 解：设小军和小红的生日分别为x, y，根据题意，得 y,x,7k,7 (k=1,2,3,4) 2x=34－7k x=17－k ,2y，x,34, k=1, 3时， x没有整数解； x,10，,当k=2时， ,y,24., x,3y，,当k=4时， (10月份没有31日，舍去) ,y,31., ?小军的生日在10月10日 例2. 如果一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条 件的所有三位数. (1988) 解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c都是整数，00, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐一讨论a的解. 当 c=2, 4时，无实数根； 当c=1, 3时，无整数解； 只有当c=0时，a=5；或 a=0. (a=0不合题意，舍去) ?只有c=0, a=5, b=5适合 ?所求的三位数是550； (2)当a－b+c=11时， 得9a+b+1=a222+b+c. 以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得 222a+2(c－16)a+2c－23c+131=0. 仿(1)通过韦达定理，由c的值逐一以讨论a的解. 只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件. 即所求三位数为803. 综上所述，符合条件的三位数有550和803. 练习：52. 正整数x xx……x满足等式x＋x＋x＋x+x=xxxxxx1, 2, 3,n12345123445 那么 x的最大值是________. 1988 5 2p,12q,153. 如果p, q, 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q的值. ,qp （1988） 2254. 能否找到这样的两个正整数m和n，使得等式m+1986=n成立. 试说出你的猜 想，并加以证明. 1986） 22255. 当m取何整数时，关于x的二次方程mx－18mx+72=x－6x的根是正整数， 并求出它的根. 1988 256. 若关于x的二次方程（1+a）x+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a的取 值是________________. 1989 57. 不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大 边与最小边的差大1，适合条件的三角形共有____个，它们的边长分别是： ______________________________________________________________. 58. 直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长. 59. 鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡 母、鸡雏各几何？ 60. 甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒1个共付1.69元，乙买铅笔3支，笔记 本7本，文具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各1，应付几元？ 若1×2×3×4×……×99×100=12 n×M，其中M为自然数，n为使得等式成立 的最大自然数，则M是( ) (A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除. (C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除. (1991) 279