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_1715431034535_0资料]结构力学图乘法
?4,6 图乘法
我们已经知道,计算荷载作用下结构的弹性位移时,需要求下列形式的积分
MMiK ds,EI
的数值。这里,、是两个弯矩函数的乘积。对于直杆或直杆的一段~若MMiK
EI是常量~且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形~则可用图乘法计
算积分~极为方便。
下面说明图乘法的内容和应用
图4,20所示为直杆AB的两个弯矩图,其中图为一直线。如果该杆截面抗弯Mi刚度EI为一常数,则
MM1iKdx,MMdx(a) iK,,EIEI以O为原点,以α
表
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示图直线的倾角,则图上任一点标距(纵坐标)可MMii表示为
M,x,tan,i
BBMMdx,tan,xMdx因此, (b) iKK,,AA
式中,Mdx可看作M图的微分面积(图4,20中画阴影线的部分);x,MdxKKK
BxMdx是这个微分面积对y轴的面积矩。于是就是M图的面积ω对y轴的KK,A
xM面积矩。以表示图的形心C到y轴的距离,则 0K
BxMdx,,x 0K,A
将上式代人式(b),得到
BMMdx,tan,,,x,,y(c) 00iK,A
其中,是在图形心C对应处的图标距。利用式(c),式(a)可写成yMM0Ki
BMM1iK(4, 29) ,,dxy0,AEIEI
这就是图乘法所使用的公式。它将式,a,形式的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距的问题。
应用图乘法计算时要注意两点:
(1)应用条件:杆件应是等截面直杆,两个图形中应有一个是直线,标距y0应取自直线图中。
(2)正负号规则:面积ω与标距在杆的同一边时,乘积取正号;ωy,y00与在杆的不同边时取负号。 y0
图4,21给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置。用抛物线图形的公式时,必须注意在抛物线顶点处的切线应与基线平行。
下面指出应用图乘法时的几个具体问题。
y(1)如果两个图形都是直线图形,则标距可取自其中任一个图形。0
(2)如果一个图形是曲线,另一个图形是由几段直线组成的折线,则应分段考虑。对于图 4,22所示的情形,则有
MMdx,,y,,y,,yiK112233,
(3)如果图形比较复杂,则可将其分解为简单图形来考虑。
例如,图4,23中两个图形都是梯形,可以不求梯形面积的形心,而将其中一个
梯形(图)分为两个三角形(也可分为一个矩形和一个三角形)再应用图乘MK
法。因此
MMdx,,y,,y (a) iK1122,
其中,
ab,,,l,,2,l1,22 (b),2d12d,y,c,,y,c,123333,所以:
alblMMdx,(2c,d),(c,2d) iK,66
4,24中的又如,图 M图可以分解为两个三角形:三角形 ADB在坐标轴K
以上,三角形ABC在坐标轴以下。这时
albl,,,,,1222
2cdy,,(与,反侧) 1133
2dcy,,(与,反侧)2233
所以:
albl MMdx,(d,2c),(d,2c)iK,66
图4,25a所示为一段直杆AB在均布荷载q作用下的图。由第二章可知,MMPP
,图是由两端弯矩、组成的直线图(图4,25b中的M图)和简支梁在均MMAB
O布荷载q作用下的弯矩图(图4,25c中的图)叠加而成的。因此,可将图MMP
O,M分解为直线的图和抛物线的图,然后再应用图乘法。 M
还要指出,所谓弯矩图的叠加是指弯矩图纵坐标的叠加。所以虽然图4,25a中的M图与图4,25C中的M图形状并不相似,但在同一横坐标C处,二者的纵
dx坐标是相同的,微段的微小面积(图中带阴影的面积)是相同的。因此,两图的面积和形心的横坐标也是相同的。
例4,8用图乘法计算图4,26a所示简支梁在均布荷载q作用下的B端转角Δ。
例4,9图4,27a所示为一悬臂梁,在A点作用集中荷载P,求中点C的挠度,。 c
例4,10图4,28a所示为一预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算图。
3已知板宽1m,厚2.5 cm,混凝土容重为。板的起吊点为 A、B。求 C25kNm
点挠度。 ,c