【doc】H上半正定广义逆A{i,...,j;〉=}的半正定偏序解

【doc】H上半正定广义逆A{i,...,j;〉=}的半正定偏序解 H上半正定广义逆A{i,...,j;〉=}的半正定偏 序解 掐建林学魔1990,10(2)ll12一l21 Jou~a|ofFujls4ColeofFore~ry H上半正定广义逆A{i,…,j;?} 的半正定偏序解' 庄瓦金 (福建南平师专) 摘要在文献[1—2]基础上,本文考察了半正定自共轭西元教矩阵A的半正 定(i,…,j)一连A{i,…,j,?}中昀半正定偏序解li1题,证明了各广义逆的 芈正定倡序解的显公式., 关键词四元数体}半正定自共轭矩阵J广义逆,半正定偏序 1引言与引理 设H是四元数体,H(n,')={AEH…lA?=A},H(n,?)={AEH(n,)lA是半 正定的},H(n,>)={A?H(n,?)lA是正寇的.设A,BEH(n,?),记A?B(A> B),或B?A(B<A),当且仅当A—BEH(n,?)(H(n,>))}A{i,…,j,?}={X? A{i,…,j}lXEH(n,?)},其中广义逆的定义与记号如C32所述.设A(i,…,j)? A{i,…,jI?',~:rankA(i,…,j)=t,剐记之为A:"…订'.容易证明,?是H(n,?) 中的偏序,我们称之为H(n,?)的半正定偏序.现在有以下问题. 设s?r?t,A",…''?A{i,…,j,?},是否存在A",Ac.'n,使 A(i.'j)?A(i'j?At'j,? SrZ 对此,[1]阐述了实非负定矩阵的(1)一逆,(咖逊情形的存在性,[2]进一步研究了复非 负定矩阵的(i,…,j)一逆A{i'…,jl?}中A''i), Ac . ' j'的解集 .本文在[1—2] 基础上考察了上述问题,证明了它们的显公式,将[2]的结果推广到H上,井作了部分改 进. 本文还约定.GL(H)={A?H…IA可逆},H:={A?H"1AA'=I}.设A? H(n,*),若A.=A,刚称之为投影矩阵.设A"?A{s,…,t,?',记 ?车尘景挂蠹誉直蒜韩学基盘资助谭题. 第2期庄瓦垒.H上半正定广义逆A{i,…,jI》}的半正定偏序解113 A{i,…j;r,?A'}={XEA{i,…,j}?}【X?A'.''?,rankX=r}, A{i,…J,r,?A''''}={XEA{i,…,j,?}Ix?A'?,rankX=r}. 为了下面的阐述,我们先导出A的半正定(i,…,j)一逆的显式.由(4]定理6,(5]定理 13,14,C63p294系1及(7]引理3易得 亭I理1设A=u(:)uEH(n,?),其中UEH:,D=dlag(,…,,)>o, 砒 A{1,?Hu(呈:x.DxX+Y)u.1x?H?(--",YEH(n-r.?)}, A{1'2I?卜{u(呈:x州x} A{1?}={u(呈)u『x?H(n_r,?)}=A{1,4,?}, A{1'2,3,?{1,2,4J?+=u(O'》u*. 暑l理2同引理I所设,则 十(.-..y三. )U. (1) (2) (3) (4) XEHII("r,,V?H,t=o,1,…,f},(5) 这里D-音=diag(~,…, 一 )是D—z的半正定平方根,并且若设D=diag(-1rI,…, t tIt),l,…,两两互异,Erl=r, i-1 则 A{3I?}={u(oL呈》U*iLa吼,…,LI)Ll?H(ri,?), XEH(n—f,?)}=M4)》};A{3,4,?},(6) ?Hu札v(兰)v...v(O:)v Vl?H,0?qI?ri}=A{2,4J?};A{2'3,4J?}.(7) 证一u()U.?,YtEH(r,? 昔oD :{ (X V * oo?OkO, ,-, ,J O 114福建林学院学撤第10卷 fIu】J YlDY:=Y fY:DY.=Y.' 于是D古Y , D古是投影矩阵 , 其中D古是D的半正定平方根.从而由[5]定理13,14易见有 V?H,使D音YD古=V(暑)V*.因此,令V?D古Y:=():,则由 YtDYt=Y得到z=.,从而Y.=D一士V(言),Ya?XoX.故Y具(5)右边所示形式.由 u(士三](.V*V(妻(.o'士I三]u:QQ 其中Q=u(.-.4- 1 0 … )(:),V.是V的前t列.因此由[4)定理6知道这样形式的矩阵 易见cs,右边所示矩A?,中.着Y=u'(:')u??As,?,Y-? H(?),则DYl=YlD,DY=O,从而易见Y具(6)右边之形式.A{4}?}的情形类 似证之,故(6)成立. 又若(6)右边所示矩阵在A{2,3}?}中,姗由(5)的证明知道X=0,且^iLl是投影矩 阵,从而A的半正定(2,3)一逆具(7)右边之形式.显然这样形式矩阵在A{2,3,?}中. 类 似可证A{2,4}》}的情形,故(7)成立.证毕. 2半正定偏序解的显式 定理1设A=u(:暑)u*,其中u?HD=diag(^t,…,)>o.又设 A'=u x. u眦, . ?hY.=L(0)L?Gc f?s?k?t?n,螂 fD一Xo A;s,?A',{u[x:x.x.+L(暑)L*)u.Iz=Wdiag(l'…,k—r)w' 第2期庄瓦盎tH上半正定广义逆A{i,…,j|>}的半正定偏序解 o?j?1,j.的个数为s—r,W6Hk-ur},8) A{,,?Ac):{u(Dx - 1 x.x.+ X Y o .Y]ulY?H一,?, raDk(Yo+Y)=t—r}.(9) 证血引理设A'=u(呈:x.DXx+Y)u*?A{,s,?A},则 A'一 A'?:u(x:xx:.x.一x Xo .. - x X +yo-Y ju*?.. 于是由盯]弓.理.与定理.知道x=x.且Y.一Y?o?令Y=L(YY)L*,其中 Z?H(k—r,?),Yi?H(n—k,?),则, [r--, - v,j 因此,Ih—Z>O,一Yz?O.故Yz=0,.R~4J定理6,(5)定理13,14可设 Z=Wdiag(1,…,., )W*,W?H1. 1 ,其中o?3?1.又 (I— i_ Y r-一 ]=(][一 0 Y..- 一 r-- ][.o. ]?., 则如上证明知道Y=o.再注意到rankA':=s,财}年.的个数为s—r,故A'具(8) 右边所示形式.反之,易见(8)右边之矩阵在A{1,s,?A:冲,故(8)成立. 类似可证(9)成立.证毕. 由引理1与定理1得 推论1设A?H(n,?),A'?,A*6A{1,2j?},若A'?.?A',则 An?2)皇A' . 类似定理1的证明可得一 推论2~A6H(n,?)如定理所述,A.Jn=u( xo-LL*,L6H蔓吣(k-r),{1,…,i}:{1,3},{1,4},{E—r 剜 0 一)U*6A",i,?}, ,3,4},r?s?k?t?n, A,…,,s,?A:'."?}={u(D.-L0L)u*Iz=Wdi~gc,,…,.w*, 1l6福建林学院第10卷 0?i?1,,.的个数为s—r,w?H:}(1o)E—fJ, A{】,…t,?Am,={u(xx)u*IX6H(n—r,?, rank(X.+x)~t--r}.(11' 定理2设A?H(n,?)如定理1所述,o?s?k?t?r}由引理2设 A=u,(:)u?A{z,?,,其中u=uaasc',…,'=},..,v,,.Voo~, f100, 0t . - YoEHkx(n-r),则 r,It00, A{2It,kO.'Y?H(I-k) ? {Ul(暑)ww叫 证设任意A?A{z,t,?A},由引理z有A:=u.CzX (12) (13) z Z .z)u:,其中 x?,?)是投影矩阵,.令x(三主],XI6HH(rZXZX,6?舢A一A:?0x?,?)是投影矩阵,.令xLxx.J,,剐由A一k? 知x.一I?O.又由x是投影矩阵知I一x?O,l从而有It—x.?O.故x=I.再注意斟 x的幂等性,易得x:x=0.从而由[7]引理2知x=o.于是x.是投影矩阵,且 A'2).Au,ox0. )z1u. 因此由(7]定理3知道z=(暑.x0.)z,从而令z=(),z.的行数为k,剐有z;., z:=x.z..注意到A的秩,设x:w(t.-i暑)w?,w?..于是令w?z=(), Y的行数为t—k,砌得T=0.故A.'具(12)右边所示形式.反之易见(12)右边之矩阵在 A{2,t,?A}中,所以(12)成立. 第2期庄瓦金-H上半正定广义逆Afi,…,jJ?}的半正定偏序解117 若(zZz)u??A圊『j类似于定理1中的证明知道 一.,一..令xX,E鼬(.Ii0Hk~k,It.)一x?.得一.,.'从而=0?令x【x:x.J,则由(0o)一x?o 得到x.0, X:=0.故易见(13)正确,证毕. xEH(r?)是投影矩阵,可设为x=w(oO)w*,w?H,并且xz=z.于是 一 z, 暑-Z*Zj;;.. 又I一X也是投影矩阵.有(I一X)=I,一X,从而由[7]定理3知道(I一X)(一Z)=一 Z, 故z=XZ=0.因此A具(14)右边所示形式.显然这样形式的矩阵在A{2,t,?A:"} 中,故(14)成立.证毕. 定理4设A?H(n,?)如定理1所述,0?s?r?t?n}由引理2设 rI,O A【2) :u.lo0【 Y:0Y u:?A{2,?}, …a=u[.)(V.-r】,则 ,fI, 一 』—.I 118福建林学院第10卷 +咖一音Z?H(r's)(n-r), 证设A"EAQ,t , ?A2)} ,刚由弓l理1有? A(.kO,]音x盎LD-音k0]. … ' V~D4X1 ~DX+L.【X*D音v.xu:' 其中L?H(n—r,?),rankL=t—r.令V:D音X=(),Y有k行,则 - r00Y—Yo, A'一 Ac2;u.loI~-r,lu:?o.【 Y?一Y:z?Y*Y+Z*Z+L—Y:YoJ 于是由(7]定理3知道Y=Y..故A:"具(15)右边所示形式.又(zL]?o, 因而易见这样形式矩阵在A{1|t,?A'中,所以(15)成立.证毕? 定理s设A=u(吕暑)u?,u?乩.……>.,耋r-一r 由引理2设A:udi(G,,…,G.,G)u*EA{3,?},其中Gj:P(暑P,' G=P()PiEGL.(H),P?Gk,喜s.?s??n,则 A{a}s,?A}:{Udlag(Q1diag(,…,?.,0,…,o)Q,…,?' Q,diag(p.?…,e'p,0,…,O)Q:,Qdiag(~t,…,"0,…,O)Q u*tQ;=P,(.V,:),Q=P(0一;),V;?Hg,V?H:,.??, o?i?1,j年O的个数为s}?(16) A{a,t,?A?}={Udiag(GI+L,…,G.+LG+L)U【Lj?H(r,?), ? \????J )L z + O音Y 一?O DY 第2期庄瓦金:H上半正定广义逆A{i,…,j'?}的半正定偏序解119 I,?H(n—r,?),壹r8nk(Gl+乙j)+r8nk(G+L):t}.(17) 证若A"6A{3,s, ?A},则由引理2设A:"=udiag(X,…,X.,X)U?, 其中x?Hc,,?,x?Hc一,?.令x:P(::)P,x.(;:)P?, X;I?H(gj,?),XI?H(g,?),则 :》.,-X:-Ks' 于是,如定理1的证明知道Xj8=0,Xl2=0,Xa=0,X0,且Xjl=Vjdiag(g……, ;?,0,…o)v,x:vdiag(,,…,,o,…,O)V*,其中vf?H,v?H, o??1,o?j?1.因而注意列raakA~"=s,则A.具(16)右边所录形式.反之易见 这样形式的矩阵在A{a}s,?A''中,故(16)成立. 由引理2易见(17)成立.证单. 定理6设A6H(n,?)如定理5所示,A:udiag(M-,…,M.,O)U6A{2, s,?,其-vt(:)V.,v一呓,.?m.?r...?s??r,则, ..,s,= {Udia…u*IGj(三W, w?H,.?p?,圭p;:s,记E?Hmi×mi,有i.l (言o一;)VGtV(言'm,o.:)=(.Ej0.),其特征值?,cs Az,s,t,?A={uaac乙t,…,L.,.uIL=zi(:三Z, zi?H.q?,圭q:t,记F?一, 福建林学院第lO卷 (OIq' I,:)zM.z)=(三o.),其特征值?.c. 证设AEA{2,3Is,?A'} ,则由引理2可设 A.?3) =ua;ascG,…G,.u*,G=w ;x- [O'I)w, 其中墨p=s,w?H,并且由A'?A:''知道1I1 V, 0 . 0)V一w0"0.]w?.,J从而有 (.o)一 .,)vG01]?.. 因此,类似于定理1的证晚知道A'具(18)右边所示形式.反之易见这样形式矩阵在 A{2,3,s,,Ak(2'.'}中 ,故(18)成立. 参考文献 W?CF.OnSO~Ileordefingpropertiesofthegeneral[zedinverseS0fnonnegatire definirematrices.Linear^Igebra^ppl,19801(32)I49~60 周士藩.非负窀矩肆的广义逆类及基半序性质.苏州大学(自然科学版),1984z(1)I19~37 庄瓦金.体上矩阵韵广义逆.数学杂意,1986,'B)I105~112 谢邦杰 谢郭杰 谢彝杰 周士藩 四元数自共轭矩阵与行列式,吉林大学自然科学,1980z(2,?19~34 任意休上的可中心但矩阵的行列式,吉林大学自然科学,1980~(3);i,33 抽象代数学.上海科学技术出敷社,1982 四元数体上半正定自共辊矩阵的性质.苏,H太学(自然科学舨),198~!(1),1,ll 1234587 第2期庄瓦金HF-~iE定广义逆A{i,…,j,?}的半正定偏序解121 PositiveSemidefinitePartialOrderSolutionsforPositive Se. midefiniteGeneralizedlnv~rses r^{i,…,>overH AbstractInthispapertileproblemsofthepositivesemidefiuitepartialorder inthepositivesemidefinitegeneralizedinversesA{i,…,j,?jofapositive semidefiniteself-conjugatematrixAofqaaternionsarediscussed,andtheir correspoadingexplicitsolutionsareproved. KeyWordsquaternionfield,positivesemidefiniteself—con—jugatematrix,gen- erallzedirivetse,positivesemidefinitepartia1order 叠 莘口教学林场珍稀阔叶引种栽培试验成绩显着 莘I:1教学林场的小湖工区原为小潮试验林场,自1961年起就开展珍稀胡时树种的人工更 新和引种栽培试验,到1988年止,累计营造各类珍稀阉叶树种45个,各类(纯林或多种混交 林)造林保存面积有5469亩,蓄积量4.3752万立方米.积累了丰寓酶蓉木经鞋(蕾括释苗, 造林及抚育管理等一接套技术经验),其中有多个树种的技术经验被《中国主要造林技术》 一 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 引用,多次在垒省国营林场造林会议上作典型经验介绍,多欢被福建省林业厅及南方14 省珍贵树种栽培试验协作组作为桶叶衬造林典型召开现坜舍,多次接符国内外专家的参观考 察,得到了国内外专家的一致好评.对福建省乃至全国发展珍稀树种造林工作起到了一定的 促进作用或示范作用.1978年1979年,1982年分别被省人民政府授予科技先进集体,省林 韭厅授予隅叶树造林先进单位等光荣称号,成绩显着. 在国内外开展珍稀阉叶树种造杯,象这样时闻之早,树种之多,面积之大,时期之长 的 试验尚属罕见. 科研烛鄞双盒 扎 m 雌 p