优化幻方的构作 梁培基(河南省封丘县科协)

优化幻方的构作 梁培基(河南省封丘县科协) 優化幻方的構作 梁培基( 河南省封丘縣科協 ) 社會在發展,人類在進化,幻方也增加了“新品種”。本文介紹一種“優化幻方”,爲幻方家族增添了更加迷人的斑斕色彩。 在[1]中,我們給出了“方陣定位法”構作幻方的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。利用這種方法可以構作出 n=6K?1,K=1,2,…,,階優化幻方,本文給出構作,=3K,K?3 的奇數,階、,=4K,K?2,階優化幻方及,=4K+2 階“增廣優化幻方”的方法。 一、 基本定義 定義1.優化幻方。在一個幻方中,同時具有下列兩個性質,則稱爲“優化幻方”, 21, 每條對角線,包括折斷對角線,上n 個元素之和都等於n,n+1,/2。 22, 關於中心對稱的兩個元素之和都等於n+1。 定義2。優化方陣。由1,2,… ,n 各 n 個元素構成的 n 階方陣,若每行、每列及每條對角線,包括折斷對角線,上,個元素之和都等於定值,並且關於不中心對稱的兩元素之和都相等,稱爲“優化方陣”。應當說明的是,優化方陣的各行、列及對角線上允許有相同元素。 定義3。正交方陣。設兩個方陣A=A(I,J)與B=B,I,J,,將取自A與B相同位置的,IJ,處的二元素構作有序偶,A,I,J,,B,I,J,,,若N2個有序偶,A,I,J,,B,I,J,,,I,J=1,2,…,n,兩兩不同,則稱A與B 相互正交。在方陣,與,的各行、列中及對角線上允許有相同元素。 二、 構作方法 已經有人證明瞭不存在由連續自然數構成的 n=4K+2 階“全對稱幻方”[2],因之,也不存在由連續自然數構成的 n=4K+2 階“優化幻方”。現將 n=3k,k?3的奇數,階、,=4K,K=2,3,… ,,階優化幻方及 n=4k+2 階“增廣優化幻方”的構作方法分述如下, 1, 3K 階優化幻方的構作 當 n=3k,k?3的奇數,時,我們用文[1]所提供的方法,構造出符合“優化方陣”條件的兩個正交方陣,=,,I,J,與,,,,I,J,。 圖,是,階優化幻方的,=,I,J, 陣,B,I,J,=A,I,N+1-J,,略,及， 陣,，爲幻 方,下同,。 H=H,I,J,=[A,I,J,-1],+B,I,J, 3 245866111 4 5 6 9 782 3 9 4 2 1 0 8 3 9 734 556122978 2 31 4 5 6 897 0 1 5 3 4 28 3 4575613 1 4 5 6 9 7 8 2 04 5 1 78 4 2 534 75612769 7 8 2 3 1 45 065 6 1 6 6 2 129 3447562 31 4 5 6 9 7 8 75 3 193 7 5 443 7571265 6 97 8 23 1 4 0 6 5 6 16 7 2 7125 3 3476823 1 4 56 9 7 0 8 4 1 7 8 4 2 234867124 4 5 6 9 7 82 3 1 8 970 1 2 5 3 66121 3 3577 8 2 3 1 4 5 69 3 9 4 2 0 8 3 9 , 圖 1 ， ,,=369, 9 容易發現,圖,的,陣具有優化方陣的性質,由,與,是正交方陣,故得到的，是一個優化幻方。構造,陣的關鍵環節在於,陣的中間行。當，,,時,中間行的元素設計,當然,有多種設計,爲, ,,,,,,,,,,,,,,,,, 他們的第1,4,7列、第2,5,8列及第3,6,9列上3個元素之和都等於15。 當K?5的奇數時,把1,2,…,3K 構成一個,行，列的矩陣 E =E,I,J,(I=1,2,3; J=1,2,…,K, i+1 ( i=1,2; j=1 ) 1 ( i=3; j=1 ) ，, 3(j-1)+i ( i=1,2,3; j=2,4,…,k-1) 3j-i+1 ( i=1,2,3; j=3,5,…,k-2) n ( i=1; j=k ) n+i-4 ( i=2,3; j=k ) 令，陣的1,2,…,，列上的元素,依次爲,陣中間行的第,,,,… ,，列上的元素. ,, 4K 階優化幻方的構作 容易證明不存在,階優化幻方,當n,4k,k,2,3,… ,,時,分爲，?,的偶數與，?,的奇數兩種情形, ,, 當，?,的偶數時,我們先給出一個，,,的實例,圖,,, 1 5 432448 1 7 6 446 7 1 6 1 2 58 9 612331158 2 3 5 5 32 8 3 0 3 4 985 8 654 23453 1 7 6 4 4 6 7 1 1 67 0 3 4 6123321682 3 5 5 3 28 0 3 0 7 61 2 1 4 5 422455 1 7 6 4 4 671 3 4 9 85 2 612331158 2 3 5 5 3 28 2 1 258 9 4 9 7 5423452 17 6 4 4 6 7 1 0 7 6 12 5 5114329 6823 5 5 3 2 8 76 7 0 3 4 4 , ( 圖 , ) ， ,=260 8 上例 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明,要造出,陣,只需要作出一個,行,2，列的矩陣,,,(2,2K)即可,並將其排列在,陣的第,行與第,行的第1,2,…,2K 列的位置上,,陣左半部其餘各行,3,n,上的元素是第,行與第,行上諸元素的重復,右半部是左半部的反射,利用這些性質,可以很快 造出,陣,再由,陣得到優化幻方，,，,,,,,=(A(I,J)-1)*8+A(J,I), 當，?,的偶數時,,陣的造方見表,,在表1中,t,k,,,, 表 , j 1,t ,3t+1 ,2k t+1 , 3t t+1 , 3t 1 , t,3t+1,2k D j n-j+1 i 1 2 1 2 又,由於,陣第二行上諸元素與第一行相對應的兩個元素關於n，,互補,所以作出,陣的第一行,即可生成,陣,再由,陣生成,陣, ,, 當，?,的奇數時,,陣的構作仍然按照，?,的偶數的方法,先作出一個,行,2K 列的矩陣 ,,,(I,J),再由,陣生成,陣,方法同上,, 當，,,時, D = 1, 11, 3, 9, 8, 7 12, 2, 10, 4, 5, 6 當K?5 的奇數時,D 陣的造法如表2 , ( 在表2中 t=(K-3)/2 ). 表 , j 1,t; 3t+1,4t+1; 2k-3 t+1,3t; 4t+2; 2k-2, 2k D j n-j+1 j n-j+1 i 1 2 2 1 ,, 4K，,階增廣優化幻方的構作 定義4. 增廣幻方,如果一個幻方不是由連續自然數,,,,…,,x,所組成的,則稱爲,增廣幻方,,如果一個增廣幻方具有下列兩個性質,則稱爲”增廣優化幻方,, 性質,,每條對角線,包括折斷對角線,上N個元素之和都等於增廣幻方的幻和。 性質,,關於中心對稱的兩個元素之和都相等, 4K，,階增廣優化幻方的構作,仍然按照上述方法分爲兩種情形討論, ,,,當，爲奇數時, 如果把1,2,…,4k+2 分爲其和相等的兩組,顯然是不可能的,但,我們可以用擴大元素值的方法,將,,,,…,2k+1 與2k+3,2k+4,…,4k+3 分爲其和相等的兩組, ，,,的例, 把 ,,,,, 變換爲 ,,,,, 即可. ,,,,, ,,,,, 圖,是，,,的例,，,，,I,J,,,,(I,J)-,,(N+1)，,(J,I). 1 6 5 5 61 1 42337 2 956 7 2 3 3 2 7 48 9 2 114 0 6 3 4 1 6 5 5 6 1 5 33343 8 3 10 72 3 3 2 747 1 1114 09 7 2 5 1 6 5 5 6 1 6 3 3342 74 0 1 7 2 3 3 2 7 43 1 4 128 45 1 9 , 圖 , ， ,,,150 , , 當,?,的奇數時,仍然可構造一個,行,2K列的矩陣,,,,I,J,,,陣的造法如表3, ,在表3中,t =,k-1,/2 ,。 表 3 j 1,t; 3t+1,2k-1 t+1,3t; 2k, 2k+1 D j n-j+2 j n-j+2 i 1 2 2 1 ,, 當，爲偶數時,圖,是，,,時,10 階的,陣與，陣, 112 3 10 9 9 10 3 12 1 1 156 27 130 105117 118 39 144 13 13 2 11 4 5 5 4 11 213 168 15 142 41 64 54 51 13225 158 112 3 10 9 9 10 3 12 1 3 154 29 128 107 115 120 37 146 11 13 2 11 4 5 5 4 11 2 13166 17 140 43 6256 49 134 23 160 1 12 3 10 9 9 10 3 12 19 148 35 122 113 109 126 31 152 5 13 2 114 5 5 4 11 2 13165 18 139 44 61 57 48135 22 161 112 3 10 9 9 10 3 12 1 10 147 36 121 114 108 127 30 153 4 13 2 11 4 5 5 4 11 2 13 15924 133 5055 63 42 141 16 167 1 12 3 10 9 9 10 3 12 112 145 38 119 116 106 129 28 155 2 13 2 11 4 5 5 4 11 213 157 26 131 52 53 65 40143 14 169 , , 圖 4 , ， , ,10,850 , 圖,中,，=，,I,J,=[A,I,J,-1],n+3,+ A,J,I,.其A 陣仍然由2行、2K列的,陣生成。 當K?4的偶數時,D 陣的造法見表4。構作,陣的元素爲, 1,2,…,2K+1;2K+5,2K+6,…,4K+5.(在表4 中,t =,k-2,/2 ,. 表 4 j 1,t; 3t+1,4t+1; 2k-1 t+1,3t; 4t+2; 2k, 2k+1 D j n-j+4 j n-j+4 i 1 2 2 1 完成,陣之後,按照前面所提供的方法,可以迅速作出,陣,再由,陣作出優化幻方,那就易如反掌了。利用電腦構作幻方,更是“垂手可得”。 參考資料 [1]。梁培基,張航輔,張俠輔, 幻方的一種構作方法, 《雲南大學學報》 4,1989,。 [2]。孫榮國, 關於全幻方的存在性, “全國第三屆組合數學學術會議”,1987。5。