公务员数学运算

公务员 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 运算 1.数的拆分: 数的拆分问题是公务员考试常考的题型之一，考察对数的基本特性的掌握，通常此类问题都比较灵活。一般来说此类问题整体难度不大，不过像考试中常用的代入法等在此将不再实用，故掌握方法就变得特别重要。下面我们就和大家分享几种常用的解决此类问题的方法。 1(分解因式型:就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式。运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数，还要灵活组合这些质因数来达到解题的目的。 例题1:.三个质数的倒数之和为 ，则a=( ) A.68 B.83 C.95 D.131 解析:将231分解质因数得231=3×7×11，则 + + = ，故a=131。 例题2. 四个连续的自然数的积为3024，它们的和为( ) A(26 B.52 C.30 D.28 解析:分解质因数:3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9，所以四个连续的四个自然数的和为6+7+8+9=30。 2(已知某几个数的和，求积的最大值型: 基本原理:a2+b2?2ab，(a，b都大于0，当且仅当a=b时取得等号) 推论:a+b=K(常数)，且a，b都大于0，那么ab?((a+b)/2)2，当且仅当a=b时取得等号。此结论可以推广到多个数的和为定值的情况。 例题1:3个自然数之和为14，它们的的乘积的最大值为( ) A.42 B.84 C.100 D.120 解析:若使乘积最大，应把14拆分为5+5+4，则积的最大值为5×5×4=100。也就是说，当不能满足拆分的数相等的情况下，就要求拆分的数之间的差异应该尽量的小，这样它们的乘积才能最大，这是做此类问题的指导思想。下面再举一列大家可以自己体会. 例题2:将17拆分成若干个自然数的和，这些自然数的乘积的最大值为( ) A.256 B.486 C.556 D.376 解析:将17拆分为17=3+3+3+3+3+2时，其乘积最大，最大值为 ×2=486。 3. 排列组合型: 运用排列组合知识解决数的分解问题。要求对排列组合有较深刻的理解，才能达到灵活运用的目的 例题1.:有多少种方法可以把100表示为(有顺序的)3个自然数之和,( ) A.4851 B.1000 C.256 D.10000 解析:插板法:100可以想象为100个1相加的形式，现在我们要把这100个1分成3份，那么就相等于在这100个1内部形成的99个空中，任意插入两个板，这样就把它们分成了两个部分。而从99个空任意选出两个空的选法有:C992=99×98/2=4851(种);故选A。 (注:此题没有考虑0已经划入自然数范畴，如果选项中出现把0考虑进去的选项，建议选择考虑0的那个选项。) 例题2. 学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法, A.1152 B.384 C.28 D.12 解析:本题实际上是想把1152分解成两个数的积。 解法一:1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36，故有12种不同的拼法。 解法二:1152= ，用排列组合方法:我们现在就是要把这7个“2”和两个“3”分成两部分，每种分配方法对应一种拼法。具体地: 1) 当两个“3”不挨着时，有4种分配方法，即:(3，3× )、(3×2，3× )、( ) ( ) 2) 当两个“3”挨着时，有8种分配方法;略。 故共有:8+4=12种， 这里我们只讨论了数的拆分的几种比较常见的类型及其解题思想，但此类问题决不仅仅局限于此，我们会在以后陆续补充完善。 2.平均数问题 这里的平均数是指算术平均数，就是n个数的和被个数n除所得的商，这里的n大于或等于2。 通常把与两个或两个以上数的算术平均数有关的应用题，叫做平均数问题。 平均数应用题的基本数量关系是: 总数量和?总份数=平均数 平均数×总份数=总数量和 总数量和?平均数=总份数 解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。 例1:在前面3场击球游戏中，某人的得分分别为130、143、144。为使4场游戏得分的平均数为145，第四场他应得多少分,( ) 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】163分。解析:4场游戏得分平均数为145，则总分为145×4=580，故第四场应的580,130,143,144=163分。 例2:李明家在山上，爷爷家在山下，李明从家出发一每分钟90米的速度走了10分钟到了爷爷家。回来时走了15分钟到家，则李明往返平均速度是多少,( ) A.72米/分 B.80米/分 C.84米/分 D90米/分 【答案】A。解析:李明往返的总路程是90×10×2=1800(米)，总时间为10+15=25分钟，则他的平均速度为1800?25=72米/分。 3. 最大公约数与最小公倍数问题 公约数与公倍数的概念 公约数:几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个称为这几个自然数的最大公约数。 公倍数:几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫做这几个自然数的公倍数。 最大公约数与最小公倍数问题在日常生活中的应用非常广泛，故而成为公务员考试中比较常见的题型。这类问题一旦真正理解，计算起来相对简单。下面通过例题来加深大家对最大公约数与最小公倍数概念的理解。 例题1: 有两个两位数，这两个两位数的最大公约数与最小公倍数的和是91，最小公倍数是最大公约数的12倍，求这较大的数是多少, A.42 B.38 C.36 D.28 【答案】D。解析:这道例题非常清晰的点明了主旨，就是最大公约数与最小公倍数问题，那么我们可以根据定义来解决。这两个数的最大公约数是91?(12+1)=7，最小公倍数是7×12=84，故两数应为21和28。 例题2: 三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段, A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】C。解析:这道例题中隐含了最大公约数的关系。“截成相等的小段”，即为求三数的公约数，“最少可截成多少段”，即为求最大公约数。每小段的长度是120、180、300的约数，也是120、180和300的公约数。120、180 和300的最大公约数是60，所以每小段的长度最大是60厘米，一共可截成120?60+180?60+300?60=10段。 4.数的整除特性 关于数的整除特性，中公教育的教材上讲的已经很详细了，但是还是不断有学员问相关的题型，看来大家还是不能够完全把握此类规律。我在这里做个表格，方便大家的理解和记忆。 可以被整除的数字 特性 2 偶数 3 每位数字相加的和是3的倍数 4 末两位是4的倍数 5 末位数字是0或者5 6 能同时被2和3整除 7 末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差(以大减小)能被7整除 8 末三位是8的倍数 9 每位数字相加的和是9的倍数 10 末位数字是0 11 1,奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差(以大减小)是能被11整除 2,任何一个三位数连写两次组成的六位数 3，末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差(以大减小)能被11整除 12 能同时被3和4整除 13 末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差(以大减小)能被13整除 25 末两位数是25的倍数 125 末三位是125的倍数 5. 空瓶问题 公务员考试中的数学运算中经常出现“空瓶换水的问题”有的考生由于抓不住此类问题的关键，解题时往往不够准确和迅速。在空瓶换水这类题目中往往都有这样的字眼:几个空瓶换一瓶饮料。这就是题目的关键所在，它告诉了我们多少空瓶可以换一个瓶子中的饮料。还有些题目将这个换为的未知的，解题的思路依然不变。看几个例题: 例1.如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水: A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶 解:由题意:3个空瓶相当于一个瓶子中的矿泉水，显然选C。 例2.6个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了157瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶汽水, A(131 B(130 C(128 D(127 解:5个空瓶相当于一个瓶子中的水，代入算得A符合题意。 例3.冷饮店规定一定数量的汽水空瓶可换原装汽水1瓶，旅游团110个旅客集中到冷饮店每人购买了1瓶汽水，他们每喝完一定数量的汽水就用空瓶去换1瓶原装汽水，这样他们一共喝了125瓶汽水，则冷饮店规定几个空瓶换1瓶原装汽水, A.8 B.9 C.10 D.11 解:用代入法检验各个选项比较快的能得出答案。8个空瓶换一瓶水就相当于7个空瓶子换一个瓶子中的水。 6.方队人数问题 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数相等，则刚好排成一个正方形，这种队形就叫方队，也叫做方阵。要求方阵的人数关键是要准确把握方阵问题的核心公式: 1:方阵总人数=最外层每边人数的平方。 2:方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数的四分之一再加1。 3:方阵外一层总人数比内一层人数多8. 4:去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数的2倍减去1。 7.不定方程 在大家不断的做题中，总会碰到这样一些词语“至多”，“至少”这些关键词，由这些关键词语组成的问题我们就叫不定问题，不定问题的一个重要思维就是不定方程，通过列不定方程来把这些不确定的关键词数学化，数量化。 .例1:今有桃95个，分给甲、乙两个工作组的工人吃，甲组分到的桃有 是坏的，其他是好的，乙组分到的桃有 是坏的，其他是好的。甲、乙两组分到的好桃共有( )个 A.63 B.75 C.79 D.86 【答案】B。解析:甲组分到的桃是9的倍数，乙组分到的桃是16的倍数，故9m+16n=95，解得m=7，n=2，即甲组分到桃9×7=63个，乙组分到桃16×2=32个。两组共分到好桃63×(1, )+32×(1, )=75个。 例2:甲、乙、丙三人去买 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ，他们买书的本数都是两位数字，且甲买的书最多，丙买的书最少，又知这些书的总和是偶数，他们的积是3960，那么乙最多买多少本书,( ) A.18 B.17 C.16 D.15 【答案】A。解析:设甲、乙、丙分别买书x本、y本、z本，则(x+y+z)是偶数，可知x、y、z或者都是偶数，或者两奇数一个偶数，x×y×z=3960=23×32×5×11，若x、y、z都是偶数，则分别为2×11=22，2×32=18，2×5=10;若x、y、z是两奇一偶，则分别为23×3=24，3×5=15，11。故乙最多买18本。 8.栽树问题 一般来说栽树问题有两类:一类是不封闭的路线，如在马路两边植树;另一类是封闭的路线，如在正方形操场边上植树。下面就这两类情况分别予以介绍。 首先要注意的是栽树问题要明确三要素:1、总路线长;2、间距(棵距)长;3、棵数。只要知道其中任意两个量，就可以求出第三个。 一、直线路线 比如题目要求在马路一旁栽1排树，并且在线路两端都要植树，则棵数要比段数多1。全长、棵数、株距三者之间的关系是: 棵数= 段数+1=全长?株距+1; 全长= 株距×(棵数-1); 株距= 全长?(棵数-1) 例1、(2006国家行测)为把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林，某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米。若每隔4米栽一棵则少2754棵;若每隔5米栽一棵,则多396棵，则共有树苗( )。 A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵 解析:设两条路共有树苗x棵，根据栽树原理总全长是不变的，所以结合上面给出的公式可以根据路程相等列方程:(x，2754 ,4)×4 = (x,396,4)×5。 注意:因为是2条马路两边都要栽树，因此共有4排，所以要减4。 解得x=13000. 二、封闭路线 封闭路线只需掌握公式:棵数 = 段数 = 周长?株距 例2、正方形操场四周栽了一圈树，每两棵树相隔5米。甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去(如图)，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一个弯之后的第5棵树与甲相遇。操场四周栽了多少棵树, A 45 B 60 C 90 D 80 解析:方法一:如果按我们之前没有介绍封闭路线的解法时的思路是这样解得，设每条边有树x棵，则根据题意得2×[5(x-1)+5×5]=3×5(x-1)-25,解得x=16。 故总共有16×2，14×2=60棵树。选B。 方法二:由于速度比等于路程比，由提意甲速是乙速，故在乙拐了一个弯之后的第5棵树乙走了5×5=25米，在这条边上甲走了50米，因此正方形的边长为25，50=75; 利用封闭路线的公式，由于正方形是闭合曲线，所以有树75×4?5=60。 9.年龄问题 年龄问题是日常生活中一种十分常见的问题，也是公务员考试数学运算部分中的常见题型。它的主要特点是:时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终 不变。年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。 解答年龄问题的一般方法: 几年后的年龄=大小年龄差?倍数差,小年龄 几年前的年龄=小年龄,大小年龄差?倍数差 方程法解年龄问题 熟练掌握了年龄关系之后，便可设所求为未知数，利用上述关系列方程求解。 例1: 爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥的3倍时，妹妹是9岁;当哥哥的年龄是妹妹的2倍时，爸爸34岁。现在爸爸的年龄是多少岁, A(34 B(39 C(40 D(42 【答案】C。解析:解法一:用代入法逐项代入验证。解法二，利用“年龄差”是不变的，列方程求解。设爸爸、哥哥和妹妹的现在年龄分别为:x、y和z。那么可得下列三元一次方程:x+y+z=64;x-(z-9)=3[y-(z-9)];y-(x-34)=2[z-(x-34)]。可求得x=40。 例2: 1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁? A(34岁，12岁 B(32岁，8岁 C(36岁，12岁 D(34岁，10岁 【答案】C。解析:抓住年龄问题的关键即年龄差，1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍，则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄，2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍，此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄，根据年龄差不变可得 3×1998年乙的年龄=2×2002年乙的年龄 3×1998年乙的年龄=2×(1998年乙的年龄+4) 1998年乙的年龄=4岁 则2000年乙的年龄为10岁。 巧用年龄差求解 年龄问题中不管涉及的是多少年前还是多少年后的年龄，唯一不变的是年龄差。所以用年龄差来做运算过程中的基准量便可以大大简化计算过程。如果能深刻理解年龄差的作用，在面对年龄问题时，更可以瞬间找到切入点。如下题: 10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍，15年后，吴昊的年龄是他儿子的2倍。则现在吴昊的年龄是多少岁,( ) A.45 B.50 C.55 D.60 解析:由“15年后，吴昊的年龄是他儿子的2倍”可知，15年后，吴昊儿子的年龄即为2人的年龄差。那么10年前吴昊儿子的年龄为1?(7,1)= 个年龄差，故10+15=25年，即为1, = 个年龄差，年龄差为25? =30年。所以吴昊今年的年龄为30×2,15=45岁。在这道题中年龄差成了一个衡量年龄的基 准量，用它来代表各个人物各时期的年龄，不但简化了计算过程、不易出错，更使得题目容易理解。 10. 奇数和偶数 奇数:不能被2整除的整数; 偶数:能被2整除的整数，这里要注意零也是整数。 性质1:奇数+奇数=偶数 性质2:偶数+偶数=偶数 性质3:奇数+偶数=奇数 性质4:奇数×偶数=偶数 性质5:奇数×奇数=奇数 例题1、10个连续自然数，其中的奇数之和为85，在这10个连续自然数中，是3的倍数的数字之和为多少, 解析:奇数之和为85，总共有5项，那么中间哪个数就为17，可以知道这5个奇数为13，15，17，19，21;由次可知这10个数可能为12-21和13-22，由于要3的倍数的数字之和最大，那么只可以是12+15+18+21=66。 例题2、书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年卡，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年卡花去多少钱, 解析:设买的贺年卡分别为 张，用去 张1元的人民币，依题意有 + =100 ，( 为整数)即 显然 具有相同的奇偶性，若同为偶数， 和 ， = 不是整数;若同为奇数， 和 。 11(公约数和公倍数 主要考点: 最小公倍数与最大公约数的题一般不是很难，只要我们仔细的阅读题，都可以做出来，这种题往往和日期(星期几)问题联系在一起，所以我们也要学会求余。特别指出的是，它们是公考中考试的热点，在考试中出现的概率很大。 最大公约数:如果一个自然数 能被自然数 整除，则称 为 的约数，几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。 最小公倍数:如果一个自然数 能被自然数 整除，则称 为 的倍数，几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个大于0的公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。 【经典例题】 1、三位采购员定期去某商店，小王每隔9天去一次，大刘每隔11天去一次，老杨每隔7天去一次，三热年星期二第一次在商店相会，下次相会是星期几, A(星期一 B(星期二 C(星期三 D(星期四 解析:这道题不难，但要注意审题，看上去好象是9，11，7的最小公倍数问题，但这里有个关键词“每隔”，每隔9天，其实已过了10天，所以要求的 是10，12，8的最小公倍数，它们的公倍数为120，120?7=17余1，所以下一次相会是在星期三。 2、自然数P满足下列条件:P除以10的余数为9，除以9的余数为8，除以8的余数为7。如果100,P,1000，则这样的P有几个, A(不存在 B(1个 C(2个 D(3个 解析:P除以10的余数为9，那么P+1是10的倍数; P除以9的余数为8，那么P+1是9的倍数; P除以8的余数为7，那么P+1是8的倍数; 所以，P+1是10，9，8的公倍数，10，9，8的最小公倍数为360，则在100到1000中这样的P+1共有2个，及360，720。 12. 重复数字的因式分解 【主要考点】 核心提示:重复数字的因式分解在公考中是一个重要考点，这个考点是建立在数字构造具有一定规律和特点的基础上的。 例如:2424=24×101，101101=101×1001，2230223=22302230/10=2230×10001/10=223×10001。这些在数字构造上具有一定特点的数字都可以变换成因式相乘的形式。 【经典例题】 1(2002×20032003-2003×20022002=? 原式=2002×2003×10001-2003×2002×10001=0 2.9039030?43043=? 原式=903×1001×10?(43×1001)=210 3.37373737?81818181=, 原式=(37×1010101)?(81×1010101)=37/81 13.整体代换法 【主要考点】 这类计算题先不要急于去计算出具体结果，先观察所求的式子，尽量多的找出其中的同类项，把同类项做为一个整体参量计算，最后在计算具体结果，这样便能省去不少计算量。 【经典例题】 1( 为多少, 分析:这道题，如果我们直接算的话会很烦琐，展开式的项数太多，增加计算量，先观察没项的相同部分，可知为 ，令 = ，令分式 = ，这样原式就简化为 ，这样来计算就简便多了。 14.裂项相消法 【主要考点】 我们来看这样一个式子 对于这样一个式子 =，如果我们用一般方法来算，肯定是会很复杂，那么我们来观察一下 ，它是不是可以写成 ，如果当分母上的两个数相差 时，也就是 ，我们来看 把它分成两项(两个分式)是不是可以写成 ，这就是我们的裂项法，分母上 和 两项通分后我们在来观察和 的区别。 【经典例题】 1. =, 分析:原式= =1- 一般这个知识点还有这样一个方式来考察: =2000，这也是一个求和问题。 15.错位相减法 【主要考点】 一般的，通项形如 × (其中 为等差数列， 为等比数列)的数列求和问题，可以考虑采用错位相减法 【经典例题】 1(求数列 前 项的和。 解析:由题知， 的通项是等差数列 的通项与等比数列 的通项之积。 设 两式相减得:(1- ) = = 得出: 16.放缩法 【主要考点】 放缩法所应对的题主要是不等式的题，它是一种比较灵活的计算技巧，对算术式子进行适当的放大或者缩小，就能得到正确的答案。 放缩法所运用到的一个定理，这个定理我们学过，就是我们高中时候学过的夹逼定理。 夹逼定理:当B?A?B时，那么A=B。 【经典例题】 1.设 是正整数，求证: ? ?1。 解析:令 =A，那么A? ; A? ，故 ?A?1。 17.利用项与项之间关系 【主要考点】 一般地，当给出第 项和第 项之间的计算关系式时，我们通过对此关系式进行化简整理，最后得到一个我们熟悉的新数列，然后再进行求通项、求前 项的和等运算。下面我们通过几个例题来进一步说明。 【经典例题】 1(一列数排成一排 ，满足下面关系式 ，若 =1，则 =()。 A(1 B( C(2007 D( 解析:由 可得: ，即 是一个公差为1的等差数列，首项为 =1，那么 ，故 。 2(已知 对任意的非负整数都成立，且 。 则 =()。 解析:由 ，可知: ，故原式= 2+2+2+2+2=2×2008=4016。 18.比较大小 【主要考点】 比较大小的问题，在以往的公务员考试中经常出现，近几年的出现率有所降低，但不排除出题的可能。 核心知识点: 1、作差法:对任意两数 ，如果 则 ;如果 则 。 2、作比法:当 为任意两正数时，如果 则 ;如果 则 。当 为任意两负数时，结论则相反。 3、中间值法:对任意两数 ，当很难直接用作差法和作比法比较大小时， 我们通常选取中间值 ，如果 ，则我们说 4、倒数法:相近分数比较大小时，可通过比较分数倒数的大小来比较原分数的大小。 【经典例题】 1(分数 中最小的一个是, A( B( C( D( (2007年四川省招警) 解析:我们看分母的值大于分子的值，在这种情况下，我们用倒数法，题中个分数的倒数为 ，把分母变小了，这题比较明显 最大，故 最小。 2(比较 和 大小, 解析:分子增加了4，超过了37的10%，分母增加了15，不到157的10%，所以分数变大了 比较大小，在资料分析里解题的时候，是一个重要的估算方法，可以为我们解题节约很多时间。 19.比例问题 【题型特征】 公务员考试必考题型，数学运算中最重要的题型之一。 关键知识点:和谁比;增加或下降多少。 【经典例题】 1.有两只桶，装有同样多的油。第一桶用去 ，第二桶用去40%以后，再从第一桶取出8千克油倒如第二桶，这时第二桶油与第一桶油的比是13:14。则两桶油原来各装有多少千克油,( ) A.200 B.180 C.160 D.240 【答案】C。解析:设每只桶装油x千克，可列方程 = ，解得x=160。 2.某人去商店采购红、黑两种笔共66枝，红笔每枝定价5元，黑笔每枝定价9元，由于买的数量较多，商店就给予了优惠，红笔按定价的 付钱，黑笔按定价的 付钱，如果他付的钱比按定价少 ，那么他买了红笔多少枝,( ) A.36 B.28 C.32 D.30 【答案】A。解析:红笔的总价比原来少了1, = ，黑笔的总价比原来少了1, = ，则红笔总价× +黑笔总价× = (红笔总价+黑笔总价)×，得红笔总价:黑笔总价=2:3，故红笔与黑笔的枝数比是(2?5):(3?9)=6:5，买了红笔66× =36枝。 20.行程问题 1、 相遇问题: 【知识要点】 甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么 A，B两地的路程=(甲的速度+乙的速度)×相遇时间=速度和×相遇时间 相遇问题的核心是“速度和”问题。 【经典例题】 1、甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲车提前一段时间出发，那么两车将提前30分相遇。已知甲车速度是60千米/时，乙车速度是40千米/时，那么，甲车提前了多少分出发( )分钟。 A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 解析:【答案】C,本题涉及相遇问题。 方法1、方程法:设两车一起走完A、B两地所用时间为x,甲提前了y时，则有, (60+40)x=60[y+(x-30)]+40(x-30), y=50 方法2、甲提前走的路程=甲、乙 共同走30分钟的路程，那么提前走的时间为，30(60+40)/60=50 2、甲、乙二人同时从相距60千米的两地同时相向而行，6小时相遇。如果二人每小时各多行1千米，那么他们相遇的地点距前次相遇点1千米。又知甲的速度比乙的速度快，乙原来的速度为( ) A.3千米/时 B.4千米/时 C.5千米/时 D.6千米/时 解析:【答案】B。原来两人速度和为60?6=10千米/时，现在两人相遇时间为60?(10+2)=5小时，采用方程法:设原来乙的速度为X千米/时，因乙的速度较慢，则5(X+1)=6X+1，解得X=4。注意:在解决这种问题的时候一定要先判断谁的速度快。 方法2、提速后5小时比原来的5小时多走了5千米，比原来的6小时多走了1千米，可知原来1小时刚好走了5-1=4千米。 2.二次相遇问题: 【知识要点】 甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 【经典例题】 1、甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。请问A、B两地相距多少千米, A.120 B.100 C.90 D.80 解析:【答案】A。 方法1、方程法:设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了x，第二次相遇两车共走了2x，由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。 方法2、乙第二次相遇所走路程是第一次的二倍，则有54×2-42+54=120。 3.追击问题: 【知识要点】 有甲，乙同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走的慢的走在前，走得快的过一段时间就能追上。这就产生了“追及问题”。实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人都的速度差。如果假设甲走得快，乙走得慢，在相同时间(追及时间)内: 追及路程=甲走的路程-乙走的路程 =甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 =速度差×追及时间 核心就是“速度差”的问题。 【经典例题】 1、一列快车长170米，每秒行23米，一列慢车长130米，每秒行18米。快车从后面追上慢车到超过慢车，共需( )秒钟 A.60 B.75 C.50 D.55 解析:【答案】A。设需要x秒快车超过慢车，则(23-18)x=170+130，得出x=60秒。这里速度差比较明显。 4.流水问题 【知识要点】 我们知道，船顺水航行时，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进，同时整个水面又按水流动的速度在前进，因此船顺水航行的实际速度(简称顺水速度)就等于船速和水速的和，即: 顺水速度=船速+水速 同理:逆水速度=船速-水速 可推知:船速=(顺水速度+逆水速度)/2;水速=(顺水速度-逆水速度)/2 【经典例题】 1、一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时。已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米。则甲、丙两港间的距离为( ) A.44千米 B.48千米 C.30千米 D.36千米 解析:【答案】A。顺流速度,逆流速度=2×水流速度，又顺流速度=2×逆流速度，可知顺流速度=4×水流速度=8千米/时，逆流速度=2×水流速度=4千米/时。 方法1、方程法:设甲、丙两港间距离为X千米，可列方程X?8+(X,18)?4=12 解得X=44。 方法2、往返乙、丙所用时间=12-18?8=39/4，从乙到丙顺水所用时间是逆水的1/2，顺水航行时间=39/4×1/3=13/4，则乙丙距离=13/4×8=26，故所求距离=18+26=44。 21.工程问题 【题型特征】 核心公式:工作效率×工作时间=工作量(常设为“1”)。 【经典例题】 1、一篇文章，甲乙两人合译，需10小时完成，乙丙合译，需12小时完成，现先由甲丙合译4小时，剩下再由乙独译，需12小时完成，求乙单独翻译需多少小时, 解析:方程法:设单独完成甲需a小时，乙需b小时，丙需c小时。 4(1/a+1/c)+12/b= 1,1/a+1/b=1/10,1/b+1/c=1/12. b=15. 列表法: 甲 乙 丙 10 10 12 12 4 12 4 由表:甲4小时工作量=丙8小时工作量，可知，相应速度比=2:1故，甲工作10小时相当于丙工作20小时。从而有， 乙2小时工作量=丙8小时工作量，可知，乙丙速度比=4:1,则丙工作12小时相当于乙工作3小时，则乙单独需=12+3=15小时。 22.浓度问题 【题型特征】 核心公式:溶液浓度=溶质/溶液=溶质/(溶质+溶剂) 【经典例题】 1、 甲容器中有浓度为4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水，放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水，那么乙容器中的浓度是多少, 解析:法1、方程法: 法2、十字交叉法: 4% 1.4% 150 8.2% ? =9.6% 4.2% 450 2把浓度为20%、30%和50%的某溶液混合在一起，得到浓度为36%的溶液50升。已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的溶液用量的2倍，浓度为30%的溶液的用量是多少升, 解析:法1、方程法: 法2、十字交叉法: 20% 14% /2 30% 36% 6% 50% 16% 50- - /2 故有:14%(50- - /2)= 16%( /2)+ 6 %， =20。 23.利润利率 【题型特征】 基本概念:成本、销售价、利润、利润率。 核心公式:利润=销售价-成本 利润率=利润/成本=(销售价-成本)/成本=销售价/成本-1。 销售价=成本×(1+利润率) 成本=销售价/(1+利润率) 【经典例题】 1、商店新进一批洗衣机，按30%的利润定价，售出60%以后，打八折出售，这批洗衣机实际利润的百分数是多少, A.18.4 B.19.2 C.19.6 D.20 .【答案】C。解析:先卖掉60%收回的钱为1×(1+30%)×60%=78%，后卖掉40%收回的钱为1×(1+30%)×80%×(1,60%)=41.6%，故实际利润的百分数为78%+41.6%,100%=19.6%。 2.某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润，现在按定价的八五折出售8个，按定价每个减价35元出售12个，所能获得的利润一样。这种商品每个定价多少元,( ) A.100 B.120 C.180 D.200 【答案】D。解析:每个减价35元出售可获得利润(45,35)×12=120元，则如按八五折出售的话，每件商品可获得利润120?8=15元，少获得45,15=30元，故每个定价为30?(1,85%)=200元。 24. 牛吃草问题 【题型特征】 2006年后的公务员考试中出现了一些较难的“牛吃草”问题，这类题在理解上有一定的难度，但如果掌握了关键点，便较容易解答。 关键知识点:1、草场原有的草量。2、草场每天生长的草量;3、牛每天吃的草量。 核心关系式: 牛吃草总量(牛头数×时间)=原有草量+新长出草量(每天长草量×时间) 总量的差/时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛的数量 原有草量/安排吃原有草的牛的数量=能吃多少天。 单位:1头牛1天吃草的量 【经典例题】 1、一片牧草，可供16头牛吃20天，也可以供20头牛吃12天，那么25头牛几天可以吃完, 解析:法1(方程法)，等量关系:原有草量相等。 设每头每天吃草量为“1”， 天吃完，每天长草量 16×20-20 =20×12-12 =25 - , =8, =10. 法2，速度差(追及问题)，吃完草可以看着是牛追上草。 (牛吃草速度-草生长速度)×时间(天数)=原有草量 20(16- )=12(20- )= (25- ), =8, =10. 法3(利用基本关系式) 总量的差/时间差=每天长草量，(16×20-20×12)/(20-12)=10; 原有草量=牛吃草总量-新长出草量，16×20-20×10=120; 25头牛分10头吃每天长出的草，还剩15头吃原有的草，120/15=8天。 2、有一个水池，池底有泉水不断涌出。用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果14台抽水机需多少小时可以抽完,( ) A.25 B.30 C.40 D.45 解析:泉水每小时涌出量为:(8×15,5×20)?(20,15)=4份水; 原来有水量:8×15-4×15=60份; 用4台抽涌出的水量，10台抽原有的水，需60/10=6小时。 25. 容斥问题 【题型特征】 容斥原理的集合描述: 1. 2. 【经典例题】 1.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有: A(22人 B(28人 C(30人 D(36人 (2005年国家A类行测真题) 正确答案【A】 解法1:设A,喜欢看球赛的人(58)，B,喜欢看戏剧的人(38)，C,喜欢看电影的人(52)，则有: A?B,既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18) B?C,既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16) A?B?C,三种都喜欢看的人(12) A?B?C,看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100) 根据公式:A，B，C,A?B?C，A?B，B?C，C?A,A?B?C C?A,A，B，C,(A?B?C，A?B，B?C,A?B?C) ,148,(100，18，16,12),26 所以，只喜欢看电影的人,C,B?C,C?A，A?B?C ,52,16,26，12,22 26.抽屉原理 【题型特征】 我们先来看一个例子，如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。道理很简单。如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2。 抽屉原理1:将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么知道有一个抽屉中的物品件数不少于2个。 抽屉原理2:将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。 【经典例题】 1. 一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问:一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块, 解析:将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2，1=9(件)物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。 2(在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球，至少从中取出多少个球才能保证其中有白球, A(14 B(15 C(17 D(18 解析:抽屉原理，最坏的情况是10个黑球和4个白球都拿出来了，最后第15次拿到的肯定是白球。 27. 排列组合问题 【题型特征】 加法原理:做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: N=m1+m2+„+mn 种不同方法。 再看下面一道例题: 问题2:由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法, 乘法原理:做一件事，完成它可以有n个步骤，在第一个步骤中有m1种不同的方法，在第二个步骤中有m2种不同的方法，„„，在第n个步骤中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: N=m1×m2ׄ×mn 种不同的方法。 排列 从n个不同元素中，任取m( )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 1. 什么叫不同的排列,//**元素和顺序至少有一个不同.// 2. 什么叫相同的排列,//**元素和顺序都相同的排列.// 排列数 从n个不同元素中，任取m( )个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号 表示. 其中 =n(n-1)(n-2)„(n-m+1) 例题:由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数, 组合 从n个不同元素种取出m( )个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合 组合数 从n个不同元素中，任取m( )个元素的所有组合的个数叫做从n个元素中取出m元素的组合数，用符号 表示. 其中 = n(n-1)(n-2)„(n-m+1)/m! 组合数性质: 二项式定理基础知识: 【经典例题】 1:某铁路线上有25个大小车站，那么应该为这条路线准备多少种不同的车票( )。 A(625 B(600 C(300 D(450 解析:此题的关键是要分清到底属于排列问题还是组合问题，此题要问有多少种不同的车票，在这里从甲地到乙地和从乙地到甲地(即往返票)是要准备两种车票的，故属于排列问题，即 =600种。相对应的我们看下面这道题 2:从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同选法, A(240 B.310 C.720 D.1080 解析;此题中正面考虑情况比较多，采用间接法，至少1名的反面就是分别只选男生或者女生，故共有 =310种 3(6个人站成一排，要求甲、乙必须相邻，那么有多少种不同的排法, A(280 B.120 C.240 D.360 解析:将甲、乙“捆绑”在一起，看做是一个人参与排列，注意甲乙本身的顺序(即甲在乙的左边还是右边)，那么共有: =240种。 4.将10台电脑分配给5个村，每村至少一台，那么有所少中不同的分配方法, A(126 B.320 C.3024 D.1024 解析:10台电脑并成一排，内部形成9个孔空，任意在这9个空中插入4个板，那么就把着10台电脑分成了5部分，每一种插法就对应一种分配方法，故有 =126种方法 28. 简单概率问题 【题型概述】 1. 随机事件基本概念 随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然要发生的事件; 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件 1.古典概型中，概率的定义: P(A)= 【经典例题】 1.将一个硬币掷两次，恰好有一次正面朝上且有一次反面朝上的概率是多少?( )。 (07浙江B) (07浙江B类) A. 1,2 B. 1,3 C. 1,4 D. 2,3 解析:硬币投掷两次一共可能的情况有:(正，正)(正，反)(反，正)(反，正)，那么有一次为正且有一次为反的概率为2?4= ,选A。 2.有一个摆地摊的摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里，让人们摸球中奖。只需2元就可以从袋子里摸3个球，如果摸到的3个球都是黑球，可得10元回扣，那么中奖率是多少,如果一天有300人摸奖，摊主能骗走多少元? (05山东行测) A. B. C. ,420 D. 解析:把3次都摸到黑球看作事件A，那么试验的结果总数为从6个球中任取3个球的取法共 种，有利于A的结果总数为1种，故所求中奖率为: = 摊主骗走的钱为:300×2-300× ×10=450元，选B。 29. 题型概述 【基础理论】 1)基本公式 周长 面积 梯形 圆 2) 柱体 体积 表面积 棱柱 圆柱 椎体 棱锥 圆锥 球体 3)基本性质 图形 性质 三角形 1) 等底等高的两个三角形面积相等 2) 直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 3) 相似图形边长比等于相似比，面积比为相似比的平方 圆 1) 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 2) 周长相同的所有平面图形中，圆的面积最大 【经典例题】 1.相同表面积的四面体，六面体，正十二面体以及正二十面体，其中体积最大的是: A(四面体 B.六面体 C.正十二面体 D.正二十面体 (2008国家行侧) 【答案】D。解析:当表面积相同时，趋近于圆的空间几何体体积最大。 2.一只小鸟离开在树枝上的鸟巢，向北飞了10米，然后又向东飞了10米，然后又向上飞了10米。最后，它沿着到鸟巢的直线飞回了家，请问:小鸟飞行的总长度与下列哪个最接近, A(17米 B. 40米 C.47米 D. 50米 (2008北京应届) 【答案】C。解析:此题需要一定的空间想象能力，关键是求出直线飞回家的的距离: =10 ?17，故总长度为:10+10+10+10 ?47，选C 30.数学归纳法 【题型概述】 核心知识:数学归纳法就是用一部分规律来概括全体的规律，那么就可以用这个规律来解决所有类似问题。在公考中，数字推理题就是数学归纳法的一个广泛应用，从已知条件(数列)，总结出该数列的规律，在推广应用得到下个数字。逻辑推理中的归纳推理，归纳推理是从若干个别性的前提出发，推出一个一般性结论的推理。归纳推理的前提本身是个别性、经验性的，而其结论对于前提来说则是一般性、普遍性的。归纳推理是由具体到抽象、感性到理性、特殊到一般的一种思维上升。 【经典例题】 1(在一张正方形的纸片上有900个点，加上正方形的4个顶点，共有904个点，这些点中任意3个点不共线，将这张纸剪成三角形，每个三角形的萨那个点是904个点中的点，每个三角形都不含这些点，可以剪成多少个三角形,。 解析:正方形中有1个点时，按题意可以分为4个三角形 当其中有两个点时(任意三点不在同一直线上)，按题意可以分为6个三角形。 以后每增加一个点(任意三点不在同一直线上)，按题意将增加2个三角形。 当其中有900个点时，三角形的数目为:4+(900-1)×2=1802。 2(有一楼梯共10级,如规定每次只能跨上一级或两级,要蹬上第10级,共有多少种不同的走法? 解析:当台阶数为1时，有1种办法 当台阶数为2时，有2种办法 当台阶数为3时，有3种办法 „„ 随着台阶数的增加，方法数正好是下面的数列 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 „„该数列为一和数列。前2项和等于第3项。